Совместное распределение случайных величин. Примеры решения задач (1188228), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

формулу (12)), получаем: P ( ξ n  x ) = 1 − ( P ( ξ1  x ) ) =Fη 2 ( x ) = 1 − P ( ξ1  x )  P ( ξ 2  x ) (= 1 − 1 − Fξ 1 ( x )) 0=− λn x1 − ennпри−   x  0,при0  x  +.Отсюда следует, что плотность распределения случайной величины η 2 равнаpη 2 ( x ) = Fη2 ( x ) = 0λn e− λn xпри−   x  0,при0  x  +..Ответ:01) pη 1 ( x ) = λn  e2) pη 2 ( x ) = − λx0λn e− λn x (1 − e− λx )n −1при−   x  0,при0  x  +.при−   x  0,при0  x  +.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНРассмотрим две независимые случайные величины ξ1 и ξ 2 , законы распределенийкоторых известны. Часто при решении задач требуется выяснить, как распределена ихсумма ξ1 + ξ 2 .В случае, когда обе случайные величины ξ1 и ξ 2 являются непрерывными случайнымивеличинами с плотностями pξ1 ( x ) и pξ2 ( x ) соответственно, можно получить формулудля плотности распределения их суммы.

С этой целью рассмотрим функцию распределениясуммы ξ1 + ξ 2 :() Fξ 1 + ξ 2 ( x ) = P ξ 1 + ξ 2  x =y+ zxpξ 1 ,ξ 2 ( y , z ) dy dz .В силу независимости случайных величин ξ1 и ξ 2 с помощью формулы (10) получаем:Fξ 1 +ξ 2 ( x ) =y+ zxpξ 1 ,ξ 2 ( y , z ) dy dz =y+ zxpξ 1 ( y )  pξ 2 ( z ) dy dzСделаем в правой части формулы (11) замену переменныхy = s,z = t − s,и перейдем от двойного интеграла к повторным:8(13) +pspt−sdtds=pspt−sds()()()() dtξξξξ 1  122tx−  −x(14)Продифференцировав интеграл, стоящий в правой части формулы (14), по верхнемупределу, получим плотность распределения суммы ξ1 + ξ 2 :pξ 1 + ξ 2 ( x ) =+p−ξ1( s ) pξ ( x − s ) ds(15)2Замечание.

Формула (15) означает, что плотность суммы двух непрерывныхнезависимых случайных величин ξ1 и ξ 2 является сверткой их плотностей pξ1 ( x ) иpξ2 ( x ) .Задача 4 (распределение суммы двух независимых непрерывных случайных величин).Найти плотность распределения суммы независимых случайных величин ξ и η , если ξравномерно распределена на отрезке [0,1] , а η имеет показательное распределение спараметром λ = 1.Решение.

Подставим плотности распределений ξ и η0 при −  x  0,pξ ( x ) = 1 при0  x  1,0 при 1  x  +, 0−xepη ( x ) = при−   x  0,при0  x  +,в формулу (15) для плотности суммы двух независимых случайных величин:pξ + η ( x ) =+pξ−1( s ) pη ( x − s ) ds =  pη ( x − s ) ds0Замечая, что pη ( x − s )  0 в том, и только в том случае, когдаследующие результаты:1) при x  0 справедливо равенство pξ +η ( x ) = 0 ;2) при 0  x  1 формула (16) принимает видpξ + η ( x ) =10pη ( x − s ) ds =(16)xs−xs−x−x e ds = e = 1 − e ;x003) при x  19s  x , получимpξ + η ( x ) =1pη ( x − s ) ds =1s−xs−x1− x−x e ds = e = e − e .0000−xpξ+η ( x ) =  1 − ee 1− x − e − xОтвет:1при−  x  0,при0  x  1,при1  x  +.Задача 5 (распределение суммы двух независимых случайных величин, одна изкоторых непрерывная, а другая дискретная). Случайные величины ξ и η независимы.Случайная величина ξ непрерывная и имеет плотность распределения pξ ( x ) , а случайнаявеличина η дискретная и задана законом распределенияη:−2120,30,20,5Найти закон распределения суммы ξ + η .Решение.

Выразим функцию распределения суммы случайных величин ξ + η черезфункцию распределения случайной величины ξ , пользуясь независимостью случайныхвеличин ξ , η и законом распределения случайной величины η :Fξ + η ( x ) = P ( ξ + η  x ) == P ( η = −2, ξ  x + 2 ) + P ( η = 1, ξ  x − 1) + P ( η = 2, ξ  x − 2 ) == P ( η = −2 ) P ( ξ  x + 2 ) + P ( η = 1) P ( ξ  x − 1) + P ( η = 2 ) P ( ξ  x − 2 ) == 0, 3  Fξ ( x + 2 ) + 0, 2  Fξ ( x − 1) + 0, 5  Fξ ( x − 2 )Для того, чтобы найти плотность распределения суммы случайных величин ξ + η ,продифференцируем полученное равенство:pξ +η ( x ) = Fξ+η ( x ) = 0, 3  pξ ( x + 2) + 0, 2  pξ ( x − 1) + 0, 5  pξ ( x − 2 )Ответ:pξ +η ( x ) = 0, 3  pξ ( x + 2) + 0, 2  pξ ( x − 1) + 0, 5  pξ ( x − 2 )Задача 6 (распределение суммы двух независимых дискретных случайных величин).Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин ξ1 и ξ 2 ,распределенных по закону Пуассона с параметрами λ1 и λ 2 .Решение.

Поскольку каждая из случайных величин ξ1 и ξ 2 может принимать толькоцелые неотрицательные значения, то и их сумма ξ1 + ξ 2 может принимать только значения100,1,2,3,... Найдем вероятности, с которыми сумма ξ1 + ξ 2 будет принимать эти значения.С учетом независимости случайных величин ξ1 и ξ 2 и формулыpk = P ξ = k =λke−λk!( k = 0,1, 2, 3, ) .описывающей закон распределения случайной величины ξ , распределенной по законуПуассона с параметромλ , для произвольного целого неотрицательного числа n получаем:pn = P ξ1 + ξ 2 = n =n= P ξk =0=e −( λ1 + λ 2 )n!где черезCnk1n P ξk =01= k P ξ 2 = n − k  =nCk =0k k n−kn λ1 λ 2= k , ξ 2 = n − k =nkλ1 k! e− λ1k =0n−kλ2( n − k )!e− λ2 =,обозначено число сочетаний из n элементов по k элементов.

Применениеформулы бинома Ньютона позволяет получить окончательный результат:pn =( λ1 + λ 2 )nn!e−( λ1 +λ2 )Таким образом, сумма ξ1 + ξ 2 также имеет распределение Пуассона, параметркоторого равен сумме λ1 + λ 2 .Ответ: сумма ξ1 + ξ 2 имеет распределение Пуассона с параметром λ1 + λ 2 .11.

Характеристики

Список файлов лекций