Вопросы к лекциям по аналитической геометрии и линейной алгебре - Беклемишева (1188211), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ñôîðìóëèðîâàòü äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî äëÿ à)ýëëèïñà,á)ïàðàáîëû, â)ãèïåðáîëû.11. Äëÿ íèõ æå ñôîðìóëèðîâàòü ôîêàëüíîå ñâîéñòâî.12. äëÿ íèõ æå ñôîðìóëèðîâàòü îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî.13. Íàïèñàòü è íàðèñîâàòü ñåìåéñòâà ñîôîêóñíûõ ýëëèïñîâ, ïàðàáîë èãèïåðáîë.14. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ïàðû àñèìïòîò ãèïåðáîëû, çàäàííîéêàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì.15. Äîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà íå èìååò àñèìïòîò.16. Ñêîëüêî îáùèõ òî÷åê ìîæåò èìåòü ïðÿìàÿ ñ ëèíèåé âòîðîãîïîðÿäêà? Ðàññìîòðåòü âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè.17. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíûõ ê ýëëèïñó, ïàðàáîëå è ãèïåðáîëå,åñëè îíè çàäàíû â êàíîíè÷åñêîì âèäå.18. Ìîæåò ëè ïðÿìàÿ èìåòü ñ ýëëèïñîì, ïàðàáîëîé, ãèïåðáîëîé 1îáùóþ òî÷êó, åñëè îíà íå êàñàòåëüíàÿ?19. Ìîæåò ëè êàñàòåëüíàÿ ê îäíîé âåòâè ãèïåðáîëû ïåðåñåêàòü å¸äðóãóþ âåòâü?10Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà.1.
Äàòü îïðåäåëåíèå àëãåáðàè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà.2. Ìîæåò ëè àëãåáðàè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà áûòüïðÿìîé, ïëîñêîñòüþ? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ?3. Êàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ?4. ×òî íàçûâàåòñÿ à)öèëèíäðîì, á)êîíóñîì?5. Ñêîëüêî åñòü ðàçíûõ âèäîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà?Íàçîâèòå, íàðèñóéòå è âûïèøèòå êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.6. Êàêîé âèä ìîæåò èìåòü ìíîæåñòâî îáùèõ òî÷åê ïëîñêîñòè èïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà? Ðàññìîòðèòå âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè.7. ×òî íàçûâàåòñÿ ïðÿìîëèíåéíîé îáðàçóþùåé ïîâåðõíîñòè?8. Êàêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èìåþò ïðÿìîëèíåéíûåîáðàçóþùèå?9.
Ñêîëüêî ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ìîæåò ïðîõîäèòü ÷åðåç 1òî÷êó ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà?10. Íàïèøèòå óðàâíåíèÿ ñåìåéñòâ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõà)êîíóñà, á)îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà, â)ãèïåðáîëè÷åñêîãîïàðàáîëîèäà?11. Ìîæåò ëè ÷åðåç 1 òî÷êó ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ïðîõîäèòüáîëåå 2 èëè âñåãî 1 îáðàçóþùàÿ?11Àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè.1.
Äàòü îïðåäåëåíèå ïîíÿòèé:à)îòîáðàæåíèå, á)ïðåîáðàçîâàíèå,â)ñþðúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå, â)èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå,ã)ãîìîìîðôèçì, ä)èçîìîðôèçì, å)òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå,æ)ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå, æ)íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîåïðåîáðàçîâàíèå.2. Ïðèâåñòè ïðèìåðû íåâûðîæäåííûõ è âûðîæäåííûõ ëèíåéíûõïðåîáðàçîâàíèé.3. Äîêàçàòü, ÷òî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå âûðîæäåíî òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà îáðàç íåêîòîðîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà åñò íóëåâîéâåêòîð.4. Ñôîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï ñîõðàíåíèÿ êîîðäèíàò.5. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè íåâûðîæäåííîì ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè 2ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûå âåêòîðû ïåðåõîäÿò âëèíåéíî íåçàâèñèìûå.6. Íàïèñàòü ôîðìóëû, çàäàþùèå íåâûðîæäåííîå ëèíåéíîåïðåîáðàçîâàíèå, è óêàçàòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âõîäÿùèõ âíèõ âåëè÷èí.7. Äàòü îïðåäåëåíèå àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè.8. Äîêàçàòü, ÷òî àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå âçàèìíî îäíîçíà÷íî.9.
