МУ -Задачи по функциональному анализу (1187982), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Верно ли, что l∞ = l1 ?2. Пусть E — нормированное пространство, f , f1 ,. . . ,fn — ли163.4.5.6.нейные функционалы на E. Доказать, что следующие свойстваэквивалентны:Pа) существуют скаляры α1 ,. . . ,αn такие, что f = ni=1 αi fi ;б) существует M > 0 такое, что kf k 6 M max kfi k;16i6nTв) f (x) = 0 для всех x ∈ ni=1 Ker fi .Пусть L — замкнутое линейное подпространство нормированного пространства X и y ∈ X, y ∈/ L.
Доказать, что найдетсяфункционал f на X такой, что f |L ≡ 0, f (y) = 1 и kf k == 1/ρ(y,L).Привести пример функционала в пространстве C[a,b], не достигающего своей нормы.Доказать, что непрерывный линейный функционал f в нормированном пространстве X достигает своей нормы тогда итолько тогда, когда для некоторого (и тогда для любого) элемента x ∈ X \ Ker f существует элемент наилучшего приближения в Ker f .Рассмотреть следующие два множества в R3 :A = {(x,y,z) : x > 0,y > 0,z > 0,z 2 6 xy},B = {(x,y,z) : x = 0,z = 1}.Показать, что оба они выпуклы, замкнуты, не пересекаютсяи одно из них имеет непустую внутренность. Существует лифункционал f на R3 такой, что ∀ u ∈ A, ∀ v ∈ B f (u) < f (v)?7.
Пусть E — банахово пространство, {xn } ⊂ E и sup |f (xn )| < ∞n∀ f ∈ E ∗ . Доказать, что sup kxn k < ∞.nP∞функционал f на мно8. Пусть M = {x ∈ l1 :n=1 x2n = 0}, P∞гообразии M задан формулой f (x) =n=1 x2n−1 . Привестипримеры различных продолжений f до функционала f˜ ∈ l1∗ ссохранением нормы.9. Пусть L ⊂ H — линейное многогобразие в гильбертовом пространстве, f — линейный непрерывный функционал на L. Доказать, что ∃!f˜ ∈ H ∗ : f˜|L = f , kf˜k = kf k.10. Доказать, что взятие интеграла Римана от непрерывной функции на отрезке [a,b] есть непрерывный линейный функционална C[a,b].1711.
Найти норму функционала ϕ на пространстве C[a,b]:Z bf (x)g(x) dxϕ(f ) =a(g — фиксированная непрерывная функция). Исследовать вопрос о том, когда норма достигается.12. Пусть M — подмножество нормированного пространства X.Известно, что для любого f ∈ X ∗ sup |f (x)| < ∞. Доказать,x∈Mчто sup kxk < ∞.x∈M13. Пусть E — нормированное пространство, M ⊂ E — линейноемногообразие, всюду плотное в пространстве E. Пусть f ∈ E ∗ .Определим множество N = M ∩ Ker f . Доказать, что N всюдуплотно в Ker f .14. Пусть E — банахово пространство, причем E ∗ сепарабельно.Доказать, что E сепарабельно. Верно ли обратное?15.
Является ли L1 [0,1] (C[0,1]) евклидовым пространством?Имеет ли крайние точки единичный шар из L1 [0,1] (C[0,1])?Является ли пространство L1 [0,1] (C[0,1]) сопряжённым к некоторому банахову пространству?16. Пусть E — банахово пространство, множество A ⊂ E выпуклои замкнуто. Для любого f ∈ E∗ определим σA (f ) = sup f (x).x∈AДоказать, чтоA = {x ∈ E : f (x) 6 σA (f ) ∀ f ∈ E ∗ }.10. Слабая и слабая* сходимость1. Найти замыкание единичной сферы пространства l2 в смыслеслабой сходимости.2. Будет ли гильбертово (произвольное банахово) пространствополным в смысле слабой сходимости?3. Пусть fn (x) = sin nx (−π 6 x 6 π).
Доказать, что fn в L2 [−π,π]сходится слабо, но не сильно.4. Пусть множество M ⊂ L2 [−π,π] состоит из функций видаfm,n (x) = sin mx + m sin nx (−π 6 x 6 π). Доказать, что первоеслабое секвенциальное замыкание M не совпадает со вторым.5. Сходится ли слабо последовательность sin(nx) в пространствеC[a,b]?186. Доказать, что в конечномерных нормированных пространствахслабая сходимость совпадает со сходимостью по норме.7. Доказать, что из слабой сходимости последовательности элементов пространства l1 следует ее сходимость по норме.сл.8. Пусть H — гильбертово пространство, kxn − xk → 0, yn → y.Доказать, что (xn ,yn ) → (x,y).
