МУ -Задачи по функциональному анализу (1187982), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть X, Y — банаховы пространства, A : X → Y — ограниченный линейный оператор. Всегда ли равенстваа) kxk1 = kAxk; б) kxk2 = kxk + kAxkзадают в X норму? Будет ли X в этой норме банаховым пространством?11. Пусть H — гильбертово пространство, An ∈ L(X,Y ) и An x →→ Ax на всех элементах x ∈ L, где L — линейное подпростран-10ство, всюду плотное в X. Следует ли отсюда, что An x → Axна всех x ∈ X?12.
Пусть E1 и E2 — банаховы пространства. Пусть последовательность {An } ⊂ L(E1 ,E2 ) такова, что для любого x ∈ E1последовательность {An x} фундаментальна в E2 . Доказать,что существует A ∈ L(E1 ,E2 ) такой, что Ax = lim An x дляn→∞любого x ∈ E1 . Доказать, что kAk 6 lim kAn k. Можно лиn→∞13.14.15.16.17.18.19.последнее неравенство заменить равенством?Пусть X, Y — банаховы пространства, An ∈ L(X,Y ), n ∈ N;An x → Ax на любом элементе x ∈ X.
Доказать, что еслиxn → x, то An xn → Ax.Пусть L1 ,L2 — замкнутые линейные подпространства гильбертова пространства, P1 ,P2 — ортогональные проекторы соответственно на L1 ,L2 , δ(L1 ,L2 ) = kP1 − P2 k. Доказать, чтоа) δ 6 1;б) δ < 1 ⇒ L1 и L2 имеют одинаковую размерность.Пусть Pt , t ∈ [0,1] — однопараметрическое семейство проекторов в гильбертовом пространстве, непрерывно (в смысленормы оператора) зависящих от параметра t. Доказать, чтовсе Pt имеют одинаковый ранг (т.е.
размерность образа).Пусть E1 , E2 — нормированные пространства, причемdim E2 < ∞. Пусть A : E1 → E2 — линейное отображение.Доказать, что A непрерывно тогда и только тогда, когда Ker Aзамкнуто. Верно ли это утверждение в случае dim E2 = ∞?Пусть E — линейное пространство, f — ненулевой линейныйфункционал на E. Доказать, что существует x ∈ E такой, чтоE = Ker f ⊕ [x].Пусть E — линейное пространство, f : E → R — функционал,удовлетворяющий свойствам:а) f (x) > 0 для всех x ∈ E;б) f (x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;в) f (αx) = |α|f (x) для всех x ∈ E, α ∈ R;г) множество {x ∈ E : f (x) 6 1} выпукло.Доказать, что f является нормой в пространстве E.Пусть E1 и E2 — банаховы пространства, множество A ⊂⊂ L(E1 ,E2 ).
Доказать, что множество A равностепенно непре-1120.21.22.23.рывно тогда и только тогда, когда существует M > 0 такое,что kAk 6 M для всех A ∈ A.Пусть оператор I : l1 → l2 реализует естественное вложениеl1 в l2 . Доказать, что I ∈ L(l1 ,l2 ), но не имеет ограниченногообратного. Является ли пространство l1 с l2 -нормой банаховым?Пусть оператор I : L2 [0,1] → L1 [0,1] реализует естественноевложение L2 [0,1] в L1 [0,1]. Доказать, что I ∈ L(L2 [0,1],L1 [0,1]),но не имеет ограниченного обратного. Является ли пространство L2 [0,1] с L1 [0,1]-нормой банаховым?Доказать, что последовательность операторов {An }, An ∈1∈ L(C[0,1]), (An f )(x) = f (x1+ n ) поточечно сходится к I. Верноли, что An сходится к I по операторной норме?В пространстве l2 для элемента x = (x1 ,x2 , .