Âûïèñàòü ôîðìóëû, çàäàþùèå àôôèííîå ïðåîáðàçîâàíèå, èóêàçàòü ãåîìåòðè÷åñêîå çíà÷åíèå âõîäÿùèõ â íèõ âåëè÷èí.10. Êàêèå ãåîìåòðè÷åñêèìè è àëãåáðàè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè îáëàäàþòàôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ?1211. ×òî òàêîå îïðåäåëèòåëü àôôèííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ? Äîêàæèòå,÷òî îí íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò.12. ×òî íàçûâàåòñÿ äâèæåíèåì(îðòîãîíàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì)?13.
×òî íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì è ïðîèçâåäåíèåìïðåîáðàçîâàíèé?14. ×òî òàêîå ãðóïïà? Ïðèâåñòè ïðèìåðû.15. Äîêàçàòü àññîöèàòèâíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé.16. Ïðèâåñòè ïðèìåð íåêîììóòèðóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèé.17. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó è ðàçëîæåíèè ïðîèçâîëüíîãî àôôèííîãîïðåîáðàçîâàíèÿ â ïðîèçâåäåíèå.18. Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî äâèæåíèÿ âïðîèçâåäåíèå.19. Åäèíñòâåííûì ëè îáðàçîì îïðåäåëåíû ñîìíîæèòåëè â ïðåäûäóùèõâîïðîñàõ?20.
 êàêîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ÷èòàþò ýêâèâàëåíòíûìè(ãåîìåòðè÷åñêè)?Îïðåäåëèòåëè è ïðàâèëî Êðàìåðà.1. Ñôîðìóëèðîâàòü îïðåäåëåíèå ìàòðèöû. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçìåðîìè ïîðÿäêîì ìàòðèöû?2. Êàêèå åñòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè? Êàêèìèñâîéñòâàìè îíè îáëàäàþò?133. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî âñåõ ìàòðèö äàííûõ ðàçìåðîâ m × nîáðàçóåò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. óêàçàòü áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ýòîãîïðîñòðàíñòâà.4.
×òî íàçûâàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì? Óêàçàòü êàêîéíèáóäü áàçèñ â àðèôìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå.5. Êàêàÿ ôóíêöèÿ íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿëèíåéíîé? Êàêàÿ ôóíêöèÿ îò 2 ïåðåìåííûõ f (x, y) íàçûâàåòñÿêîñîñèììåòðè÷åñêîé?6. ×òî íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû?7. Íàïèøèòå ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ.8. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé.9. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ðàâåí 0?10. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ðàçëîæåíèè îïðåäåëèòåëÿ ïî ñòðîêå.11. ×òî íàçûâàåòñÿ à)ìèíîðîì ìàòðèöû, á)àëãåáðàè÷åñêèìäîïîëíåíèåì?12.
Çàïèñàòü ñèñòåìó èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè âðàçâ¸ðíóòîé è êðàòêîé ôîðìå.13. ×òî íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?14. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿñèñòåìû èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè (ïðàâèëîÊðàìåðà).15. Êàêèå åñòü ñïîñîáû ðåøåíèÿ ñèñòåìû èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñn íåèçâåñòíûìè?1416. Äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ñòîëáöû ìàòðèöûêîòîðîé ëèíåéíî íåçàâèñèìû, èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.17. Äîêàçàòü, ÷òî ñòðîêè åäèíè÷íîé ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû.18.
Äîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ ñòðîêà èç n ÷èñåë åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿñòðîê åäèíè÷íîé ìàòðèöû.19. Äîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü êëåòî÷íî-äèàãîíàëüíîé ìàòðèöû èîïðåäåëèòåëü êëåòî÷íî-òðåóãîëüíîé ìàòðèöû ðàâíû ïðîèçâäåíèÿìîïðåäåëèòåëåé äèàãîíàëüíûõ êëåòîê.20. Êàê èçìåíèòñÿ äåòåðìèíàíò ìàòðèöû ïðè îòðàæåíèè îòíîñèòåëüíîà)ãëàâíîé äèàãîíàëè(òðàíñïîíèðîâàíèè), á)ïîáî÷íîé äèàãîíàëè?21. Åñëè èçâåñòíû det A è det B , òî ÷åìó ðàâíû: 1) det(A−1), 2) det AB ?15×àñòü IIËèíåéíàÿ àëãåáðà.Îïåðàöèè ñ ìàòðèöàìè.1. ×òî íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö?2.
Ìîæíî ëè óìíîæèòü ñòîëáåö âûñîòû m íà ñòðîêó äëèíû n?3. Ìîæíî ëè óìíîæèòü ñòðîêó äëèíû n íà ñòîëáåö äëèíû n? Àíàîáîðîò?4. Äîêàçàòü, ÷òî k-é ñòîëáåö ìàòðèöû AB ðàâåí ëèíåéíîéêîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ êîýôôèöåíòàìè èç ýëåìåíòîâk -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû B .5. Äîêàçàòü, ÷òî k-ÿ ñòðîêà AB ðàâíà ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòðîê Bñ êîýôôèöåíòàìè èç k-é ñòðîêè ìàòðèöû A.6. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè k-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû A óìíîæàåòñÿ íà ÷èñëî λ,òî è k-ÿ ñòðîêà AB òîæå óìíîæàåòñÿ íà λ.7. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè ïåðåñòàíîâêå êàêèõ-ëèáî ñòðîê â Añîîòâåòñòâóþùèå ñòðîêè â AB òîæå ïåðåñòàâëÿþòñÿ.8. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè ïðåäûäóùèõ óòâåðæäåíèéäëÿ ñòîëáöîâ.9.
Ïîäîáðàòü êâàäðàòíóþ ìàòðèöó K òàê, ÷òîá KA ïîëó÷àëàñü èçA à)óìíîæåíèåì ïåðâîé ñòðîêè íà α, á)ïåðåñòàíîâêîé 2-õ ïåðâûõñòðîê, â)ïðèáàâëåíèåì âòîðîé ñòðîêè ê ïåðâîé.10. Âñåãäà ëè âåðíî, ÷òî AB = BA? ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ðàçìåðàõ Bè A, åñëè èçâåñòíî, ÷òî îíè êîììóòèðóþò?1611. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïîðÿäêà nâûïîëíåíî AB = BA, òî B = αEn.12. Êàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé ê äàííîé?13. Ìîæåò ëè ó ìàòðèöû áûòü íåñêîëüêî îáðàòíûõ?14. Âû÷èñëèòü îáðàòíóþ äëÿ ìàòðèöû1 2!3 4.15. Êàêèå åñòü ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû?16. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:α(A + B) = αA + αB(α + β)A = αA + βAα(βA) = (αβ)A(A + B) + C = A + (B + C)(αA)B = α(AB)(AB)−1 = B −1 A−1A+B =B+A(αA)T = αAT(AT )−1 = (A−1 )TA(B + C) = AB + AC(A + B)T = AT + B T(ABC)−1 = C −1 B −1 A−1(A + B)C = AC + BC(AB)T = B T AT(αA)−1 = α−1 A−1(AB)C = A(BC)TTTT(ABC) = C B AÐàíã ìàòðèöû1.2.3.4.5.Äàòü îïðåäåëåíèå áàçèñíîãî ìèíîðà.Âîçìîæíî ëè òàêîå, ÷òî â ìàòðèöå íåò áàçèñíîãî ìèíîðà?Äàòü îïðåäåëåíèå ðàíãà ìàòðèöû.Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î áàçèñíîì ìèíîðå.Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó î ðàíãå ìàòðèöû.176.
