Вывод формула Пуазёйля методом размерностей (1188444)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вывод формулы Пуазёйля методом размерностейВ.С. Булыгин17 ноября 2013 г.Метод размерностей позволяет найти функциональную зависимость между физическимивеличинами 0 , 1 , 2 , . . . (1)0 ∼ 11 22 . . . с точностью до безразмерного множителя, являющегося или неопределённой константой, илинеопределённой безразмерной функцией, аргументами которой являются безразмерные комбинации из физических величин 1 , 2 , . . . .

То, что функциональная связь в (1) являетсяименно степенно́й, следует из требования независимости этой связи от выбора масштабов основных единиц измерения ([1, § 4], [2, § 87], [3, гл. 2.]), соображения размерности также требуют,чтобы размерность левой части выражения (1) совпадала с размерностью его правой части:[0 ] = [1 ]1 [2 ]2 . . . [ ] .Среди (как правило, простых) задач, предлагаемых в дополнение к билету на заключительном устном госэкзамене по физике уже в течение долгого времени фигурирует такая задача:С помощью соображений размерности получить зависимость скорости течениявязкой жидкости на оси горизонтальной цилиндрической трубы от длины трубы ,её радиуса,перепада давлений∆и вязкости жидкости.Так как объёмный расход жидкости = 2 ⟨⟩ = const · 2 ,(2)где ⟨⟩ — средняя по сечению трубы скорость течения жидкости, то получение из соображений размерности выражения для скорости на оси трубы позволяет одновременно получить исоответствующее выражение для , т.

е. получить из соображений размерности формулу Пуазёйля.1Разберём же, как решается задача — определить показатели степеней , , , в выражении ∼ (∆ ) (3)с помощью метода размерностей.Стандартная теория размерностиВ обычной теории метода размерностей мы используем наши 3 основных размерных единицыизмерения: длину , [] ≡ , массу , [] ≡ и время , [] ≡ . В качестве первого шага мы1 Закон,экспериментально установленный в 1840 г. французским врачом Жаном Луи Мари Пуазёйлем (1799–1869), был в 1839 г. выведен немецким инженером-гидростроителем Готхильфом Генрихом Людвигом Хагеном(1797–1884).1должны обнаружить все безразмерные комбинации исходных величин задачи, т.

е. выяснить,когда комбинация[] [∆ ] [] [](4)будет безразмерной.Размерность силы, в соответствии со 2-м законом Ньютона[︂ ]︂[][] [][] []==== −2 ,[ ] =[][][]2(5)размерность давления, с учётом (5),[∆ ] =[д ] −2== −1 −2 ,[⊥ ]2(6)здесь ⊥ — величина перпендикулярной течению площадки, на которую действует сила давления д . Размерность длины трубы:[] = (7)и её радиуса[] = ,(8)размерность вязкости находится из закона Ньютона для величины силы вязкого сопротивления при течении вдоль оси :⃒⃒⃒ ⃒⃒ бок ,(9) = ⃒⃒ ⃒где бок — величина выделенной поверхности, расположенной вдоль течения, на которой вычисляется сила вязкого трения. Из этого выражения, с учётом (5),[] =[ ] −2[︀ ]︀ == −1 −1 .2 [бок ] Таким образом, размерность выражения (4) имеет вид:(︀)︀ (︀ −1)︀[] [∆ ] [] [] = −1 −1 −2 = −−++ + −−2 .(10)(11)Это выражение не зависит от массы при + = 0 и не зависит от времени при + 2 = 0, чтовозможно только при = = 0 и, следовательно, это выражение не будет зависеть также и отдлины при = −.

Таким образом, безразмерной комбинацией будет /, одна из длин поэтомуисключается и искомая зависимость должна иметь вид(︂ )︂ ,(12) = (∆ ) · (︀ )︀где — произвольная функция. Отсюда из уравнения размерностей(︀)︀ (︀ −1)︀ −1 = −1 −1 −2 = −−+ + −−2получаем систему уравнений:⎧⎪⎨ − − + = 1+=0⎪⎩ + 2 = 1откуда следует: = −1, = 1, = 1.

