МУ -Задачи по функциональному анализу (1187982), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

.) ∈ l2 в элемент Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , . . .), λn ∈∈ R.а) Доказать, что A — линейный.23б) При каких условиях на λn оператор A будет ограниченнымоператором, действующим из l2 в l2 ?в) Найти kAk.г) Всегда ли найдётся x ∈ l2 , x 6= 0, такой, что kAxk == kAk kxk?д) При каких условиях на последовательность λn существуетобратный оператор A−1 ?е) При каких условиях на λn обратный оператор A−1 будетограничен?ж) Найти спектр оператора A (при условии его ограниченности).з) На множестве регулярных значений оператора A построить резольвенту.2. Пусть {en }n∈N — ортонормированный базис в гильбертовомпространстве H. Оператор A ∈ L(H) называется операторомГильберта–Шмидта, если величина∞X2kAk2 =kAen k2n=1конечна.

Доказать, чтоа) величина kAk2 не зависит от выбора базиса в H.б) kAk 6 kAk2 ;в) kAk2 = kA∗ k2 ;г) величина kAk2 , определённая на класс операторовГильберта–Шмидта, является нормой;д) в пространстве L(H) операторы Гильберта–Шмидтаобразуют линейное многообразие;е) равенство∞X(A,B) =(Aen ,Ben )n=1задаёт на классе операторов Гильберта–Шмидта скалярное произведение;ж) операторы Гильберта–Шмидта образуют банахово пространство относительно kAk2 ;з) всякий оператор Гильберта–Шмидта вполне непрерывен;и) оператор A : L2 [0,1] → L2 [0,1]Z 1(Ax)(t) =K(t,s)x(s) ds,024где K(t,s) ∈ L2 [0,1] × L2 [0,1], есть оператор Гильберта–Шмидта;к) если A — оператор Гильберта–Шмидта и B ∈ L(H), тоAB и BA — оператор Гильберта–Шмидта и при этомkABk2 6 kAk2 kBk, kBAk2 6 kAk2 kBk.л) при каком условии на последовательность λn ∈ R операторA : l2 → l2 , Ax = (λ1 x1 ,λ2 x2 , .

. .) для x = (x1 ,x2 , . . .) ∈ l2будет оператором Гильберта–Шмидта?м) в пространстве l2 построить вполне непрерывный оператор, не являющийся оператором Гильберта–Шмидта.3. Оператор A ∈ L(H) называется ядерным, если он представимв виде A = BC, где B, C — операторы Гильберта–Шмидта.Доказать, что если A — ядерный оператор, тоа) A — оператор Гильберта–Шмидта и, следовательно,вполне непрерывный оператор;б) AD и DA, где D ∈ L(H) — ядерные операторы;в) A∗ — ядерный оператор;г) Pдля любого ортонормированного базиса {en }n∈N в H ряд∞n=1 (Aen ,en ) абсолютно сходится;д) в пространстве l2 привести пример ядерного оператора иоператора Гильберта–Шмидта, не являющегося ядерным.25СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций ифункционального анализа. – М.: Наука, 1981.2. Хатсон В., Пим Д. Приложения функционального анализа итеории операторов. – М.: Мир, 1983.3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.:Наука, 1977.4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. – М.: Наука, 1988.5. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.

– М.: Изд-во МГУ, 1989.6. Треногин В.А., Писаревский В.М., Соболева Т.С. Задачи иупражнения по функциональному анализу. – М.: Наука, 1984.7. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов вгильбертовом пространстве. Т.1. – Харьков: Вища школа,1977.8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. – М.: Мир, 1977.9. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функциональногоанализа. – М.: Наука, 1965.10. Функциональный анализ / Под ред.

С.Г. Крейна. – М.: Наука,1972.26ОГЛАВЛЕНИЕ1.2.3.4.5.6.Метрические и топологические пространства . . . . . . . .Полные метрические пространства . . . . . . . . . . . . . .Компактные метрические пространства . . . . . . . . . . .Нормированные и топологические векторные пространстваГеометрия гильбертова пространства . . .

. . . . . . . . . .Линейные ограниченные операторы в нормированных пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7. Обратный оператор, спектр, резольвента . . . . . . . . . . .8. Мера и интеграл Лебега . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .9. Сопряжённое пространство, теорема Хана–Банаха, теоремаРисса–Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10. Слабая и слабая* сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . .11. Сопряжённые операторы. Самосопряжённые операторы .12. Компактные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13.

Элементы нелинейного анализа: дифференцирование . . .14. Элементы нелинейного анализа: теоремы о неподвижныхточках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15. Исследовательские задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . ......56689. 9. 13. 15.....1618192123. 23. 23. 2627.

Характеристики

Список файлов книги