Вопросы к лекциям по аналитической геометрии и линейной алгебре - Беклемишева (1188211), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Êàê îíî íàçûâàåòñÿ? Êàê ñâÿçàíàåãî ðàçìåðíîñòü ñ êðàòíîñòüþ êîðíÿ λ0 õàðàêòåðèñòè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ? Ìîæåò ëè îíà áûòü ìåíüøå, ÷åì êðàòíîñòü êîðíÿ?Ïðèâåñòè ïðèìåð.22. Êàê ñâÿçàíî ÿäðî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû,îòâå÷àþùèå íóëåâîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ?23. Äîêàçàòü, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûìñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ëèíåéíî íåçàâèñèìû.24.
Êàêóþ îñîáåííîñòü èìååò ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè ïåðâûå káàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà ñîáñòâåííûå?2825. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î áàçèñå, åñëè ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååò âí¸ì äèàãîíàëüíûé âèä?26. Íàéòè âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿïðåîáðàçîâàíèÿ,çàäàííîãî! ìàòðèöåé: !!1)1 10 1,2)1 00 1,3)1 11 127. Ïóñòü A ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå íåêîòîðîãî êîìïëåêñíîãîïðîñòðàíñòâà. Äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâîñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ñîáñòâåííûé âåêòîð A .
Âåðíî ëè ýòîóüâàðæäåíèå äëÿ âåùåñòâåííûõ ïðîñòðàíñòâ?28. Äîêàçàòü, ÷òî áàçèñ, â êîòîðîì ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ èìååòäèàãîíàëüíûé âèä òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîìó êîðíþõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè k ñîîòâåòñòâóåò kìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.29. Äîêàçàòü, ÷òî îáðàç ïðîñòðàíñòâà ïðè ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèèåñòü èíâàðèàíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî.30. Ìîæåò ëè îáðàç ïðîñòðàíñòâà èìåòü ñ ÿäðîì ïðåîáðàçîâàíèÿíåíóëåâîå! ïåðåñå÷åíèå K ? Ðàññìîòðåòü ïðèìåð ïðåîáðàçîâàíèÿ0 1. Áóäåò ëè ÿâëÿòüñÿ â òàêîì ñëó÷àå K èíâàðèàíòíûì0 0ïîäïðîñòðàíñòâîì?31.
Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò áàçèñ,â êîòîðîì åãî ìàòðèöà äèàãîíàëüíà, òî îáðàç ïðîñòðàíñòâà åñòüëèíåéíàÿ îáîëî÷êà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõíåíóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, è âñå ïðîñòðàíñòâîðàñïàäàåòñÿ â ñóììó îáðàçà è ÿäðà. Âåðíî ëè îáðàòíîå29óòâåðæäåíèå?Ðàññìîòðåòü ïðèìåð ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ìàòðèöåé0 0 0 0 1 1 .0 0 132. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íî òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå íå èìååòíóëåâûõ êîðíåé.33.
Ïðèâåñòè ïðèìåð ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, äëÿ êîòîðîãîíå ñóùåñòâóåò áàçèñà, â êîòîðîì ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿäèàãîíàëüíà.34. Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå f åñòü îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèåâñåõ âåêòîðîâ 3-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà íà ïðÿìóþ x = y = z.Ïðèâîäèòñÿ ëè ìàòðèöà ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ê äèàãîíàëüíîìóâèäó? Íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû f .35. Ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå f åñòü ïîâîðîò âñåõ âåêòîðîâ â 3-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå âîêðóã îñè Oz íà π2 .
Åñòü ëè áàçèñ, â êîòîðîìîíî èìååò äèàãîíàëüíûé âèä? Íàéòè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ èñîáñòâåííûå âåêòîðû.36. Âûÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ìàòðèöåéa 0 0 0 b 0 0 0 cäëÿ âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé a, b è c.Ëèíåéíûå è áèëèíåéíûå ôóíêöèè.1.
Äàòü îïðåäåëåíèå ëèíåéíîé ôóíêöèè íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå.Îïèñàòü ëèíåéíóþ ôóíêöèþ êàê ëèíåéíîå îòîáðàæåíèå.302. Áóäåò ëè ëèíåéíîé ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ îäíî è òî æå çíà÷åíèåíà ëþáîì âåêòîðå ïðîñòðàíñòâà?3. Êàê âûðàæàåòñÿ çíà÷åíèå ëèíåéíîé ôóíêöèè íà âåêòîðå ÷åðåç åãîêîîðäèíàòû?4. Êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ñòðîêà êîýôôèöåíòîâ ôóíêöèè ïðè çàìåíåáàçèñà?5.
Êàê îïðåäåëÿþòñÿ ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà ÷èñëî äëÿ ëèíåéíûõôóíêöèé? Ïåðå÷èñëèòü ñâîéñòâà ýòèõ îïåðàöèé.6. Êàêîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæ¸ííûì ê äàííîìóëèíåéíîìó ïðîñòðàíñòâó?7. Äàòü îïðåäåëåíèå âçàèìíîãî (áèîðòîãîíàëüíîãî) áàçèñà äëÿäàííîãî áàçèñà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.8. Êàê ïðåîáðàçóåòñÿ âçàèìíûé áàçèñ, åñëè äàííûé áàçèñïðåîáðàçóåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà S ?9. ×òî íàçûâàåòñÿ áèëèíåéíîé ôóíêöèåé (ôîðìîé) íà ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå?10. Êàê âûðàæàåòñÿ çíà÷åíèå áèëèíåéíîé ôóíêöèè íà âåêòîðàõ x èy ÷åðåç èõ êîîðäèíàòû? ×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé áèëèíåéíîéôîðìû?11.
Ñîñòàâèòü ìàòðèöó áèëèíåéíîé ôîðìû ξ1η1 + 2ξ1η2 + ξ2η1 âäâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè ïðîñòðàíñòâî 3ìåðíîå?12. Êàê ïðåîáðàçóåòñÿ ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû ïðè çàìåíå áàçèñà?13. Êàêàÿ áèëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé? Êàêîåñâîéñòâî èìååò ìàòðèöà ñèììåòðè÷íîé áèëèíåéíîé ôóíêöèè?31Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû.1. ×òî íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé (ôîðìîé)?2. ×òî íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû? Êàêîå ñâîéñòâîèìåþò ìàòðèöû êâàäðàòè÷íûõ ôîðì?3. Ñîñòàâèòü ìàòðèöó êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ξ1ξ2 + ξ3ξ4 â 4-ìåðíîìïðîñòðàíñòâå. Ñîñòàâèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèììåòðè÷íóþáèëèíåéíóþ ôîðìó.4.
Ñðàâíèòü èçìåíåíèå ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è ìàòðèöûëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðè èçìåíåíèè áàçèñà ïðîñòðàíñòâà. Âêàêîì ñëó÷àå ýòè ìàòðèöû ìåíÿþòñÿ îäèíàêîâî?5. ×òî íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíûì âèäîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè?6. ×òî íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì âèäîì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû?7. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ êàæäîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñóùåñòâóåòîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà äèàãîíàëüíà.8. Ìîæíî ëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû âûáðàòüîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, â êîòîðîì îíà èìååò êàíîíè÷åñêèéâèä? Ïóñòü êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà â íåêîòîðîì îðòîíîðìèðîâàííîìáàçèñå èìååò âèä 2ξ12 + ξ22 − 3ξ32. Äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò îíá,â êîòîðîì îíà èìååò êàíîíè÷åñêèé âèä.9.
Êàê ìîæíî ïðèâåñòè êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ ê äèàãîíàëüíîìóâèäó?10. Êàê ìîæíî ïðèâåñòè êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó?11. Ïðèâåñòè ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ôîðìó ξ1ξ2 + ξ2ξ4.3212. Êàêàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííîé?13. ×òî íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèåì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè íàïîäïðîñòðàíñòâå?14. Êàê íàéòè ìàòðèöó îãðàíè÷åíèÿ êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íàïîäïðîñòðàíñòâå?15.
