Вопросы к лекциям по аналитической геометрии и линейной алгебре - Беклемишева (1188211), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Êàê âûðàæàåòñÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåç êîìïîíåíòûñîìíîæèòåëåé?19. ×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé Ãðàìà?20. Ïåðå÷èñëèòü îñíîâíûå ñâîéñòâà ìàòðèöû Ãðàìà.21. Êàê ñâÿçàíû ìàòðèöû Ãðàìà äâóõ áàçèñîâ?22. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î äåòåðìèíàíòå ìàòðèöû èç ïîïàðíûõñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé âåêòîðîâ x1, .

. . , xk â n-ìåðíîìåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå?23. Êàê âûðàæàþòñÿ ïðè ïîìîùè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿêîîðäèíàòû âåêòîðà x â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå?24. Êàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé?25. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþò îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû?26. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ìàòðèöà ïåðåõîäà îò îäíîãîîðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ê äðóãîìó?27. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî.28. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå |x +y| ≤ |x| + |y|.  êàêîì ñëó÷àå |x + y| = |x| + |y|?29. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ x è y â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå| cos φxy | ≤ 1 (âû÷èñëåííûé ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). êàêîì ñëó÷àå cos φxy = 1?30.

Äàòü îïðåäåëåíèå óíèòàðíîãî (ýðìèòîâà) ïðîñòðàíñòâà.31. Âûðàçèòü â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå (x, αy) ÷åðåç α è (x, y). Êàêâ óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âûðàæàåòñÿ÷åðåç êîîðäèíàòû ñîìíîæèòåëåé?3632. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ìàòðèöà Ãðàìà â óíèòàðíîìïðîñòðàíñòâå?33. Êàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâîé?34. Êàêèå êâàäðàòè÷íûå è áèëèíåéíûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿýðìèòîâûìè?35. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ìàòðèöà ïåðåõîäà â óíèòàðíîìïðîñòðàíñòâå?36.

Êàê â óíèòàðíîì ïðîñòðàíñòâå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåâûðàæàåòñÿ÷åðåçêîîðäèíàòûñîìíîæèòåëåéâîðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå?37. Äàòü íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé óíèòàðíîé ìàòðèöû.38. Äîêàçàòü, ÷òî óíèòàðíûå ìàòðèöû îáðàçóþò ãðóïïó.Ëèíåéíûåïðåîáðàçîâàíèÿåâêëèäîâûõïðîñòðàíñòâ.1. Êàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì ê äàííîìó?2. Êàê ñâÿçàíû ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîïðÿæåííîãî ê íåìó? ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïðîñòðàíñòâî 1)åâêëèäîâî, 2)óíèòàðíîå, àáàçèñ â í¸ì à)ïðîèçâîëüíûé, á)îðòîíîðìèðîâàííûé.3. Ïóñòü íà ïðîñòðàíñòâå áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé,ðàâíûõ 0 âíå íåêîòîðîãî îãðàíè÷åííîãî èíòåðâàëàñêàëÿðíîåR +∞ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëåíî ïî ôîðìóëå (p, q) = −∞ p(t)q(t)dt. Íàéòèïðåîáðàçîâàíèå, ñîïðÿæåííîå ê äèôôåðåíöèðîâàíèþ.374.

Ïðåîáðàçîâàíèå f åñòü ïîâîðîò âåêòîðîâ ïëîñêîñòè íà óãîë φ. ×òîïðåäñòàâëÿåò ñîáîé f ∗?5. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ïîäïðîñòðàíñòâî P èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçèâàíèÿ A, òî P ⊥ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî A∗.6. Äîêàçàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû ïðåîáðàçîâàíèé Aè A∗ ñîâïàäàþò.7. Äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû ïðåîáðàçîâàíèé A è A∗,îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû.8. Êàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì?9.

êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ìàòðèöà ñàìîñîïðÿæåííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé,à ïðîñòðàíñòâî åâêëèäîâî èëè óíèòàðíîå) ?10. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ñàìîñîïðÿæåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé åâêëèäîâà 3ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.11. Äîêàçàòü, ÷òî 2 ñîáñòâåííûõ âåêòîðà ñàìîñîïðÿæåííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ, îòíîñÿùèåñÿ ê ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì, âçàèìíî îðòîãîíàëüíû.12. Êàêóþ îñîáåííîñòü èìåþò êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿñàìîñîïðÿæåííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ?13. Êàê ñâÿçàíû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ñîáñòâåííûå âåêòîðû èìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèé f è g , åñëè f åñòü îãðàíè÷åíèå g íàèíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî P .14.

Ñôîðìóëèðîâàòü îñíîâíóþ òåîðåìó î ñàìîñîïðÿæåííûõïðåîáðàçîâàíèÿõ.3815. Íàéòè îíá èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ,îïðåäåëåííîãî â íåêîòîðîì îíá ìàòðèöåé :1 0 0á) 02 0 ,0 0 30 0 11 0 0à) 0 1 0 ,0 0 1â) 01 0 .1 0 016. Êàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ à) îðòîãîíàëüíûì, á) óíèòàðíûì?17. Êàêîé ìàòðèöåé âûðàæàåòñÿ îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå â îíá?18.

Êàêîé ìàòðèöåé âûðàæàåòñÿ óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå â îíá?19.  êàêîì ñëó÷àå îðòîãîíàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå ÿâëÿåòñÿñàìîñîïðÿæåííûì?20. Êàêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàåò ïðîèçâåäåíèå äâóõ à) îðòîãîíàëüíûõ,á) óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé?21. Äîêàçàòü, ÷òî îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàçóþò ãðóïïóñ îïåðàöèåé êîìïîçèöèè. Âåðíî ëè ýòî äëÿ óíèòàðíûõïðåîáðàçîâàíèé?22. Êàêèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìîæåò èìåòü îðòîãîíàëüíîåïðåîáðàçîâàíèå?23.

Äîêàçàòü, ÷òî îðòîãîíàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íåâûðîæäåíû.24. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó îá îäíîâðåìåííîì ïðèâåäåíèèïàðû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ê äèàãîíàëüíîìó âèäó.25. ×òî íàçûâàåòñÿ ñèíãóëÿðíûì ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû?3926. Ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü òåîðåìó î ñèíãóëÿðíîì ðàçëîæåíèèïðîèçâîëüíîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû.40.

Характеристики

Список файлов лекций