. .) ∈ l2 определимпоследовательности операторов:x x12An x =, ,... ;n nBn x = 0,0, . . . ,0 ,xn+1 ,xn+2 , . . . ,| {z }n ∈ N.nЯвляются ли эти последовательности сходящимисяа) поточечно; б) по операторной норме?24. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]Z t(Ax)(t) =es x(s) ds0и последовательность операторов An : C[0,1] → C[0,1]!Z t Xnsk(An x)(t) =x(s) ds, n ∈ N.k!0k=0Сходится ли последовательность An к A? Каков характер сходимости?25. Доказать, что если ∀ x ∈ l2 (x1 y1 ,x2 y2 , . . .) ∈ l1 , то y ∈ l2 .26. Доказать, чтоа) тригонометрическая система не является базисом в пространстве CP [−π,π];б) система {xk }∞k=0 не является базисом в L2 [0,1].1227.
Назовёмэкспонентой eA оператор вида: eA =P∞ Aоператорнойk0= k=0 k! (A = I — тождественный оператор).Доказать, что если X — банахово пространство, A ∈ L(X),то оператор eA ∈ L(X), keA k 6 ekAk . Чему равно eI ?28. ПустьX — банахово пространство, A ∈ L(X). Доказать, чтоP∞ряд k=0 Ak сходится в L(X) тогда и только тогда, когда длянекоторого натурального k выполняется неравенство kAk k < 1.29. Пусть An — оператор кусочно-линейной интерполяции в C[a,b]по n равноотстоящим узлам.
Исследовать последовательность{An } на сходимость (по норме и поточечную).30. Пусть оператор U определён всюду в комплексном гильбертовом пространстве H и отображает его на все H. Он называетсяунитарным, если для любых x,y ∈ H выполняется равенство(U x,U y) = (x,y). Доказать, чтоа) унитарный оператор линеен и ограничен;б) унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен;в) произведение двух унитарных операторов есть унитарныйоператор.7. Обратный оператор, спектр, резольвента1. Пусть E — банахово пространство, A ∈ L(E). Доказать, чтоσ(An ) = {λn |λ ∈ σ(A)}.2. Пусть X — линейное пространство, A : X → X — линейныйоператор, удовлетворяющий при некоторых λk ∈ R соотношению I + λ1 A + λ2 A2 + . .
. + λn An = θ (θ — нулевой, I — тождественный оператор). Доказать, что A−1 существует.3. Доказать, что оператор A : C 1 [0,1] → C[0,1](Ax)(t) =dxdtимеет правый, но не имеет левого обратного.4. В пространстве C 1 [0,1] рассмотрим подпространство L == {x(t) ∈ C 1 [0,1] : x(0) = 0} и оператор A : L → C[0,1]:(Ax)(t) =dx+ a(t)x(t);dta(t) ∈ C[0,1].Доказать, что A имеет ограниченный обратный.135. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]Z tx(s) ds.(Ax)(t) =0Что представляет собой множество значений оператора A? Существует ли оператор A−1 , определённый на множестве значений и ограничен ли он?6. Рассмотрим оператор A : C[0,1] → C[0,1]Z t(Ax)(t) =x(s) ds + x(t).0Доказать, что A имеет ограниченный обратный на всём C[0,1]и найти A−1 .7. В пространстве C[0,1] рассмотрим операторZ tx(s) ds.(Ax)(t) =0Найти спектр и резольвенту оператора A.8.
Доказать, что оператор A : C[0,1] → C[0,1]Z 1(Ax)(t) = x(t) +es+t x(s) ds0−1A .непрерывно обратим и найти9. В вещественном линейном пространстве C[−π,π] найти собственные значения и собственные векторы операторова) (Ax)(t) = x(−t);Rπб) (Ax)(t) = −π cos(s + t)x(s) ds.Имеют ли эти операторы непрерывный спектр? Построить резольвенты на множестве регулярных значений каждого оператора.10. В пространстве C[0,1] рассмотрим оператор (Ax)(t) = x(0) ++ tx(1).
Найти точечный и непрерывный спектры оператора Aи построить резольвенту на множестве регулярных значений.11. В пространстве C[0,2π] рассмотрим оператор (Ax)(t) = eit x(t).Доказать, что спектр A есть множество {λ ∈ C : |λ| = 1}, причём ни одна точка спектра не является собственным числом.12. Найти спектр и резольвенту оператора A ∈ L(L2 (−1,1))Z 1(Af )(x) =(1 + xt)f (t) dt.01413. Какие множества на комплексной плоскости могут являтьсяспектром некоторого ограниченного оператора в l2 ?14.
