Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 4 семестра - Кудрявцев (1187978)
Текст из файла
Л. Д. КудрявцевРЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫпо курсуМАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА(II курс, II семестр)Составитель: Л.Д.КудрявцевУДК 517Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (IIкурс, II семестр) / МФТИ. М., 2003. 26 с.c Московский физико-технический институт(государственный университет), 2003.ЛЕКЦИЯ 1. Тригонометрические ряды Фурье.1. Что называется рядом Фурье? Для каких функций имеетсмысл говорить об их ряде Фурье?2. Что характеризует ряды Фурье четных (нечетных) функций?3. В чем состоит свойство ортогональности тригонометрическихфункций?4. Найти коэффициенты равномерно сходящегося тригонометрического ряда с помощью его суммы.∞∞Psin nx Pcos nx5. Являются ли тригонометрические ряды, приα ,nnα11α = 2, α = 3, вообще при α > 1 рядами Фурье?6. Будут ли ряды Фурье функций f1 (x) = x для ∀x ∈ [−π, π] иf2 (x) =7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.x для x ∈ [−π, 0) ∪ (0, π],1 для x = 0,одинаковыми или нет?Какая функция называется финитной?Что называется характеристической функцией множества?Какая функция называется ступенчатой?Будет ли линейная комбинация финитных функций финитной?Будет ли произведение финитных функций финитной функцией?Будет ли линейная комбинация ступенчатых функций ступенчатой функцией?Какая функция называется абсолютно интегрируемой?Будет ли произведение абсолютно интегрируемых функций абсолютно интегрируемой функцией?Доказать абсолютную интегрируемость на отрезке произведения абсолютно интегрируемой функции на функцию, интегрируемую по Риману.Можно ли сколь угодно точно приблизить в среднем абсолютноинтегрируемую на интервале функцию ступенчатой функцией?317.
Как ведут себя коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции, когда их номер стремится к бесконечности?18. Чему равны пределыZ bZ blimf (x) cos λxdx, limf (x) sin λxdxλ→∞ aλ→∞ aдля абсолютно интегрируемой на интервале (a, b) функции f ?19. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функция является пределом равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций.ЛЕКЦИЯ 2.1. Что называется ядром Дирихле? Каковы его свойства?2. Доказать, что интеграл от периодической функции по отрезку,длина которого равна периоду, на зависит от выбора этого отрезка.3. Написать интегральные представления частных сумм ряда Фурье с помощью ядра Дирихле через интегралы по отрезкам[−π, π] и [0, π].4.
Написать асимптотическое интегральное представление частной суммы ряда Фурье в данной точке с помощью интегралапо окрестности этой точки.5. В чем состоит принцип локализации для рядов Фурье?6. Сформулировать признак Дини сходимости ряда Фурье.7. Привести пример ряда Фурье функции, сумма которого в некоторой точке не равна значению функции в этой точке.8. Каковы достаточные условия сходимости ряда Фурье в даннойточке в терминах односторонних производных?9. К чему и при каких условиях сходится ряд Фурье данной функции в точках ее разрыва первого рода?10. Сходится ли, а если сходится, то к чему, ряд Фурье абсолютноинтегрируемой на отрезке [−π, π] функции в точках ее дифференцируемости?411.
В случае абсолютной интегрируемости функции f на отрезке[0, π] доказать равносходимость интеграловZ0π|f (t)|dt иtZ0π|f (t)|dt.sin (t/2)12. Доказать сходимость интегралаZ013.14.15.16.π|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|dt,tесли f — 2π-периодическая функция, абсолютно интегрируемая на периоде, а x — точка, в которой функция f имеет односторонние производные и непрерывна.Построить график суммы ряда Фурье функции f (x) = x, −π 66 x 6 π.Построить график суммы ряда Фурье функции f (x) = x2 ,f (x) = x3 , f (x) = sh x, −π 6 x 6 π.
Будет ли этот ряд Фурьесходиться равномерно на отрезке [−π, π]?Сходится ли ряд Фурье кусочно дифференцируемой функции вкаждой точке?Чему равна сумма ряда Фурье кусочно дифференцируемойфункции?ЛЕКЦИЯ 3.1. Что называется суммированием ряда методом средних арифметических?2. К чему суммируется сходящийся ряд методом средних арифметических?3. Привести пример расходящегося ряда, суммируемого методомсредних арифметических.4. Что называется ядром Фейера?55. Каким свойством обладает ядро Фейера? Какие свойства ядраФейера, отсутствующие у ядра Дирихле, позволяют доказатьтеорему о суммируемости рядов Фурье непрерывных периодических функций методом средних арифметических?6.
Каково поведение ядра Фейера на отрезке [−π, π] вне окрестности нуля, когда его номер стремится к бесконечности?7. Что называется суммой Фейера порядка n для данной функции?8. Каково интегральное представление суммы Фейера с помощьюядра Фейера?9. Чему равен предел сумм Фейера непрерывной 2π-периодической функции?10. Чему равна сумма сходящегося в данной точке ряда Фурье непрерывной 2π-периодической функции?11. Доказать равномерную непрерывность на всей числовой прямой для периодической непрерывной функции.12.
Доказать, что четное продолжение функции, непрерывной наотрезке [0, a], непрерывно на отрезке [−a, a].13. Можно ли равномерно на всей числовой прямой с любой точностью приблизить непрерывную 2π-периодическую функциютригонометрическим многочленом?14. Можно ли равномерно на отрезке [−π, π] с любой точностьюприблизить непрерывную на этом отрезке функцию тригонометрическим многочленом?15.