Таким образом, стандартная теория размерностей даёт:(︂ )︂∆=·,(13)2т. е. теория размерностей (в стандартном варианте) предсказывает, что искомая скорость течения на оси трубы пропорциональна разности давлений ∆ на концах трубы и обратнопропорциональна вязкости текущей жидкости , но этот вариант теории размерностей ничегоне может сказать о зависимости скорости от линейных размеров трубы и . Например,глядя на выражение (13) нельзя утверждать, что скорость пропорциональна длине трубы ,поскольку(︀ )︀(︂ )︂(︂ )︂ = · = · 1,·(︀ )︀(︀ )︀где 1 — тоже произвольная функция, как и .Такой, не очень конкретный физический результат обусловлен чисто математическими причинами: число физических величин (, ∆, , ) превышает число использованных единицизмерения (, , ) и, следовательно, число уравнений стандартной теории размерностей,равное числу единиц измерения (три) меньше числа неизвестных показателей степени физических величин (четыре), что не позволяет однозначно определить эти показатели.В учебнике Д.В.

Сивухина [2, § 97] эта трудность обходится следующим образом: автор отмечает, что в уравнения гидродинамики вязкой жидкости (уравнения Навье–Стокса) входят несами давления, а только градиенты давления. Благодаря этому наблюдению в [2] число физи, , и выражение (3) дляческих величин в задаче уменьшено с 4-х: , ∆, , , до 3-х: , Δскорости теперь принимает вид:∼(︂∆)︂ .(14)Так как, с учётом (6), размерность[︂∆]︂= −2 −2 ,то с помощью (10) и (8) получаем из (14) следующее уравнение размерностей(︀)︀ (︀ −2)︀ −1 = −1 −1 −2 = −−2+ + −−2 ,откуда следует система уравнений⎧⎪⎨ − − 2 + = 1+=0 ,⎪⎩ + 2 = 1имеющая решение: = −1, = 1, = 2.

Таким образом, из (14) получаем ответ: = 0 ·∆ 2 ,(15)где 0 — неопределённая константа, численное значение которой не может быть определенос помощью метода размерностей; прямой расчёт [2, § 97, формула (97.3)] даёт0 =1.4Теперь с помощью (2) можно получить формулу Пуазёйля для объёма вязкой жидкости, протекающего через трубу за единицу времени (объёмного расхода жидкости):=·∆ 4 ,3(16)где, согласно прямому расчёту [2, § 97, формула (97.4)],= .8Попутно заметим, что с помощью точных выражений для объёмного расхода и скорости жидкости на оси трубы можно получить выражение для средней по сечению трубы скорости ⟨⟩.Из (2) находим:∆ 2 1⟨⟩ = = .(17)=282Расширенная (обобщённая) теория размерностиВ расширенной теории метода размерностей (см.

[4, гл. 6]), учитывая физические особенностизадачи, стараются увеличить число основных единиц измерения и сделать, по возможности,количество единиц измерения равным количеству заданных физических параметров — в этомслучае удаётся однозначно определить все показатели степеней в выражении (1).Простейший анализ физики процесса течения по трубе показывает, что в нашей задачепродольные и поперечные размеры трубы играют разную роль: всё движение происходит в направлении оси трубы, а давление дополнительно определяется и поперечными к оси размерамитрубы.

