Совместное распределение случайных величин. Примеры решения задач (1188228)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧСамарова С.С.II курс, теория вероятностей, лектор А.В. Булинский, гр. 855СОДЕРЖАНИЕСОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .............................................. 1МНОГОМЕРНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. МНОГОМЕРНАЯ ПЛОТНОСТЬ ...................................... 3НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ..................................................................................................... 5РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН .......................................... 8СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНЧасто в практических задачах возникает необходимость рассмотрения несколькихслучайных величин одновременно.Определение 1.

Конечный набор случайных величин( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) , заданных наодном и том же вероятностном пространстве, называют случайным вектором илимногомерной случайной величиной.Определение 2. Совместным распределением случайных величин ( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) илираспределением случайного вектора называют вероятностиP ( ξ1  B1 , ξ 2  B2 ,, ξ n  Bn )(1)где B1 , B2 ,  , Bn ̶ произвольные борелевские множества из B ( −  , +  ) .Заметим, что распределение случайного вектора( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) полностью задаетраспределение каждой его компоненты ξ i .

Для того, чтобы это доказать, достаточно вформуле (1) в качестве множеств B j при всех j  i выбрать интервалы ( − , +  ) .С другой стороны, как показывают следующие примеры 1 и 2, знание законараспределения каждой из компонент случайного вектора не определяет его распределение.Пример 1. Рассмотрим две случайные величины ξ и η , которые могут приниматьзначения 0 или 1, причем их совместное распределение задается формулами:1P ( ξ = 1, η = 1) = 0, 25;P ( ξ = 1, η = 0 ) = 0, 5;P ( ξ = 0, η = 1) = 0, 2;P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0, 05.Тогда законы распределения случайных величин ξ и η имеют вид:P ( ξ = 1) = P ( ξ = 1, η = 1) + P ( ξ = 1, η = 0 ) = 0, 25 + 0, 5 = 0, 75;P ( ξ = 0 ) = P ( ξ = 0, η = 1) + P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0, 2 + 0, 05 = 0, 25;P ( η = 1) = P ( ξ = 1, η = 1) + P ( ξ = 0, η = 1) = 0, 25 + 0, 2 = 0, 45;(2)P ( η = 0 ) = P ( ξ = 1, η = 0 ) + P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0, 5 + 0, 05 = 0, 55.Пример 2.

Предположим теперь, что совместное распределение случайных величин ξи η задано формулами:P ( ξ = 1, η = 1) = 0, 3;P ( ξ = 1, η = 0 ) = 0, 45;P ( ξ = 0, η = 1) = 0,15;P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0,1.Тогда законы распределения случайных величин ξ и η имеют вид:P ( ξ = 1) = P ( ξ = 1, η = 1) + P ( ξ = 1, η = 0 ) = 0, 3 + 0, 45 = 0, 75;P ( ξ = 0 ) = P ( ξ = 0, η = 1) + P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0,15 + 0,1 = 0, 25;P ( η = 1) = P ( ξ = 1, η = 1) + P ( ξ = 0, η = 1) = 0, 3 + 0,15 = 0, 45;(3)P ( η = 0 ) = P ( ξ = 1, η = 0 ) + P ( ξ = 0, η = 0 ) = 0, 45 + 0,1 = 0, 55.Сравнивая формулы (2) и (3), замечаем, что в примерах 1 и 2 распределения случайныхвеличин ξ и η идентичны, в то время как совместные распределения пары случайныхвеличин ( ξ , η ) были выбраны разными.Задача 1. Закон распределения дискретной случайной величины ξ имеет вид:ξ:−20120,10,50,10,3Случайная величина η = ξ .

Найти:1) закон распределения случайной величины η ;2) совместное распределение случайных величин ξ и η .2Решение. 1). Случайная величина η = ξ может принимать значения 0, 1 и 2. Найдемвероятности, с которыми принимается каждое из этих значений:P ( η = 0 ) = P ( ξ = 0 ) = 0, 5;P ( η = 1) = P ( ξ = 1) = 0,1;P ( η = 2 ) = P ( ξ = −2 ) + P ( ξ = 2 ) = 0,1 + 0, 3 = 0, 4.Таким образом, закон распределения случайной величины η = ξ имеет вид:0120,50,10,4η:2).

