МУ -Задачи по функциональному анализу (1187982)
Текст из файла
В.В. Власов, С.П. Коновалов, С.В. КурочкинЗадачи поФУНКЦИОНАЛЬНОМУАНАЛИЗУВведениеИздание представляет собой сборник задач по курсу Функциональный анализ (Анализ III), который читается на 3-м курсе факультета прикладной математики и экономики МФТИ. Материалзадач охватывает все разделы курса. При отборе задач авторы ставили цель показать, как работают и применяются фундаментальныепонятия и факты функционального анализа, выявить взаимосвязимежду ними.
При этом ставилось требование сохранить небольшойобъём пособия, поэтому в него включены задачи, принципиальноважные для усвоения курса. Технических упражнений задачникпрактически не содержит.Некоторые задачи, представленные в пособии, заимствованы изисточников, указанных в списке литературы.Авторы надеются, что предлагаемый задачник окажется полезным для студентов и аспирантов, желающих углубить свои знанияв области функционального анализа.Авторы считают приятным долгом выразить благодарностьсвоим коллегам по кафедре высшей математики МФТИ: членукорреспонденту РАО, профессору Г.Н. Яковлеву, по инициативе и при поддержке которого был составлен этот задачник,М.В. Балашову и Р.В.
Константинову, любезно предоставивших рядсвоих задач, и А.В. Полозову за помощь в подготовке текста.3О терминологии и обозначенияхПринятые в пособии термины и обозначения в основном соответствуют [1], [10]. Некоторые из них поясняются ниже.N — множество натуральных чисел;Q — множество рациональных чисел;R — множество вещественных чисел;C[0,1] — пространство непрерывных функций, определённых наотрезке [a,b], снабжённое нормой kf kC = sup |f (x)|;a6x6bR[0,1] — множество функций, интегрируемых по Риману на отрезке [0; 1];lp p—последовательностей с нормой kxkp =P∞пространствоpp=k=1 |xk | , 1 6 p < +∞;l∞ — пространство ограниченных последовательностей;Lp [a,b] — пространство измеримых и суммируемых в степени pR1/pb(1 6 p < ∞) функций с нормой kf k = a |f (x)|p dx;B1 (0) — замкнутый шар в нормированном пространстве, с центромв точке x = 0 и радиуса 1;fn ⇒ f — равномерная сходимость последовательности функций;dim E — размерность линейного пространства E;L(X,Y ) — пространство линейных ограниченных операторов,действующих из X в Y ;Ker A — ядро оператора A;N (ε)lim lnln(1/ε) — фрактальная (аппроксимативная) размерность комε→0пакта, где N (ε) — число элементов в наименьшей ε-сети.41.
Метрические и топологические пространства1. Доказать, что произвольное открытое подмножество прямойможно представить в виде объединения не более чем счетногочисла попарно не пересекающихся интервалов (возможно бесконечных).2. Доказать, что произвольное открытое подмножество в Rnможно представить в виде объединения счетного числа шароврационального радиуса с центрами в точках с рациональнымикоординатами.3.
Является ли открытым в пространстве C[a,b] множество{f ∈ C[a,b] : 0 < f (x) < 1 ∀ x ∈ [a,b]}?4. Является ли открытым в пространстве l∞ множество{x ∈ l∞ : 0 < xk < 1,k = 1,2, . . .}?5.6.7.8.9.10.11.12.13.(Здесь x = (x1 ,x2 , . . .) ).Пусть A — подмножество метрического пространства (X,ρ).Доказать, что функция f : X → R, f (x) = ρ(x,A) = inf ρ(x,y)y∈Aнепрерывна.Описать все множества в метрическом пространстве, которыемогут быть множеством нулей некоторой непрерывной функции?Пусть A, B — замкнутые, непересекающиеся подмножестваметрического пространства X.
Доказать, что на X существуетнепрерывная функция f такая, что f |A ≡ 0, f |B ≡ 1.Доказать, что множество {sin(n),n = 1,2, . . .} всюду плотнов [−1,1].Исследовать пространство C[a,b]: доказать, что оно полно, сепарабельно, связно.Доказать, что отрезок и окружность не гомеоморфны.Доказать, что на вещественной прямой связными множествамиявляются только промежутки (отрезки, интервалы, полуинтервалы, включая бесконечные).Разместить в единичном шаре пространства l2 счётное числошаров радиуса 1/10.Доказать, что пространство основных функций D(R1 ) неметризуемо.514. Пусть M = {x ∈ l1 : x ∈ Q}.