В чем состоит теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции тригонометрическими многочленами?16. В чем состоит теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции алгебраическими многочленами?17. Является ли тригонометрический многочлен аналитическойфункцией на числовой прямой?18.
Сформулировать необходимое и достаточное условие непре-6рывности функции на отрезке в терминах ее равномерных приближений алгебраическими многочленами.19. Сформулировать необходимое и достаточное условие непрерывности функции на отрезке в терминах разложения функции в ряд многочленов. Почему отсюда не следует разложениелюбой непрерывной функции в степенной ряд?ЛЕКЦИЯ 4.
Функциональные пространства1. Что такое арифметическое n-мерное евклидово пространствоRn ?2. Что такое метрическое пространство? Что такое метрика?3. Как записывается неравенство четырехугольника в метрическом пространстве?4. Будет ли метрикойρ(f, g) = sup |f (x) − g(x)|x∈E5.6.7.8.9.10.11.на множестве B(E) функций, ограниченных на некотором множестве E? Как называется последовательность функций fn ,сходящаяся к функции f , в смысле lim ρ(fn , f ) = 0?n→∞Привести пример интегральной метрики.Что называется ε-окрестностью точки метрического пространства?Что является ε-окрестностью точки на прямой, на плоскости,в трехмерном пространстве?Что такое предел последовательности точек в метрическомпространстве?Какая последовательность называется сходящейся в метрическом пространстве?Какая последовательность называется фундаментальной?Какая связь между понятием сходящейся и фундаментальнойпоследовательности?712. Что называется полным метрическим пространством?13.
Привести пример полного (неполного) метрического пространства.14. Будет ли пространство Rn полным?15. Будет ли пространство B(E) ограниченных функций полным?(E — произвольное множество.)16. Будет ли полным подпространство C(E) непрерывных функций пространства B(E), E ⊂ Rn ?17. В чем состоит критерий Коши сходимости последовательноститочек метрического полного пространства?18. Какое отображение называется изометрическим?19. Какие метрические пространства называются изометрическими?20.
Какое множество метрического пространства называется открытым?21. Будет ли ε-окрестность точки открытым множеством?22. Привести пример открытого (неоткрытого) множества?23. Что называется окрестностью точки в метрическом пространстве?24. Будет ли открытым пересечение конечной (бесконечной) совокупности открытых множеств?25. Будет ли открытым объединение конечной (бесконечной) совокупности открытых множеств?26. Что называется точкой прикосновения множества в метрическом пространстве?27.
Что называется предельной точкой множества?28. Какая точка множества называется изолированной?29. Какое множество называется замкнутым?30. Привести пример замкнутого (незамкнутого) множества.31. Будет ли конечное множество замкнуто?32. Будет ли дополнение замкнутого (открытого) множества открытым (замкнутым)?833. Будет ли замкнутым пересечение конечной (бесконечной) совокупности замкнутых множеств?34. Будет ли замкнутым объединение конечной (бесконечной) совокупности замкнутых множеств?35.
Что называется замыканием множества?36. Какое множество называется плотным в данном метрическомпространстве?37. Что называется пополнением метрического пространства?38. Что является пополнением метрического пространства рациональных чисел с естественной метрикой?39. Если последовательности {xn } и {yn } точек метрического пространства R называются эквивалентными при условии, чтоlim ρ(xn , yn ) = 0, то как можно определить метрику в мноn→∞жестве R∗ эквивалентных фундаментальных последовательностей так, чтобы пространство R изометрически отображалосьв R∗ ?40. Если R∗ — множество эквивалентных фундаментальных последовательностей метрического пространства R (см. п.39),x∗ ∈ R∗ , y ∗ ∈ R∗ , {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗иdefρ∗ (x∗ , y ∗ ) = lim ρ(xn , yn ),n→∞41.42.43.44.45.то будет ли функция ρ∗ метрикой в множество R∗ ?Будет ли метрическое пространство R изометрически отображаться в пространстве R∗ (см.
п.40)?Будет ли метрическое пространство R, отождествленное сосвоим изометрическим образом в R∗ , плотным в пространствеR∗ ?Будет ли метрическое пространство R∗ полным?Можно ли пополнить любое метрическое пространство?Если R ⊂ R∗ (см. п.42), {xn } ∈ x∗ ∈ R∗ , то чему равен пределlim ρ∗ (xn , x)?n→∞9ЛЕКЦИЯ 5.1. Что называется линейным пространством?2.
Приведите пример конечномерного и бесконечномерного линейного пространства.3. Что называется нормой (полунормой) в линейном пространстве?4. Приведите пример нормированного и полунормированного пространства.5. Как определяется нормированное (полунормированное) пространство B(X)? C(X)? RL1 (a, b)?6.
Будут ли выраженияZ bsup |f (n) (t)|,|f (n) (t)|dta6t6b7.8.9.10.11.12.13.14.15.aнормой? Полунормой? Для каких функций? Для каких n?Доказать: если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке, и интеграл от нее по этому отрезку равен нулю, то онаравна нулю во всех точках рассматриваемого отрезка.Что называется последовательностью, сходящейся по норме?По полунорме?Будет ли единственным предел последовательности, сходящейся по норме (по полунорме)?Будет ли ограниченной по норме (по полунорме) сходящаясяпо этой норме (полунорме) последовательность?Какая функция называется непрерывной по норме (по полунорме)?Будет ли норма (полунорма) непрерывной функцией?Какое множество называется плотным в нормированном (полунормированном) пространстве?Какая система элементов нормированного (полунормированного) пространства называется полной?Какой ряд называется сходящимся в нормированном (полунормированном) пространстве?1016.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
