Вопросы к лекциям по аналитической геометрии и линейной алгебре - Беклемишева (1188211), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû Φ ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìèîäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé,è c ñòîëáåö ñîîòâåòñòâóþùåéðàçìåðíîñòè, òî è Φc òîæå ðåøåíèå òîé æå ñèñòåìû.10. ×òî íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé?11. ×òî íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé îäíîðîäíîéñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?12. Äîêàçàòü, ÷òî ðàçíîñòü ðåøåíèé ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõóðàâíåíèé åñòü âñåãäà ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîéñèñòåìû.13. Äîêàçàòü, ÷òî ñóììà ïðîèçâîëüíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõóðàâíåíèé è ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îäíîðîäíîé ñèñòåìûóäîâëåòâîðÿåò èñõîäíîé ñèñòåìå.14.
Ñêîëüêî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé ìîæåòèìåòü îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èç m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ níåèçâåñòíûìè, åñëè å¸ ðàíã ðàâåí r?15. Ñêîëüêî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé ìîæåòèìåòü îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ níåèçâåñòíûìè ñ ìàòðèöåé A, åñëè 1)det A 6= 0 2)det A = 0?16. ×òî íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?17. Íàïèñàòü ôîðìóëó îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Âåðíà ëè îíà äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû?18. Íàïèñàòü îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû èç îäíîãî óðàâíåíèÿ : 1)x+y = 1,2)x + y + z = 1, 3)x1 − xn = 0.2019.
Äàòü ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ (äëÿ n = 3) ñâÿçè ìåæäóðåøåíèÿìè ñèñòåìû è ðåøåíèÿìè åå îäíîðîäíîé.20. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìû,òî ñèñòåìà èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.21. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñòðîêè ìàòðèöû ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìû,òî ñèñòåìà èìååò íå ìåíåå 1 ðåøåíèÿ.22.  êàêîì ñëó÷àå îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà m óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìèèìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå?23.  êàêîì ñëó÷àå ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äàííîé ìàòðèöåé Aðàçðåøèìà ïðè ëþáîì ñòîëáöå ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ?24. Äîêàçàòü, ÷òî ëèáî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ðàçðåøèìà ïðèëþáîì ñòîëáöå ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, ëèáî å¸ ñîïðÿæ¸ííàÿ îäíîðîäíàÿñèñòåìà èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå (àëüòåðíàòèâà Ôðåäãîëüìà).25.
Ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå, ïðè êîòîðîì äàííàÿ ñèñòåìà èç nëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè èìååò åäèíñòâåííîåðåøåíèå. Âûðàçèòü ýòî óñëîâèå â òåðìèíàõ ñòîëáöîâ è ñòðîêðàñøèðåííîé ìàòðèöû.26.  êàêîì ñëó÷àå ñèñòåìà èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìèèìååò à)áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé, á)åäèíñòâåííîå ðåøåíèå,â)íåñîâìåñòíà ?27. Ïóñòü íåêîòîðîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåìçàäàííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â òîì ñìûñëå, ÷òîïðèñîåäèíåíèå äàííîé ñèñòåìû ê èñõîäíîìó óðàâíåíèþ íå ìåíÿåòìíîæåñòâà å¸ ðåøåíèé. Äîêàçàòü, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå åñòüëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû.2128.
Êàêèå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè?29. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè 2 ñîâìåñòíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé ýêâèâàëåíòíû,òî èõ ðàíãè ðàâíû.30. Äîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè íàä ñòðîêàìèðàñøèðåííîé ìàòðèöû ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèòñÿâñåãäà ê ýêâèâàëåíòíîé åé ñèñòåìå.Ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà.1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì?2. Ïðèâåñòè ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Êàêîå ïðîñòðàíñòâîíàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì?3. Êàêàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ 1)ëèíåéíî íåçàâèñèìîé,2)ëèíåéíî çàâèñèìîé?4. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ñîäåðæèò íóëåâîé âåêòîð, òîîíà ëèíåéíî çàâèñèìà.5. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî ëþáàÿåå ïîäñèñòåìà òîæå ëèíåéíî íåçàâèñèìà.6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ñîäåðæèò ëèíåéíî çàâèñèìóþïîäñèñòåìó, òî è ñàìà îíà ëèíåéíî çàâèñèìà.7. Ïóñòü ñèñòåìà âåêòîðîâ (a1, .