Можно ли условие kxn − xk → 0сл.заменить более слабым xn → x?9. Пусть последовательность xn гильбертова пространства Hслабо сходится к x, причем kxn k → kxk при n → ∞. Доказать, что kxn − xk → 0 при n → ∞. Верно ли это утверждениедля произвольного банахова пространства?10. Пусть E — банахово пространство, последовательность {xn } ⊂⊂ B1 (0) и слабо сходится к x.
Доказать, что x ∈ B1 (0).11. Пусть E — банахово пространство, последовательность {xn }слабо сходится к x. Доказать, что kxk 6 lim kxn k.n→∞12. Пусть последовательность {xn } ⊂ l1 , причем xn (k) → x(k) приn → ∞ для любого k ∈ N. Верно ли, что x ∈ l1 ? Если справедливо последнее включение, верно ли, что xn сходится к xслабо?13. Пусть последовательность {fn } ⊂ L1 [0,1]. Верно ли, что fn сходится поточечно на [0,1] тогда и только тогда, когда сходитсяслабо?14. Пусть U = {f ∈ L1 [0,1] : |f (t)| 6 1 п.
в. t ∈ [0,1]}. Доказать,что U слабо секвенциально компактно в L1 [0,1].11. Сопряжённые операторы.Самосопряжённые операторы1. Найти сопряжённыйк оператору A : L2 [0,1] → L2 [0,1], еслиR1а) (Ax)(t) = 0 tx(s) ds;Rtб) (Ax)(t) = 0 sx(s) ds.2. Пусть H — вещественное гильбертово пространство; xk ∈ H,ak ∈ R(k = 1,n). Доказать, что n!1/2nXX2sup ak xk = sup(x,xk ).P 2 kxk61a 61 kk=1k=13. В пространстве l2 для x = (x1 ,x2 , . .
.) ∈ l2 положим An x =19= (xn+1 ,xn+2 , . . .). Найти A∗n и выяснить, являются ли последовательности An и A∗n сходящимися поточечно?4. Доказать, что оператор A : L2 [0,1] → L2 [0,1]Z 1es+t x(s) ds(Ax)(t) =0есть самосопряжённый и неотрицательный.5. Пусть A — самосопряжённый оператор в гильбертовом пространстве H. Доказать, чтоа) kAk = sup |(Ax,x)|;kxk61б) kAk = sup |(Ax,y)|.kxk=1kyk=16. Пусть A ∈ L(H). Доказать, что оператор (I + AA∗ )−1 существует.7. Пусть A — самосопряжённый неотрицательный оператор вгильбертовом пространстве H. Доказать, что оператор (I ++ A)−1 существует.8.
В пространстве R2 оператор A переводит x = xx12 в Ax =1 +3x2= 2xA ∈ L(R2 ) — самосопряжённый и3x1 +5x2 . Доказать, что√неотрицательный. Найти A.9. A ∈ L(l2 ) : Ax = (0,x1 ,x2 , . . .). Найти σ(A) и σ(A∗ ).10. Пусть E — банахово пространство, оператор A ∈ L(L2 [0,1],E).Пусть =A∗ ⊃ C[0,1]. Найти Ker A.11. Пусть H — гильбертово пространство, оператор A : H → Hлинеен и (Ax,y) = (x,Ay) для всех x,y ∈ H. Доказать, чтоA ∈ L(H).12. Пусть E1 и E2 — нормированные пространства, A ∈ L(E1 ,E2 ),причем существует A−1 ∈ L(E2 ,E1 ). Доказать, что существует(A∗ )−1 ∈ L(E1∗ ,E2∗ ), причем (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .13.
Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ L(H) — самосопряжённый оператор. Доказать, что kAn k = kAkn для любогоn ∈ N.14. Пусть E — рефлексивное банахово пространство и A ∈ L(E).Доказать, что A∗∗ = A.15. Пусть H — гильбертово пространство, A ∈ L(H) — самосопряжённыйДоказать, что σR (A) = ∅. Верно ли, что оператор.σ(A) = cl σP (A) ?2012. Компактные операторы1. Оператор A : C[0,1] → C[0,1] определяется равенствомZ 1nXK(t,s)x(s) ds +ϕk (t)x(tk ),(Ax)(t) =02.3.4.5.6.7.k=1где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, ϕk (t) ∈ C[0,1], tk ∈ [0,1].Доказать, что A — компактен.Доказать, что любой оператор A ∈ L(H), где H — гильбертовопространство, является поточечным пределом последовательности компактных операторов.Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис в гильбертовомпространствеH, Y — банахово пространство, A ∈ L(H,Y ) иP∞ряд n=1 kAen k2 сходится.
