Физическая механика (1188451), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Радиус–вектор ~r = ~ex x + ~ey y + ~ez z (по «правилу треугольника»).а связь полярного и декартового законов движения — соотношениями:y(t)при x(t) > 0 ,arctg x(t)py(t)ϕ(t) = π + arctg x(t) при x(t) < 0 ,ρ(t) = x2 (t) + y 2 (t) ,π· sign(y(t)) при x(t) = 0 ,2где функция−1 при y < 0 ,sign(y) =0 при y = 0 ,+1 при y > 0 .2Скорость и ускорениеВектор скорости ~v характеризует направление и быстроту изменения положения движущегося тела. Исаак Нью́тон (1643–1747), живший в Англии, который одновременно с созданиемклассической механики создавал и математический анализ (дифференциальное и интегральноеисчисление) обозначал скорость следующим образом:~v = ~r˙и называл её «флюксией» от ~r. Готфрид Вильгельм Ле́йбниц (1646–1716), живший в Германии и независимо от Ньютона строивший математический анализ в Европе, предложил болеефизическое обозначениеd~r,~v =dtназванное им «производной», и которое он понимал как отношение двух бесконечно-малых(«монад») — d~r и dt , где d~r — перемещение точки за промежуток времени dt , и эти бесконечномалые по Лейбницу не равны нулю и не стремятся к нулю!Ускорение ~a, характеризующее величину быстроты изменения скорости и направление изменения скорости равно, в обозначениях Ньютона:~a = ~v˙ = ~r¨ ,и в обозначениях Лейбницаd~vd2~r= 2.dtdtВ механике, из-за своей простоты и удобства, часто используют обозначения Ньютона.~a =82.1Отступление: О бесконечно-малыхЛейбниц во второй половине XVII века независимо от Ньютона создававший математическийанализ, понимал производную как отношение двух, не равных нулю, бесконечно-малых.

Этаточка зрения была отвергнута в процессе развития математики и производная стала определятся как предел отношения, когда соответствующие изменения стремятся к нулю, а подходЛейбница стал считаться нестрогим и неправильным.И только в 1961 году американский математик Абрагам Ро́бинсон (1918–1974), специалист поматематической логике, смог вернуть бесконечно-малые в строгую математику: для этого емупонабилось отрицание аксиомы Архиме́да 2 [2, с.

9, 18] (из 2-х неравных отрезков меньший отрезок можно последовательно откладывать до тех пор, пока результат сложения не превыситбольший отрезок) — отрицание аксиомы Архимеда обеспечивает существование бесконечномалых, а также понадобилась лемма Цорна 3 [2, с. 39] (у которой сложная формулировка), эквивалентная аксиоме выбора [2, с. 21], эта аксиома совершенно очевидна:Аксиома выбора (Це́рмело4 ):Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует множество, которое имеет только один общий элемент с каждым из множеств семейства.Или более наглядно: из совокупности раздельных кучек можно образовать новую кучку,взяв (скопировав) по одному элементу из каждой кучки.С помощью этой очевидной и, на первый взгляд, вполне «безобидной» аксиомы математически строго доказывается теорема (парадокс Ба́наха 5–Та́рского 6 [2, с.

52]):Теорема Банаха–Тарского. Трёхмерный шар S можно разрезать на шесть таких частей (фактически на пять, так как одна из этих частей — множество {⊘},содержащее пустое множество ⊘, в котором нет ни одной точки шара S):S = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ {⊘} ∪ {P }7что из частейA1 и A3 ∪ {⊘}можно с помощью вращений составить целый шар S, а из оставшихся трёх частейA2 , A4 и {P }снова можно с помощью вращений и переносов составить ещё один сплошнойтрёхмерный шар S.Таким образом, из одного шара можно с помощью подходящих разрезаний и последующихперемещений сделать два шара первоначальной величины!Доказательство этой теоремы неконструктивно, т.