Теперь найдем совместное распределение случайных величин ξ и η :P ( ξ = 0, η = 0 ) = P ( ξ = 0 ) = 0, 5;P ( ξ = 1, η = 1) = P ( ξ = 1) = 0,1;P ( ξ = 0, η = 1) = P ( ξ = 0, η = 2 ) = 0;P ( ξ = 1, η = 0 ) = P ( ξ = 1, η = 2 ) = 0;P ( ξ = 2, η = 2 ) = P ( ξ = 2 ) = 0, 3;P ( ξ = 2, η = 0 ) = P ( ξ = 2, η = 1) = 0;P ( ξ = −2, η = 2 ) = P ( ξ = −2 ) = 0,1;P ( ξ = −2, η = 0 ) = P ( ξ = −2, η = 1) = 0.Поскольку ξ и η являются дискретными случайными величинами, то их совместноераспределение удобно представить в виде таблицы:ηξ−2012000,5001000,1020,1000,3Решение задачи 1 завершено.МНОГОМЕРНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. МНОГОМЕРНАЯПЛОТНОСТЬОпределение 3. Функцией распределения случайного вектора( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) илимногомерной функцией распределения называют функцию n переменных(1 , 2 , … , ) ∈ , определяемую равенствомFξ1 ,ξ2 ,,ξn( x1 , x2 ,, xn ) = P ( ξ1  x1 , ξ 2  x2 ,3, ξ n  xn )(4)Важным классом случайных векторов являются абсолютно непрерывные случайныевекторы.ОпределениеСлучайный4.( ξ1 , ξ 2 ,вектор, ξn )называютнепрерывным(абсолютно непрерывным), если для него существует такая неотрицательная функцияpξ1 ,ξ2 ,,ξn( x1 , x2 ,, xn ) , что для любого борелевского множества ∈ ℬ( ) выполненоравенствоP ( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n )  B =pξ1 ,ξ 2 , ,ξ n( x1 , x2 ,, xn ) dx1dx2dxn(5)BФункцию pξ1 ,ξ2 ,вектора ( ξ1 , ξ 2 ,,ξn( x1 , x2 ,, xn ) называют плотностью распределения случайного, ξ n ) или многомерной плотностью.Замечание.

Далее рассматриваются только такие непрерывные случайные векторы,плотности распределения которых являются функциями, непрерывными на множестве за исключением, быть может, конечного числа точек. Кроме того, здесь и далеерассматриваются только такие борелевские множества ∈ ℬ( ), для которых интеграл,стоящий в правой части формулы (2), существует и совпадает с интегралом Римана.В частности, для непрерывных случайных векторов из формул (4) и (5) вытекаютследующие важные соотношения:1. Для любых (1 , 2 , … , ) ∈ выполнено равенство:Fξ1 ,ξ 2 ,,ξ n( x1 , x2 ,, xn ) =x1xn −−pξ1 ,ξ 2 ,,ξ n( t1 , t2 ,, t n ) dt1dt2dt n(6)2. Многомерная плотность удовлетворяет условию нормировки:++ −−pξ1 ,ξ 2 ,,ξ n( t1 , t2 ,, t n ) dt1dt23.

Во всех точках непрерывности функцииpξ1 ,ξ2 ,dt n = 1,ξn(7)( x1 , x2 ,, xn ) выполненоравенство:,ξ n( x1 , x2 ,x1xnnpξ1 ,ξ 2 ,,ξ n( x1 , x2 ,, xn ) = Fξ1 ,ξ 2 ,, xn )(8)4. Одномерные распределения и одномерные плотности компонент случайного вектора( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) можно найти по формулам:( − 1)() = 14+∞+∞ξ () = ∫ ( ∫ … ∫ ξ1ξ2 ,…,ξ (1 , 2 , … , ) 1 … −1 +1 … ) −∞+∞−∞+∞−∞ξ () = ∫ … ∫ ξ1ξ2 ,…,ξ (1 , … , −1 , , +1 , … , ) 1 … −1 +1 … −∞−∞НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНОпределениеСлучайные5.величиныξ1 , ξ 2 ,, ξnназываютнезависимыми(независимыми в совокупности), если для любых борелевских множеств B1 , B2 ,  , Bn изB ( −  , +  ) выполнено равенство:P ( ξ1  B1 , ξ 2  B2 ,, ξ n  Bn ) = P ( ξ1  B1 )  P ( ξ 2  B2 )  P ( ξ n  Bn )Другими словами, случайные величины независимы, если для любых борелевскихмножеств B1 , B2 ,  , Bn независимыми являются событияξ1  B1 ,, ξ n  Bn  .Из определения 5 следуют два важных свойства для функций распределениянезависимых случайных величин и плотностей распределения (в случае, когда независимыеслучайные величины были непрерывными).1.