Äîêàçàòü, ÷òî åñëè â ìàòðèöå âñå ìèíîðû ïîðÿäêà k ðàâíû 0, òî èâñå ìèíîðû ïîðÿäêà k + 1 òîæå ðàâíû 0.7. Ïóñòü det A = 0. Äîêàçàòü, ÷òî ñòðîêè A ëèíåéíî çàâèñèìû.8. Äîêàçàòü, ÷òî ðàíã ìàòðèöû íå ìåíüøå ðàíãà ëþáîé å¸ïîäìàòðèöû.9. Äîêàçàòü, ÷òî äîáàâëåíèå ê ìàòðèöå ñòîëáöà, ÿâëÿþùåãîñÿëèíåéíîé êîìáèíàöèåé å¸ ñòîëáöîâ, íå ìåíÿåò ðàíãà ìàòðèöû.10. Äâå ìàòðèöû ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì ñòðîê A è B îáúåäèíÿþòñÿ âîäíó AB . Îöåíèòü ðàíã AB ÷åðåç ðàíãè A è B .11. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñòîëáöû B ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìèñòîëáöîâ A, òî rgB ≤ rgA12.
×åìó ðàâåí ðàíã AB , åñëè A - ñòîëáåö, B - ñòðîêà?13. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè det A 6= 0, òî rgAB = rgB14. Îöåíèòü ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ AB ïî ðàíãàì ñîìíîæèòåëåé A è B .15.  êàêèõ ñëó÷àÿõ à) rgAB = rgA, á) rgAB < rgA?16. Îöåíèòü ðàíã A+B ÷åðåç ðàíãè A è B .  êàêèõ ñëó÷àÿõ âûïîëíåíî:1) rg(A + B) = rgA, 2) rg(A + B) < rgA + rgB , 3) rg(A + B) = rga +rgB , 4) rg(A + B) = max(rgA, rgB), 5) rg(A + B) < max(rgA, rgB)?17. Äàòü îïðåäåëåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.18. Êàê âû÷èñëèòü ðàíã ìàòðèöû, èñïîëüçóÿ ýëåìåíòàðíûåïðåîáðàçîâàíèÿ?19.  ÷¸ì ñîñòîèò ìåòîä Ãàóññà?1820. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè det A 6= 0, òî A ìîæíî ïðèâåñòè ê åäèíè÷íîéìàòðèöå ïðè ïîìîùè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê.21.
Ê êàêîé ïðîñòåéøåé ôîðìå ìîæíî ïðèâåñòè ìàòðèöóýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè à)ñòðîê, á)ñòîëáöîâ, â)ñòðîê èñòîëáöîâ?22. Äîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ìàòðèöûíååíÿþò ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó å¸ ñòîëáöàìè.23. Êàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèéñîîòâåòñòâóþò ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì à)ñî ñòîëáöàìè,á)ñî ñòðîêàìè ìàòðèöû êîýôôèöåíòîâ?Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.1.2.3.4.5.6.7.8.×òî íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?Êàêàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé?Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Êðîíåêåðà-Êàïåëëè.Ïðèìåíèòü òåîðåìó Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ê âûâîäó óñëîâèÿïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.Íà ñêîëüêî ðàíã îñíîâíîé ìàòðèöû ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò ðàíãàðàñøèðåííîé?Ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó Ôðåäãîëüìà.Äîêàçàòü, ÷òî ñóììà ðåøåíèé îäíîðîäíîé ñèñòåìû åñòü ñíîâàðåøåíèå òîé æå ñèñòåìû.Äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû íà ÷èñëîåñòü ñíîâà ðåøåíèå òîé æå ñèñòåìû.199.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