е. в теореме доказывается только, чтотакое разрезание шара существует, но не выясняется, как его можно сделать. Неконструктивность теоремы вызвана неконструктивностью аксиомы выбора — постулируется тот вполне2Архиме́д (287 до н. э. – 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер-изобретатель. (В.

Б.)Цорн Макс А́вгуст (1906–1993) — американский математик. (В. Б.)4Це́рмело Эрнст (1871–1953) — немецкий математик. (В. Б.)5Ба́нах Стефа́н (1892–1945) — польский математик. (В. Б.)6Та́рский Альфре́д (1901–1983) — польский математик и логик. (В. Б.)7Естественней было бы написать: . .

.∪A5 ∪A6 . По поводу привычки к необычным обозначениям в математикеизвестный английский математик Джон Ли́тлвуд (1885–1977) выразился так [3]: «О книгах Жорда́на говорили,что если ему нужно было ввести четыре аналогичные или родственные величины (такие, как, например, a, b, с, d),′′′то они у него получали обозначения: a, M3 , ε2 , Π1,2 . (В. Б.)39очевидный факт, что из каждой «кучки» можно выбрать по одному элементу этой кучки, ноне конкретизируется, по какому правилу выбираются эти элементы из каждой кучки.Эта теорема противоречит нашей геометрической интуиции, но, оказывается, не входитв противоречие с физической интуицией: при столкновении 2-х энергичных протонов можетобразоваться удвоенный объём — 3 протона и 1 антипротон:p + p → p + p + p + p̃ .На этом пути Робинсон смог строго построить нестандартный, или инфинитезимальныйанализ [2, 4], в котором числовая прямая расширяется включением бесконечно-малых чисели в котором производная является отношением двух бесконечно малых (от этого отношенияинфинитезимальный анализ требует ещё взять «стандартную часть»), а определённый интегралявляется суммой бесконечно-большого числа бесконечно-малых слагаемых.Таким образом — и это уже не будет противоречить современной математике — производная в физике не является пределом отношения при стремлении изменений к нулю, так как,например, при стремлении ∆x → 0 мы попадаем совсем в другую физику, в физику микромира,которая описывается уже совсем другой — квантовой механикой, итак:производная в физике — это отношение двух элементарных количеств, настолькомалых что дальнейшее уменьшение уже практически (т.

е. с приемлемой точностью)не изменяет это отношение.При таком определении скорость считается отношением двух элементарных количеств d~r и dt:~v =d~r,dtпри этом элементарный промежуток времени dt выбирается таким, чтобы движение точкив течение этого промежутка могло бы считаться, с приемлемой точностью, равномерным ипрямолинейным и, следовательно, скорость определялась бы как при равномерном движении:скорость равна по величине отношению пройденного пути к времени движения, и направленапо направлению перемещения.Поэтому при изучения падения тел вблизи поверхности Земли бесконечно-малым промежутком времени можно считать dt = 10−3 с, при изучении движения Земли вокруг Солнца бесконечно-малым можно считать dt = 1 мин (в каких-то задачах — даже 1 час), а при изучениидвижения Солнечной системы вокруг центра нашей Галактики (продолжительность галактического года ∼ 250 · 106 лет) за бесконечно-малый промежуток времени вполне можно взятьdt = 1000 лет .3Движение по окружностиСкорость d~r d~rd~r |d~r||d~r||d~r|~v === ~eτ= ~eτ= ~eτ = ~eτ v ,dt|d~r| dtdt|dt|dt(5)где ~eτ — единичный вектор, направленный по направлению вектора d~r, т.

е. по направлениювектора ~v .Скорость при движении по окружности может быть также записана в виде векторногопроизведения: ~v = [~ω , ~r ] = ~ω , (~rk + ~r⊥ ) = ~ω , ~rk + [~ω , ~r⊥ ] = 0 + [~ω , ~r⊥ ] ,(6)где вектор угловой скорости ~ω определяется выражением (4). Выражение (6) даёт правильноенаправление вектора скорости ~v («правило винта», см. рис. 9, где мысленный поворот производится от 1-го сомножителя ко 2-му на наименьший угол) и правильную величину скорости:v = ωr⊥ .10~ω~v~rk~en~r⊥b~r~eτ =d~r~v=vdrαOДифференцируя выражение (5) получаем, что ускорение состоит из 2-х составляющих (тангенциального и нормального ускорений):d~vddv d~eτdv= (~eτ v) = ~eτ+v = ~eτ+ ~en ω · v =dtdtdtdtdtv2= ~eτ v̇ + ~en= ~aτ + ~an ,r⊥~a =поскольку изменение единичного вектора d~eτ за время dt~eτ (t + dt)dϕd~eτ = ~eτ (t + dt) − ~eτ (t)~eτ (t)при повороте ~eτ на малый угол dϕ = ω dt направлено перпендикулярно ~eτ (т.

е. по направлениюединичного вектора ~en ), а величина этого изменения равна |~eτ | dϕ = 1 · dϕ = ω dt , т. е.~en ω dtvd~eτ== ~en ω = ~en .dtdtr⊥Этот же результат получается дифференцированием первой части выражения (6) (учитываем, что r sin α = r⊥ ):hi hi hi~a = ~v˙ = [~ω , ~r]· = ~ω˙ , ~r + ~ω , ~r˙ = ~ω˙ , ~r + [~ω , ~v] =v2= ~eτ ω̇r⊥ + ~en ωv = ~eτ v̇ + ~en= ~aτ + ~an .r⊥Касательное ускорение ~aτ , величина которого равна производной величины (модуля) скорости по времени v̇, характеризует быстроту изменения скорости по величине (когда, например,изменяются показания спидометра автомобиля, движущегося по извилистой дороге), нормальное ускорение ~an характеризует изменение скорости по направлению; например, ~an 6= 0 дажепри равномерном движении по окружности (т.

е. при движении с постоянной величиной скорости v).4Движение по произвольнойтраекторииТеперь можно рассмотреть движение по произвольной траектории. Движение в небольшойокрестности некоторой выбранной точки на траектории можно представить как движение по11окружности, которая строится следующим образом: возьмём две точки (до и после выбраннойточки) и через эти три точки проводим единственную окружность. Будем затем приближатьсоседние точки к нашей точке на траектории и по мере сближения этих 2-х точек с нашей,окружность приближается к окружности, наиболее близкой к траектории в окрестности выбранной точки на траектории.Таким образом, мы можем считать, что в окрестности нашей точки движение происходитпо этой, максимально близкой к траектории, окружности; радиус этой окружности называетсярадиусом кривизны ρ траектории в данной точке.Мы видим, что вектор ускорения ~a при движении по произвольной траектории будет, каки при движении по окружности, равен векторной сумме касательного ~aτ и нормального ~anускорений:v2~a = ~v˙ = ~aτ + ~an = ~eτ v̇ + ~en ,ρпричём здесь, также как и при движении по окружности, касательное ускорение ~aτ характеризует быстроту изменения величины скорости и нормальное ускорение ~an — быстроту изменениянаправления скорости.52-й закон НьютонаЗакон движения (кинематический закон движения) находится решением уравнения движения,каковым является 2-й закон Нью́тона — основное уравнение механики.Второй закон Ньютона справедлив для материальной точки — физического тела, движением частей которого друг относительно друга можно (в данной задаче) пренебречь и, следовательно, считать, что все части этого тела двигаются с одной скоростью и одним ускорением.Ньютон (1643–1747) в своём основополагающем труде «Математические начала философииприроды» (1686 г.) приписывал открытие своего 1-го и 2-го законов Галиле́о Галиле́ю (1564–1642) — именно в этом ключе читал П.Л.

Характеристики

Список файлов книги