Случайные величины ξ1 , ξ 2 ,, ξ n независимы тогда и только тогда, когда для любых(1 , 2 , … , ) ∈ выполнено равенствоFξ1 ,ξ2 ,,ξn( x1 , x2 ,, xn ) = Fξ1 ( x1 )  Fξ2 ( x2 ) 2. Непрерывные случайные величины ξ1 , ξ 2 , Fξn ( xn )(9), ξ n независимы тогда и только тогда,когда для любых (1 , 2 , … , ) ∈ выполнено равенствоpξ1 ,ξ2 ,,ξn( x1 , x2 ,, xn ) = pξ1 ( x1 )  pξ2 ( x2 )  p ξn ( xn )(10)Нетрудно заметить, что равенство (10) легко получить из равенства (9) путемдифференцирования (см. формулу (8)).Задача 2.

Совместное распределение двух дискретных случайных величин ξ и ηзадано при помощи таблицы:5ξ−5−1, 5−70,080,3280,120,48ηВыяснить, являются ли случайные величины ξ и η независимыми.Решение. Найдем одномерные распределения случайных величин ξ и η . Для того,чтобы найти закон распределения случайной величины η , сложим вероятности в каждойстроке таблицы и запишем результаты в дополнительном столбце справа. Для того, чтобынайти закон распределения случайной величины ξ , сложим вероятности в каждом столбцетаблицы и запишем результаты в дополнительной строке снизу.−5−1, 5−70, 080, 320,480,120, 480,60,20,8ηξСлучайные величины ξ и η независимы в том, и только в том, случае, есливероятности, стоящие в каждой клетке исходной таблицы их совместного распределенияравны произведению соответствующих вероятностей, записанных в дополнительнойстроке и дополнительном столбце.

Непосредственная проверка показывает, что длярассматриваемого в задаче совместного распределения случайных величин ξ и η этиусловия выполнены.Ответ: случайные величины ξ и η независимы.Задача 3. Случайные величиныраспределение с параметром1) η1 = max ξ1 , ξ 2 ,ξ1 , ξ 2 ,, ξnнезависимы и имеют показательноеλ . Найти плотность распределения случайных величин:, ξ n  , 2) η2 = min ξ1 , ξ 2 ,, ξ n .Решение.

1). Функция распределения случайной величины η1 имеет вид:Fη 1 ( x ) = P ( η1  x ) = P ( max ξ1 , ξ 2 ,= P ( ξ1  x, ξ 2  x,, ξn  x).6, ξn  x) =Воспользовавшись независимостью случайных величин ξ1 , ξ 2 ,Fη 1 ( x ) = P ( ξ1  x,= Fξ 1 ( x )  Fξ 2 ( x ) , ξ n  x ) = P ( ξ1  x )  P ( ξ 2  x ) , ξ n , получаем: P (ξn  x ) = Fξ n ( x ) .Поскольку все случайные величины ξ1 , ξ 2 ,, ξ n имеют одно и то же распределение,то их функции распределения равны между собой. Поэтому(Fη 1 ( x ) = Fξ 1 ( x )  Fξ 2 ( x )  Fξ n ( x ) = Fξ 1 ( x ))n.Отсюда вытекает, что плотность распределения случайной величины η1 равна(pη 1 ( x ) = Fη1 ( x ) = n  Fξ 1 ( x ))n −1 pξ 1 ( x )(11)Воспользовавшись формулой 0F ( x) = − λx1 − eпри−   x  0,при0  x  +.(12)задающей функцию распределения для показательного распределения с параметромλ,иформулой 0− λxλ  ep ( x) = при−   x  0,при0  x  +.задающей плотность показательного распределения с параметромλ , формулу (11) можнопреобразовать к видуpη 1 ( x ) = 0λn  e− λx (1 − e− λx )n −1при−   x  0,при0  x  +.2) Функция распределения случайной величины η 2 имеет вид:Fη 2 ( x ) = P ( η2  x ) = P ( min ξ1 , ξ 2 ,= 1 − P ( min ξ1 , ξ 2 ,, ξn  x) =, ξ n   x ) = 1 − P ( ξ1  x, ξ 2  x,Воспользовавшись тем, что случайные величины ξ1 , ξ 2 ,одно и то же показательное распределение с параметром7, ξn  x )., ξ n независимы и имеютλ (см.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций