Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 4 семестра - Кудрявцев (1187978), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Является ли в любом гильбертовом пространстве рядом Фурье некоторого элемента этого пространства ряд, членами которого являются элементы ортогональной последовательностис коэффициентами, сумма квадратов которых образует сходящийся ряд? Что можно сказать в случае гильбертова пространства?11.
Какая система элементов предгильбертова пространства называется замкнутой?12. Какая существует связь в гильбертовом пространстве междузамкнутыми и полными ортогональными системами?13. Будет ли тригонометрический ряд Фурье любой функции с интегрируемым на [−π, π] квадратом сходиться к самой функциив смысле среднего квадратичного?14.
Что называется равенством Парсеваля по тригонометрическойсистеме? Будет ли оно верно для функции с интегрируемымквадратом? Для непрерывной функции?1715. Что можно сказать о функции с интегрируемым квадратом,все коэффициенты Фурье которой по тригонометрической системе равны нулю? Что можно сказать в этом же случае онепрерывной функции?16. Будет ли ряд Фурье по многочленам Лежандра любой функции с интегрируемым на отрезке [−1, 1] квадратом сходитьсяв смысле среднего квадратичного к самой функции?17. Что можно сказать о функциях с интегрируемым на [−1, 1]квадратом, у которых равны соответствующие коэффициентыФурье по многочленам Лежандра? Что можно сказать о функциях, если дополнительно предположить их непрерывность наотрезке [−1, 1]?18. Будет ли тригонометрическая система функций полной в пространстве L2 [−π, π], если из нее исключить sin 2x?ЛЕКЦИЯ 9.
Тригонометрические ряды Фурье (продолжение)1. Будет ли равномерно сходящийся тригонометрический ряд рядом Фурье своей суммы?2. Будет ли тригонометрический ряд, сходящийся в смысле среднего квадратичного к функции с интегрируемым квадратом,рядом Фурье своей суммы?3. Будет ли ряд, полученный почленным дифференцированиемряда Фурье непрерывной кусочно гладкой периодической функции, рядом Фурье производной исходной функции?4. Как оценивается порядок убывания коэффициентов Фурье периодической функции, которая имеет k −1 непрерывных производных и кусочно непрерывную производную порядка k(k > 1)?5.
Как оценивается скорость сходимости ряда Фурье периодической функции, которая имеет k − 1 непрерывных производныхи кусочно непрерывную производную порядка k(k > 1)?6. Будет ли ряд Фурье функции f (x) = |x|, |x| 6 π, сходитьсяравномерно? Будет ли равномерно сходиться ряд, полученныйпочленным дифференцированием ряда Фурье функции f (x)?187. Будет ли равномерно сходиться ряд Фурье непрерывной 2π-периодической функции с кусочно непрерывной производной?8.
Будет ли для функции f (x) = |x|, |x| 6 π, справедлива равномерная оценка f (x) − Sn (x; f ) = o(n−1/2 )?9. Будет ли равномерно сходиться ряд Фурье функции, графиккоторой представляет собой 2π-периодическую конечнозвенную на периоде ломаную? Чему будет равна сумма ряда?10. Какой вид имеют формулы для коэффициентов ряда Фурье,заданного в комплексной записи?ЛЕКЦИЯ 10. Интегралы, зависящие от параметра1. Как определяется равномерная сходимость семейства функцийпри стремлении параметра семейства к некоторому значению?2.
Какова связь равномерной сходимости семейства функций пристремлении параметра семейства к некоторому значению с равномерной сходимостью последовательностей функций семейства, соответствующих последовательностям значений параметра, сходящимся к указанному значению?3. Каковы необходимые и достаточные условия равномерной сходимости семейства функций при стремлении параметра к некоторому значению в терминах существования предела у соответствующей вспомогательной функции одного переменного?4. В чем состоит критерий Коши равномерной сходимости семейства функций, когда параметр семейства стремится к некоторому значению?5.
Какого вида интегралы называются интегралами, зависящимиот параметра?6. Каким образом можно свести интеграл, зависящий от параметра, с переменными пределами интегрирования к интегралу,зависящему от параметра, с постоянными пределами интегрирования?197. Каковы достаточные условия непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра, с переменными пределамиинтегрирования?8. Каковы условия возможности предельного перехода под знакомсобственного интеграла, зависящего от параметра, с постоянными пределами интегрирования в терминах равномерной сходимости семейства подынтегральных функций, зависящих отпараметра?9. Какое имеется правило для интегрирования собственных интегралов, зависящих от параметра, с постоянными пределамиинтегрирования от непрерывных функций?10.
Как записывается формула Лейбница для производных от интегралов, зависящих от параметра, с постоянными пределами?Каковы достаточные условия в случае собственного интеграладля подынтегральной функции, при которых справедлива формула Лейбница?11. Какова формула для дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, с переменными пределами интегрирования? Укажите достаточные условия, при которых она справедлива.12. Какой интеграл называется сходящимся на данном множестве?Равномерно сходящимся на этом множестве?13. Равномерной сходимости по параметру какого семейства функций равносильно понятие равномерной сходимости интеграла?14. Как сформулировать необходимое и достаточное условие равномерной сходимости интеграла в терминах существования нулевого предела соответствующей вспомогательной функции одного переменного?15.
Как формулируется критерий Коши равномерной сходимостиинтегралов?16. Какие существуют связи между понятием равномерной сходимости интегралов и равномерной сходимости соответствующих рядов?2017. Как формулируется признак Вейерштрасса равномерной сходимости интегралов?18. Сходится ли равномерно на всей числовой прямой интегралZ +∞dx?22−∞ x + y + 119. Где сходятся и где равномерно сходятся интегралы:Z +∞Z 1dxdx,,2222−∞ x + y0 x +yZ +∞Z +∞dx2e−(x−y) dx,?1+(x− y)2−∞−∞20. Где сходится и где равномерно сходится интегралZ +∞ye−xy dx?021.
Чему равен предел1Zlim√y→0 022. Чему равен пределZlim+∞y→0 −∞cos xy dx?cos xydx?1 + x2 + y 223. Чему равна производнаяZd π/2ln (t2 − cos2 x)dx, t > 1?dt 0ЛЕКЦИЯ 11.1. Каковы достаточные условия непрерывности по параметру несобственного интеграла?212. Каково правило интегрирования несобственного интеграла попараметру? Какие Вы знаете достаточные условия, при которых справедливо это правило?3. Каковы достаточные условия справедливости правила Лейбница для несобственных интегралов, зависящих от параметра?4.
Как определяются гамма-функция Γ(s) и бэта-функция B(p, q)Эйлера? Для каких значений параметров они определены?5. Будет ли функция Γ(s) непрерывна при s > 0?6. Будет ли функция B(p, q) непрерывна при p > 0, q > 0?7. Будет ли функция Γ(s) дифференцируема при s > 0?8. Будет ли функция B(p, q) дифференцируема при p > 0 и q > 0?Преобразование Фурье1. Как определяется интеграл Фурье заданной функции?2. Что известно о плотности непрерывных финитных на конечном или бесконечном интервале (a, b) функций в пространствеRL1 (a, b)?3.
Какие Вы знаете достаточные условия для того, чтобы в интегралеZ d Z +∞dyf (x)ϕ(x, y)dxc4.5.6.7.∞можно было изменить порядок интегрирования?Каковы достаточные условия, которым должна удовлетворятьфункция для того, чтобы она была представима своим интегралом Фурье в данной точке? На всей оси?Как видоизменяется интеграл Фурье для четной функции? Длянечетной функции? Для функции, определенной на положительной полуоси? Чему они равны и при каких условиях нафункцию?Как определяется интеграл в смысле главного значения?Чему равен интеграл в смысле главного значения по всей числовой оси от нечетной функции, интегрируемой (в собственном или несобственном смысле) на любом конечном отрезке?228.
Как определяется производная и интеграл от комплекснозначной функции действительного аргумента?9. Как записывается интеграл Фурье в комплексной форме?10. Как определяются преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье?11. Определено ли прямое и обратное преобразование Фурье длялюбой абсолютно интегрируемой функции?12. На каком классе функций прямое и обратное преобразованияФурье являются взаимно обратными?ЛЕКЦИЯ 12.1. Является ли преобразование Фурье (обратное преобразованиеФурье) линейным?2.
Будет ли ограниченной функция, являющаяся преобразованиемФурье абсолютно интегрируемой на числовой прямой функции? Как оценивается абсолютная величина значений функции, являющейся преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой на числовой прямой функции, посредством этой функции?3. Как сходится последовательность функций, являющихся преобразованием Фурье последовательности функций, сходящейсяв среднем к некоторой абсолютно интегрируемой функции?4. Будет ли непрерывной функцией образ Фурье абсолютно интегрируемой функции?5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