Является ли множество Mсчётным?2. Полные метрические пространства1. Доказать, что множество вещественных чисел является пополнением множества рациональных чисел.2. Доказать, что пространства lp (1 6 p < ∞) — сепарабельныеполные метрические пространства, а пространство l∞ — полное, но не сепарабельное.3.
Доказать, что если в пространстве C[a,b] рассмотреть метрикуRbρ1 (f,g) = a |f (x) − g(x)| dx, то в ней оно будет неполно.4. Доказать, что всякая равномерно непрерывная функция на метрическом пространстве однозначно продолжается до непрерывной функции на его пополнении, и что это продолжениеравномерно непрерывно.5. При помощи принципа сжимающих отображений найти достаточное условие на параметр λ, при котором уравнениеZ bϕ(x) = λK(x,y)ϕ(y) dy + f (x)aимеет единственное решение ϕ ∈ C[a,b].
(Здесь f ∈ C[a,b] ,K ∈ C([a,b]2 )).6. Найти пополнение метрического пространства, состоящего изнепрерывных финитных на числовой оси функций с метрикойρ(x,y) = max |x(t) − y(t)|.t7. Существует ли числовая функция, непрерывная в рациональных и разрывная в иррациональных точках отрезка [0,1]?3. Компактные метрические пространства1. Доказать, что компакты в Rn — это замкнутые ограниченныемножества.2. Пусть M — замкнутое подмножество Rn и x ∈ Rn . Доказать,что ρ(x,M ) = inf ρ(x,z) достигается в некоторой точке z ∈ M .z∈MПоказать, что в произвольном метрическом пространстве (например, для M ⊂ l2 ) это, вообще говоря, не так.3. Исследовать канторово множество на отрезке: найти его мощ64.5.6.7.8.9.10.11.ность, меру, установить его замкнутость, компактность, нигдене плотность, найти фрактальную размерность.Пусть X — метрическое пространство, обладающее тем свойством, что любая непрерывная на нем функция ограничена.Доказать, что X — компакт.Найти фрактальную размерность графика функции y == sin(1/x), 0 < x 6 1.Доказать, что компактное метрическое пространство имеет конечный диаметр.Компактен ли единичный шар в l2 ?Доказать, что компактное метрическое пространство сепарабельно.Доказать, что компактное подмножество метрического пространства замкнуто.Доказать, что компакт нельзя изометрично отобразить на своесобственное подмножество.Доказать, что множество M в l2 компактно ⇔ оно замкнуто,ограничено и∞X|xk |2 < ε.∀ε > 0 ∃n ∀x ∈ Mk=n(Здесь x = (x1 ,x2 , .
. .)).12. Пусть E — компактное метрическое пространство с метрикойρ(·,·). Пусть f : E → E, причем ρ(f (x),f (y)) < ρ(x,y) длявсех x 6= y. Доказать, что f имеет неподвижную точку. Верноли, что неподвижная точка единственна? Верно ли, что f —сжимающее отображение?13. Доказать, что множество {f ∈ C 1 [0,1] : kf kC + kf 0 kC = 1}предкомпактно в C[0,1]. Является ли это множество предкомпактным в C[0,1]?74. Нормированные и топологическиевекторные пространства1. Доказать, что нормированное пространство полно ⇐⇒ в немвсякий абсолютно сходящийся ряд сходится.2. Доказать, что две нормы, определенные на одном и том желинейном пространстве, эквивалентны тогда и только тогда,когда из сходимости последовательности по одной из норм следует ее сходимость по другой норме.3.
В пространстве C[a,b] рассматривается множество M , состоящее из многочленов p(x) степени 6 10, удовлетворяющих услоRbвию a |p(x)| dx 6 10. Компактно ли множество M ?4. Найти крайние точки замкнутого единичного шара в пространствах l2 , l1 , C[a,b], c0 .5. Доказать, что выпуклая оболочка компактного множества в Rnтакже будет компактным множеством.6. Доказать, что непустое выпуклое компактное подмножество Rnгомеоморфно k-мерному шару, k 6 n.7.
Пусть B1 и B2 — шары в нормированном пространстве с радиусами соответственно r1 и r2 . Доказать, что если B1 ⊂ B2 ,то r1 6 r2 .8. Пусть B1 ⊃ B2 ⊃ . . . — последовательность вложенных замкнутых шаров в банаховом пространстве. Доказать, что∞TBk 6=∅.k=19. Описать множества в Rn , которые могут служить замкнутымединичным шаром для некоторой нормы в Rn .10. Пусть L — конечномерное подпространство нормированногопространства X. Доказать, что для любого x ∈ X в L найдетсяэлемент наилучшего приближения.11.
Верно ли, что система функций {xk }∞k=0 являетсяа) полной в C[0,1];б) базисом в C[0,1]?12. В каких пространствах lp (1 6 p 6 ∞), c0 , c система {ek }∞k=1 ,ek (n) = δkn является базисом. Существует ли базис в пространстве c?13. Является ли пространство C 1 [0,1] с нормой k · k1 , где kf k1 == |f (0)| + kf 0 kC для любой функции f ∈ C 1 [0,1], банаховым?85.
Геометрия гильбертова пространства1. Доказать, что норма пространства C[a,b] не может порождаться никаким скалярным произведением.2. а) Доказать, что любая последовательность вложенных непустых замкнутых выпуклых ограниченных множеств вгильбертовом пространстве имеет непустое пересечение.б) Показать, что последовательность вложенных непустыхзамкнутых выпуклых ограниченных множеств в банаховом пространстве может иметь пустое пересечение.3. Привести пример последовательности вложенных ограниченных замкнутых множеств из l2 , имеющих пустое пересечение.4.
Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, {ek }∞k=1∞ — ортонормирован— ортонормированный базисвH,{g}kk=1P2ная система в H, причем ∞k=1 kek − gk k < ∞. Доказать, что∞{gk }k=1 является ортонормированным базисом в H.5. Пусть {xn }, {yn } — последовательности в гильбертовом пространстве, причем kxn k 6 1, kyn k 6 1, (xn ,yn ) → 1. Доказать,что kxn − yn k → 0.6. Доказать, что гильбертово пространство строго выпукло(т.е. его единичная сфера не содержит отрезков положительной длины).7. Исследовать ««гильбертов кирпич»»: доказать, что это замкнутое множество без внутренних точек; выяснить, являетсяли он поглощающим множеством, к каким его точкам можнопровести опорную гиперплоскость.8.
Пусть {e1 , . . . ,en } — базис подпространства L ⊂ H. Доказать,1 ,...,en )что ∀ x ∈ H ρ2 (x,L) = G(x,eG(e1 ,...,en ) , где G(a1 , . . . ,an ) — определитель Грама.6. Линейные ограниченные операторыв нормированных пространствах1. Пусть X и Y — конечномерные нормированные пространства.Доказать, что любой линейный оператор из X в Y непрерывен.2. Оператор в Rnp задан матрицей A. Выразить норму операторачерез коэффициенты матрицы в случаях p = 1, p = 2, p = ∞.Доказать неравенство kAk22 6 kAk1 kAk∞ .3. Пусть E1 и E2 — нормированные пространства, A : E1 → E29— линейный оператор. Верно ли, что A непрерывен, еслиа) dim E1 < ∞; б) dim E1 = ∞?4. Доказать, что оператор, отображающий линейное нормированное пространство X в фактор-пространство X/L (L — линейное пространство, замкнутое по норме X) и ставящий в соответствие элементу x ∈ X содержащий его класс смежности,является линейным ограниченным оператором.5.
Пусть H — гильбертово пространство, A : H → H — ограниченный линейный оператор, определённый на всей H. Доказать, что|(Ax,y)|.kAk = supkxk kykx,y∈Hx6=0, y6=06. Доказать, что следующие операторы являются линейнымиограниченными и найти их нормы: Rtа) A : C[0,1] → C[0,1], (Ax)(t) = 0 x(s) ds;б) A : C[−1,1]R → C[−1,1], Rt1(Ax)(t) = −1 x(s) ds − 0 sx(s) ds;√в) A : L1 [0,1] → L1 [0,1], (Ax)(t) R= x( t);1г) L2 [0,1] → L2 [0,1], (Ax)(t) = t 0 x(s) ds.7. Будет ли ограниченным оператор A : C[0,1] → C[0,1] (Ax)(t) == dxdt с областью определения L — линейным многообразиемнепрерывно дифференцируемых на [0,1] функций?d8. а) Доказать, что оператор D = dx: C 1 [a,b] → C[a,b] непрерывен.б) Доказать тождество (xDx)n u = xn Dn (xn u), u ∈ C n [a,b].9. Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис гильбертова пространства H, λn ∈ R. Доказать, что если последовательностьλn ограничена, то равенства Aen = λn en определяют ограниченный линейный оператор A : H → H, определённый навсём H, причём kAk = sup |λn |.n10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