Найти спектр и собственные значения оператора умножения нафиксированную непрерывную функцию в пространстве C[a,b].15. Найти спектр оператора A ∈ L(L2 (R))Z +∞f (y) dy(Af )(x) =.2−∞ 1 + (x − y)8. Мера и интеграл Лебега1. Доказать, что C[a,b] плотно в L1 [a,b].2. Пусть fn — последовательность измеримых функций на [a,b].Сравнить сходимости: в среднем, среднем квадратичном, почти всюду.3. Доказать, что из интегрируемости по Риману функции, заданной на отрезке, следует ее интегрируемость по Лебегу.4.
Доказать с помощью теоремы Лебега о предельном переходепод знаком интеграла, что12 2√ e−x /ε = δ(x).ε→+0 ε πlim5. Доказать, что все открытые и все замкнутые множества наплоскости измеримы по Лебегу.6. Пусть f — непрерывно дифференцируемая функция, определённая на вещественной оси. Пусть A ⊂ R и известно, чтоµ(A) = 0. Доказать, что µ (f (A)) = 0.7. Применить теорему Егорова к последовательности функцийfn (x) = xn на отрезке [0,1] .8. Пусть {rn }∞n=1 — рациональные числа на отрезке [0,1]. Доказать, что ряд∞X12n |x − rn |1/2n=1сходится почти всюду на [0,1].9. Пусть функции fn ∈ R[0,1], причем fn ⇒ f на [0,1] при n →→ ∞.R Доказать, чтоR 1 f ∈ R[0,1], причем справедливо равенство1limfn (x) dx = 0 f (x) dx.n→∞ 010.
Пусть M — множество вещественных кусочно-постоянных наотрезке [0,1] функций. Пусть множество N является замыка15нием множества M в смысле равномерной сходимости на [0,1].Верно ли, что N ⊂ R[0,1], N = R[0,1]?11. Доказать, что Lp [0,1] ⊂ Lq [0,1], lp ⊃ lq для всех 1 6 q < p 6 ∞.12. Пусть последовательность {fn } измеримых по Лебегу на отрезке [0,1] функций поточечно сходится к f , причем существуетM > 0 такое, что |fn (t)| R6 M для всех n ∈ N и почти всехxt ∈ [0,1].
Доказать, что 0 (fn (t) − f (t)) dt ⇒ 0 на [0,1] приn → ∞.13. Пусть функция f : [0,1] → R измерима по Лебегу. Пустьзадана последовательность измеримых подмножеств {An } отрезка [0,1], µAn → 1 при n → ∞, такая, что f интегрируема поЛебегу на каждом An . Пусть существует M > 0 такое, чтоZ|f (t)| dt 6 MAnдля всех n ∈ N. Доказать, что f интегрируема по Лебегу на[0,1], причем существуетZZ 1limf (t) dt =f (t) dt.n→∞ An014. Пусть fn и f — измеримые по Лебегу на отрезке [0,1] функции.Верно ли, что fn сходится к f почти всюду на [0,1] тогда итолько тогда, когда fn сходится к f по мере?15.
Пусть fn — последовательность измеримых по Лебегу на отрезке [0,1] функций, причем существует M > 0 такое, что|fn (x)| 6 M для всех x ∈ [0,1] и n ∈ N. Доказать, что g(x) == inf fn (x) является измеримой по Лебегу на отрезке [0,1].n∈N16. Доказать, что L∞ [0,1] и l∞ несепарабельны, а L1 [0,1] и l1 нерефлексивны.17. Привести пример множества A ⊂ [0,1] такого, чтоа) µA = 0, но A второй категории;б) µA = 1, но A первой категории.9. Сопряжённое пространство, теорема Хана–Банаха,теорема Рисса–Фреше1. Доказать, что lp∗ ∼= l∞ ,= lq (1 < p < ∞, p−1 + q −1 = 1), l1∗ ∼∗∗∗∼∼∼c0 = l1 , c = l1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