Доказать, что A — компактен.Доказать, что область значений компактного оператора сепарабельна.Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис гильбертова пространства H, A — компактный оператор, действующий из Hв H. Доказать, что Aen → 0.Доказать, что любой линейный непрерывный оператор, действующий из l2 в l1 — компактен.Может ли оператор A : C[0,1] → C[0,1]Z 1(Ax)(t) =K(t,s)x(s) ds,08.9.10.11.где K(t,s) непрерывна при 0 6 s, t 6 1, иметь ограниченныйобратный?Пусть X — банахово пространство, A ∈ L(X) и существуетc > 0 такое, что для любого x ∈ X kAxk > ckxk. Может лиоператор A быть компактным?Пусть A — диагональный оператор в l2 : Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , . . .).а) Доказать, что σ(A) = {λn }.б) Доказать, что A компактен ⇔ λn → 0. R∞Является ли преобразование Фурье F f (x) = −∞ f (y)e−ixy dyкомпактным оператором в случаеа) F : L2 (R) → L2 (R),б) F : L1 (R) → BC(R).Пусть E — банахово, H — гильбертово пространства.
ПустьA ∈ L(E,H) — компактный оператор. Доказать, что су2112.13.14.15.16.17.18.ществует последовательность {An } ⊂ L(E,H) такая, чтоdim =An < ∞ для всех n, a kAn − Ak → 0 при n → ∞.Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство, A ∈∈ L(H) — компактный самосопряжённый оператор. Доказать,что для любого ε > 0 существует подпространство Γε ⊂ H конечной коразмерности такое, что оператор Aε = A+εI являетсянеотрицательно определенным на Γε .P∞ПустьA∈L(l),причем(Ax)(n)=2k=1 ank x(k), гдеP2∗n,k |ank | < ∞. Найти сопряженный оператор A . Являетсяли A компактным оператором?Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E) — компактныйоператор.
Доказать, что для любого λ 6= 0 подпространствоKer(A − λI) конечномерно, а =(A − λI) замкнуто. Доказать,что существует последовательность xn такая, что kxn k = 1, аkAxn k → 0 при n → ∞.Пусть K(·,·) ∈ C ([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : C[0,1] →→ R C[0,1] определен следующим образом:(Af )(x) =1= 0 K(x,t)f (t) dt для любых f ∈ C[0,1], x ∈ [0,1]. Доказать,что A ∈ L(C[0,1]), оценить сверху kAk. Является ли A компактным оператором?Пусть K(·,·) ∈ L2 ([0,1] × [0,1]). Пусть оператор A : L2 [0,1] →→ R L2 [0,1] определен следующим образом:(Af )(x) =1= 0 K(x,t)f (t) dt для любых f ∈ L2 [0,1], x ∈ [0,1].
Доказать,что A ∈ L (L2 [0,1]), вычислить kAk. Является ли A компактным оператором?Пусть множество M ⊂ C 1 [0,1] является подпространством вC[0,1]. Доказать, что dim M < ∞.Найти норму оператора ВольтерраZ(Af )(x) =xf (t) dtв L(L2 [0,1]).0d19. Будет ли оператор dx: C 1 [0,1] → C[0,1] компактным? Докаdзать, что оператор dx : C 2 [0,1] → C[0,1] является компактным.20. Доказать, что оператор A ∈ L(C[0,1]) : (Af )(x) = f (x2 ) неявляется компактным.2213. Элементы нелинейного анализа:дифференцирование1. Найти производную Фреше функционала f : H → R, еслиа) f (x) = kAxk2 , где a ∈ L(H),R21б) x ∈ H = L2 [0,1], f (x) = 0 x(t) dt .2.
Исследовать функционал F : C[0,1] → R такой, что F (f ) == max f (x) на дифференцируемость по Гато, по Фреше.x∈[0,1]14. Элементы нелинейного анализа: теоремыо неподвижных точках1. Привести пример непрерывного отображения замкнутого единичного шара пространства l2 в себя, не имеющего неподвижной точки.2. Пусть A = (aij ) — n × n-матрица, aij > 0, i,j = 1, . .
. ,n. Доказать, что у A имеется собственный вектор x = (x1 , . . . ,xn ), укоторого все xi > 0.3. Доказать, что краевая задачаy 00 + λ sin y = f (x),y(0) = y(1) = 0имеет решение ∀ λ ∈ R и ∀ f ∈ C[0,1].4. Имеется игра двух лиц с нулевой суммой (X,Y,K), где X,Y— выпуклые компакты в банаховом пространстве, K(x,y) —непрерывная на X × Y функция, вогнутая по x и выпуклаяпо y. Доказать, что у такой игры существуют оптимальныестратегии.5. Свести к интегральному уравнению задачу y 00 = y 2 + kx2 ,y(0) = y(1) = 0, вычислив функцию Грина оператора (−y 00 ).При каких значениях k последовательность в модифицированном методе Ньютона сходится в пространстве C[0,1] при начальном приближении y0 ≡ 0?15. Исследовательские задачи1. В пространстве l2 рассмотрим оператор A, переводящий элемент x = (x1 ,x2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