. . , ak ) ëèíåéíî íåçàâèñèìà, à ñèñòåìà(a0 , a1 , . . . , ak ) ëèíåéíî çàâèñèìà. Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà a0 ìîæíîðàçëîæèòü ïî a1, . . . , ak .8. ×òî íàçûâàåòñÿ áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà? Óêàçàòü áàçèñûâ ïðîñòðàíñòâàõ ìàòðèö ïîðÿäêà m × n, ñòîëáöîâ, ñòðîê.229.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.Ñóùåñòâóþò ëè ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà áåç áàçèñà?Óêàçàòü áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n.×òî íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå?Ïåðå÷èñëèòü îñíîâíûå ñâîéñòâà êîîðäèíàò.×òî íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà?Äîêàçàòü, ÷òî âñå áàçèñû â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñîäåðæàòîäèíàêîâîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ.Âûïèñàòü ôîðìóëó çàìåíû êîîðäèíàò âåêòîðà ïðè çàìåíå áàçèñà.×òî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì?Ïðèâåñòè ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå Ln âûáðàí áàçèñ è åñòü ïîäïðîñòðàíñòâîF ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ a1 , .
. . , ak . Òîãäà íàïèñàòü ñèñòåìóóðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùóþ F .Ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî çàäàíî ñèñòåìîé ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõóðàâíåíèé. êàê íàéòè â íåì áàçèñ?×òî íàçûâàåòñÿ ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâ?×òî íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ïîäïðîñòðàíñòâ?Êàê ñâÿçàíû ðàçìåðíîñòè ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ 2 ïîäïðîñòðàíñòâ?×òî íàçûâàåòñÿ ïðÿìîé ñóìîé ïîäïðîñòðàíñòâ?Êàê âû÷èñëèòü ðàçìåðíîñòü ïðÿìîé ñóììû ïîäïðîñòðàíñòâ?Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ïîäïðîñòðàíñòâ åñòü ñíîâà ëèíåéíîåïîäïðîñòðàíñòâî.2326. Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâà F1 è F2 îïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ ñâîèõáàçèñîâ. Êàê òîãäà íàéòè áàçèñ â 1) F1 + F2 , 2) F1 ∪ F2 ?27.
Ïóñòü ïîäïðîñòðàíñòâà F1 è F2 çàäàíû ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõóðàâíåíèé. Êàê îïðåäåëèòü F1 + F2 è F1 ∪ F2 ?28.  n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äàíû 2 ëèíåéíûõ ïîäïðîñòðàíñòâà, kìåðíîå è m-ìåðíîå. Îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ è ìèíèìàëüíóþðàçìåðíîñòü èõ ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ.Ëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ.1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îòîáðàæåíèåì?2.
×òî íàçûâàåòñÿ ðàíãîì ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ?3. Äîêàçàòü, ÷òî îáðàç íóëåâîãî ýëåìåíòà ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèèâñåãäà íóëåâîé ýëåìåíò.4. Äîêàçàòü. ÷òî ïðè ëèíåéíîì îòîáðàæåíèè îáðàç ëèíåéíîãîïîäïðîñòðàíñòâà åñòü âñåãäà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâîðàçìåðíîñòè, íå áîëüøåé, ÷åì ó èñõîäíîãî.5. ×òî íàçûâàåòñÿ ÿäðîì ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ?6. Äîêàçàòü, ÷òî ÿäðî îòîáðàæåíèÿ åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî.7. Íàéòè ðàíã è ðàçìåðíîñòü ÿäðà îòîáðàæåíèÿ, ñîïîñòàâëÿþùåãîêàæäîìó ìíîãî÷ëåíó ñòåïåíè íå âûøå n åãî ïðîèçâîäíóþ.8. ×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ?9. Äàíî îòîáðàæåíèå ïðîñòðàíñòâà ìàòðèö ðàçìåðà m × n âïðîñòðàíñòâî ñòîëáöîâ ðàçìåðà m, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîé2410.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.ìàòðèöå å¸ ïåðâûé ñòîëáåö. Íàéòè ðàíã, ÿäðî, ìàòðèöó ýòîãîîòîáðàæåíèÿ â ñòàíäàðòíûõ áàçèñàõ.
Ïðîâåðèòü åãî ëèíåéíîñòü.Âñå âåêòîðû 3-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà îðòîãîíàëüíî ïðîåêòèðóþòñÿíà îñü àáñöèññ. Äîêàçàòü, ÷òî äàííîå îòîáðàæåíèå ëèíåéíî è íàéòèåãî ìàòðèöó.Êàê ñâÿçàíû ðàíã îòîáðàæåíèÿ, åãî ìàòðèöà è ðàçìåðíîñòü ÿäðà?×òî íàçûâàåòñÿ èçîìîðôèçìîì? Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó îáèçîìîðôèçìå.Êàê ñâÿçàíî ñâîéñòâî ñþðúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ è åãî ðàíã?Êàê ñâÿçàíû ñâîéñòâî èíúåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèÿ è åãî ÿäðî?×åìó ðàâíû ðàíã è ÿäðî îòîáðàæåíèÿ, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿèçîìîðôèçìîì? ×åì õàðàêòåðíà ìàòðèöà òàêîãî îòîáðàæåíèÿ?Êàê ñâÿçàíû ìàòðèöû ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ â 2 ðàçëè÷íûõ ïàðàõáàçèñîâ?Ïóñòü ìàòðèöû A è A0 ìàòðèöû îäíîãî è òîãî æå ëèíåéíîãîîòîáðàæåíèÿ â ðàçíûõ ïàðàõ áàçèñîâ.
Äîêàçàòü, ÷òî A0 ìîæíîïîëó÷èòü èç A ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè.Ïóñòü äëÿ îòîáðàæåíèé f , g , h îïðåäåëåíû îòîáðàæåíèÿ fg , fh ,g + h . Äîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå f (g + h) = fg + fh .Ïóñòü äëÿ îòîáðàæåíèé f , g , h h = fg . Êàê ñâÿçàíû èõ ìàòðèöû?×òî íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì îòîáðàæåíèåì?Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ èçîìîðôèçìà ñóùåñòâóåò îáðàòíîå îòîáðàæåíèå,è îíî òîæå èçîìîðôèçì.2522. Äîêàçàòü, ÷òî îòîáðàæåíèå, íå ÿâëÿþùååñÿ èçîìîðôèçìîì, íåèìååò îáðàòíîãî.23. Êàê ñâÿçàíû ìàòðèöû ïðÿìîãî è îáðàòíîãî îòîáðàæåíèé?24.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè k áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà ïðèíàäëåæàòÿäðó îòîáðàæåíèÿ, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîëáöû ìàòðèöûîòîáðàæåíèÿ íóëåâûå.25. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè îáðàçû ïåðâûõ k áàçèñíûõ âåêòîðîâ ñîâïàäàþò ñïåðâûìè k áàçèñíûìè âåêòîðàìè îáðàçà, òî â ìàòðèöå îòîáðàæåíèÿïåðâûå k ñòîëáöîâ ñîâïàäàþò ñ òàêîâûìè ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû.26. Ïóñòü e1, . . . , en áàçèñ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L, à âåêòîðûe1 , . . .
, ek îáðàçóþò áàçèñ ÿäðà îòîáðàæåíèÿ f . Äîêàçàòü, ÷òîf (ek +1 ), . . . , f (en ) îáðàçóþò áàçèñ â f (L).27. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî ëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ñóùåñòâóþò!E 0áàçèñû, â êîòîðûõ ìàòðèöà îòîáðàæåíèÿ èìååò âèä.00Ëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ?2. ×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ?3. Âñå âåêòîðû 3-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà îðòîãîíàëüíî ïðîåêòèðóþòñÿíà îñü àáñöèññ. Äîêàçàòü, ÷òî äàííîå ïðåîáðàçîâàíèå ëèíåéíî èíàéòè åãî ìàòðèöó. Ñðàâíèòü ñ çàäà÷åé 10 ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà.4. ×òî íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãîïðåîáðàçîâàíèÿ?5.
Ïðèâåñòè ïðèìåðû èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ.266. Ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèÿ:1) ñóììà èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ åñòü èíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî,2) ïåðåñå÷åíèå èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ åñòü èíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî,3) ÿäðî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ åñòü èíâàðèàíòíîåïîäïðîñòðàíñòâî.7. Êàêîé âèä èìååò ìàòðèöà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè ïåðâûåk áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà îáðàçóþò áàçèñ èíâàðèàíòíîãîïîäïðîñòðàíñòâà?8.
Êàêîé âèä èìååò ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ â áàçèñå e1, . . . , en, åñëèe1 , . . . , ek îáðàçóþò áàçèñ â èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå M , àek+1 , . . . , en áàçèñ â èíâàðèàíòíîì ïîäïðîñòðàíñòâå N ?9. Äîêàçàòü,!÷òî åñëè ìàòðèöà ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âèäA 0, òî ïðîñòðàíñòâî ðàñïàäàåòñÿ â ñóììó 2 èíâàðèàíòíûõ0 Bïîäïðîñòðàíñòâ.10. ×òî íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ?11. ×òî íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì?12.
Ìîæåò ëè ñîáñòâåííûé âåêòîð áûòü íóëåâûì ýëåìåíòîì? Ìîæåòëè ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ðàâíÿòüñÿ 0?13. Âûïèñàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùóþ ñîáñòâåííûå âåêòîðûè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ äëÿ äàííîãî ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.14. ×òî íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì?2715.
Äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ óäîâëåòâîðÿþòõàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ.16. Îáÿçàòåëüíî ëè âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè?17. Äîêàçàòü, ÷òî â âåùåñòâåííîì (ñîîòâåòñòâåííî, êîìïëåêñíîì)ïðîñòðàíñòâå êàæäûé âåùåñòâåííûé (ñîîòâåòñòâåííî,êîìïëåêñíûé) êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì.18. Êàê ñâÿçàíû ìàòðèöû ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ðàçíûõáàçèñàõ?19. Äîêàçàòü, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí íå çàâèñèò îò áàçèñà.20. ×òî íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ êîðíÿ àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ?21. Äîêàçàòü,÷òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìóñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ0, âìåñòå ñ íóëåâûì âåêòîðîì îáðàçóþòèíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