Êàêèå åñòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ÷òîáûêâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà áûëà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà?Ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé Ñèëüâåñòðà.16. Äàòü îïðåäåëåíèå îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¸ííîé êâàäðàòè÷íîéôîðìû.17. Ñôîðìóëèðîâàòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðèêîòîðûõ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Ïðèâåñòèàíàëîã êðèòåðèÿ Ñèëüâåñòðà.18. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåíà, òî âñå äèàãîíàëüíûå ìèíîðû åå ìàòðèöûïîëîæèòåëüíû.19.
Áóäåò ëè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¸ííîé êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ñìàòðèöåé: 11)12131412131415131415161415160,2)112121314014151314151614151617,3)1 23 4!?20. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàíãîì êâàäðàòè÷íîé ôîðìû?21. Äîêàçàòü, ÷òî ðàíã êâàäðàòè÷íîé ôîðìû íå çàâèñèò îò âûáîðàáàçèñà.3322. Äîêàçàòü, ÷òî çíàê äåòåðìèíàíòà ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìûíå çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò îíá êîíá íå ìåíÿåòñÿ äåòåðìèíàíò ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.23. ×òî íàçûâàåòñÿ à)ïîëîæèòåëüíûì, á)îòðèöàòåëüíûì èíäåêñîìèíåðöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû?24.
ßâëÿåòñÿ ëè ïîäïðîñòðàíñòâîì ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, íà êîòîðûõêâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò à)ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ,á)íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åèÿ, åñëè ê íåìó ïðèñîåäèíèòü íóëåâîéâåêòîð? Íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åèÿ?25. Ñôîðìóëèðîâàòü çàêîí èíåðöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.26. Âûðàçèòü èíäåêñû èíåðöèè è ðàíã êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ÷åðåçñâîéñòâà êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ åå ìàòðèöû.Åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà.1.
×òî íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì?2. ×òî íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì?3.  ëþáîì ëè âåùåñòâåííîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå?4. Êàêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâûì?5. Äàíî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî êâàäðàòíûõ ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà.ÂÂåñòè íà í¸ì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.6. Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî âåêòîðîâ-íàïðàâëåííûõîòðåçêîâ, ïîñòðîåííûõ èç îäíîé òî÷êè, ñ îáû÷íûì ñêàëÿðíûìïðîèçâåäåíèåì.
ßâëÿåòñÿ ëè îíî åâêëèäîâûì? Áóäåò ëè îíîåâêëèäîâûì ïðè ôèêñèðîâàííîé åäèíèöå ìàñøòàáà?347. Ìîæíî ëè â îáû÷íîì ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ââåñòèñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, îòëè÷íîå îò îáû÷íîãî?8. Äîêàçàòü, ÷òî íóëåâîé âåêòîð îðòîãîíàëåí ëþáîìó âåêòîðóïðîñòðàíñòâà.9.
×òî íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ?10. Áóäåò ëè ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ïðîèçâîëüíàÿ ñèñòåìà ïîïàðíîîðòîãîíàëüíûõ âåêòîðîâ?11. Äîêàçàòü, ÷òî îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíîíåçàâèñèìà.12. Ïðèìåíèòü ïðîöåññ îðòîãîíàëèçàöèè (Ãðàìà-Øìèäòà) ê ñèñòåìåâåêòîðîâ(â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé): 241 0 , 1 , 2 .24113.
Êàêèå ïîäïðîñòðàíñòâà íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè?14. Äîêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ âñåãäàíóëåâîå.15. ×òî íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì äîïîëíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà âåâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå?16. Äîêàçàòü, ÷òî îðòîãîíàëüíîå äîïîëíåíèå k-ìåðíîãîïîäïðîñòðàíñòâà â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå åñòü n − k-ìåðíîåïîäïðîñòðàíñòâî.17. Äîêàçàòü, ÷òî â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå En ñêàëÿðíîåïðîèçâåäåíèå ïîðîæäàåò èçîìîðôèçì En ←→ En ∗ (ñàìîãîïðîñòðàíñòâà íà åãî ñîïðÿæåííîå).3518.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