Поэтому в нашей задаче физически оправдано вместе с единицами массы и времени ввести две единицы длины : продольную (вдоль оси трубы) ‖ и поперечную ⊥ ,2 что делаетравным количество основных единиц измерения и число заданных физических параметров.Искомая осевая скорость будет иметь теперь размерность[︂ ]︂= ‖ −1(18)[] =Так как и сила давления, и сила вязкого трения направлены вдоль оси трубы, то сила (5)имеет теперь размерность[ ] =[] []= ‖ −2 .[](19)Размерность поперечной площадки [⊥ ] = 2⊥ , поэтому размерность давления, с учётом (19),‖ −2[ ]−2== ‖ −2,[∆ ] =⊥ 2[⊥ ]⊥(20)[] = ‖(21)[] = ⊥ .(22)размерность длины трубы:и размерность её радиусаРазмерность поперечного градиента скорости[︂ ]︂[]−1== ‖ −1,⊥ ⊥размерность площади боковой поверхности, на которой развивается вязкое трение [бок ] == ‖ ⊥ , поэтому размерность вязкости (10) теперь будет‖ −2[ ]−1−1[︀]︀[] =.=−1 −1 = ‖ ‖ ⊥ · ‖ ⊥ [бок ] (23)2 Заметим, что введение продольной и поперечной длин, в частности, делает различными размерность работыили энергии 2‖ −2 (сила на продольное расстояние) и размерность момента силы ‖ ⊥ −2 (сила на плечо— поперечное расстояние).4Из уравнения размерностей, получаемого из (3),[] = [] [∆ ] [] [](24)и с учётом выражений (18), (23), (20), (21) и (22) принимающего вид(︁)︁ (︀)︀−2−1−2+ + −−2‖ −1 = −1‖ ⊥ −2 ‖ ⊥ = −++⊥‖‖следует система уравнений⎧− + + = 1⎪⎪⎪⎨ −2 + = 0,⎪+=0⎪⎪⎩ + 2 = 1имеющая решение: = −1, = 1, = −1, = 2.

Таким образом, расширенная теория размерностей из выражения (3) (или (24)) позволяет получить из 4-х физических параметров , ∆, , правильный ответ для скорости жидкости на оси трубы: = 0 ·∆ 2 ,(25)совпадающий с (15). Следовательно, таким же будет и выражение для объёмного расхода жидкости (формула Пуазёйля (16)):∆ 4 .=·Число Рейнольдса для течения в трубеФормула Пуазёйля, как и формула для скорости течения на оси трубы, справедлива при ламинарном течении жидкости в трубе, когда выполняется ньютоновский закон вязкого трения (9).Английский физик Осборн Рейнольдс (1842–1912) в 1876–1883 годах опытным путём установилзакон подобия, согласно которому переход от ламинарного течения к турбулентному в каждомклассе течений происходит при приблизительно одинаковых значениях параметра, названноговпоследствии числом Рейнольдса.

Число Рейнольдса Re является безразмерным и определяетсявыражением:Re = хар ,(26)где и — плотность и вязкость жидкости, и хар — характерная скорость и характерныйлинейный размер течения.Расширенная теория размерностей позволяет выяснить, что является характерным линейным размером хар для течения жидкости по трубе длиной и радиусом . Так как, с учётом (21)и (22), размерность плотности равна[] =[︀]︀−1[]−2= [] · 2 = −1‖ ⊥ ,[ ]то с помощью (23) и (18) из (26) находим для размерности характерного линейного размера:−1−1[]2⊥‖ [хар ] == −1 −2=,[] []‖‖ ⊥ · ‖ −1и, таким образом, расширенная теория размерностей указывает, что в качестве характерноголинейного размера в выражении для числа Рейнольдса (26) в случае течения по трубе следуетбрать следующую комбинацию из радиуса трубы и её длины :хар =52,этот результат другим путём получен в [2, § 98.2].

Выбирая в качестве характерной скоростискорость течения на оси трубы (см. (25)) получаем из (26):Re =2 · ∆ 4=22— выражение для числа Рейнольдса, которое следует использовать когда и сравнимы повеличине. При большой длине трубы ( ≫ ) параметры течения уже не будут зависеть от= const), длина исчезает из параметров задачи, радиус трубы остадлины трубы (при Δётся единственной величиной с размерностью длины и число Рейнольдса для такого течения,согласно (26), принимает вид: ⟨⟩ Re ==,где = 2 — диаметр трубы и ⟨⟩ = /⊥ = /(2 ) = 12 — среднее значение скороститечения по трубе (17). В опытах с длинными трубами О. Рейнольдсом было установлено, чтокритическое значение Reкр такого числа Рейнольдса составляет 2300 (при Re > Reкр ламинарное течение переходит в турбулентное). В последующих экспериментах других исследователей,при тщательном уменьшении возмущений тока жидкости при входе в трубу, значение Reкр было сначала увеличено до 2·104 , а потом и до 4·104 .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги