Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 4 семестра - Кудрявцев (1187978), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Будет ли нормированное (полунормированное) пространствометрическим? Если да, то с какой метрикой?17. Какое пространство называется банаховым?18. Можно ли всякое линейное нормированное пространство пополнить до банахова пространства? Если можно, то какимобразом?19. Что называется линейной оболочкой данной системы элементовлинейного пространства?20. Какая система называется базисом линейного нормированногопространства?21. Всякий ли базис линейного нормированного пространстваявляется полной системой? Верно ли обратное в случае счетной системы?22.
Какая последовательность функций называется сходящейся всреднем? В смысле среднего квадратического?23. В каком функциональном пространстве сходимость по нормеравносильна равномерной сходимости?24. Что называется скалярным произведением в линейном пространстве?Rb25. Будет ли выражение (f, g) = a f (t)g(t)dt скалярным (почтискалярным) произведением? Для каких функций?26. Напишите неравенство Коши–Буняковского. Справедливо лионо для почти скалярного произведения или только для скалярного?27.
Будет ли линейное пространство со скалярным (почти скалярным) произведением нормированным (полунормированным)?Если да, то с какой нормой (полунормой)? Будет ли оно метрическим? Если да, то с какой метрикой?28. Как определяются пространства RL2 [a, b] и CL2 [a, b]?29. Докажите неравенства:√kf kRL2 [a,b] 6 b − akf kB[a,b] ,kf kRL1 [a,b] 6 (b − a)kf kB[a,b] ,√kf kRL1 [a,b] 6 b − akf kRL2 [a,b] .1130.
Будет ли равномерно сходящаяся на отрезке последовательность непрерывных функций сходиться на этом отрезке в среднем (в смысле среднего квадратичного)?31. Будет ли сходящаяся на отрезке в смысле среднего квадратичного последовательность функций с интегрируемым квадратомна этом отрезке сходиться на нем в среднем?32. Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконечном) промежутке последовательности непрерывных функций еесходимость на этом промежутке в среднем? В смысле среднегоквадратичного?33. Следует ли из равномерной сходимости на конечном (бесконечном) промежутке последовательности абсолютно интегрируемых функций ее сходимость в среднем?34. Постройте пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся, но неравномернок функции, тождественно равной нулю на этом отрезке.35. Постройте пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся на этом отрезке всреднем (в смысле среднего квадратичного), но не сходящейсяравномерно.36∗ .
Построить пример последовательности неотрицательных непрерывных на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем,но не сходящейся в смысле среднего квадратичного.37∗ . Построить пример последовательности непрерывных неотрицательных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но несходящейся ни в одной точке.36. Будет ли почти скалярное (скалярное) произведение непрерывной функцией относительно порожденной им полунормы(нормы)?37. Можно ли почленно интегрировать на отрезке ряд интегрируемых в квадрате на этом отрезке функций, сходящийся на немв смысле среднего квадратичного к функции с интегрируемымквадратом?1238. Какое пространство называется гильбертовым? Предгильбертовым?39. Можно ли любое линейное пространство со скалярным произведением пополнить до гильбертова? Если да, то как?ЛЕКЦИЯ 6.1. Какими свойствами обладает понятие эквивалентности элементов?2.
При заданном в множестве соотношении эквивалентности егоэлементов, что называется фактор-множеством?3. Что называется фактор-пространством линейного пространства по его подпространству? Как определяются линейныеоперации над элементами этого фактор-пространства?4. Будет ли фактор-пространство линейного пространства по егоподпространству линейным пространством?5. Будет ли фактор-пространство полунормированного пространства по его подпространству элементов с нулевой полунормойявляться нормированным пространством?6.
Будет ли фактор-пространство пространства с почти скалярным произведением по его подпространству элементов с нулевым почти скалярным квадратом являться пространством соскалярным произведением?7. Является ли пространство CL2 [a, b] полным?8. Укажите фундаментальную, но не сходящуюся последовательность в пространстве CL2 [a, b].9. Будет ли множество ступенчатых функций плотно в пространстве RL2 (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞?10. Укажите конструкцию ступенчатой функции, приближающейв пространстве RL2 (a, b) заданную функцию этого пространства с точностью до ε > 0.11.
Будет ли множество непрерывных функций плотно в пространстве RL2 [a, b]? Будет ли плотно в этом пространстве мно1312.13.14.15.16.17.18.19.20.жество непрерывных функций, обращающихся в ноль на концах отрезка [a, b]? Непрерывных финитных на интервале (a, b)функций?Укажите конструкцию непрерывной функции, обращающейсяв ноль на концах отрезка [a, b] и приближающей в пространствеRL2 [a, b] заданную функцию этого пространства с точностьюдо заданного ε > 0.Что такое пространство L2 (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞?Будет ли плотно в пространстве L2 [a, b] множество непрерывных функций? Множество непрерывных функций, обращающихся в ноль на концах отрезка [a, b]?Какие функции называются эквивалентными в пространствеRL2 (a, b)?Могут ли существовать в классе эквивалентных функций дверазные непрерывные функции?Доказать, что множество непрерывных функций f , таких, чтоsupp f ⊂ (a, b), плотно в пространстве RL2 [a, b].Является ли пространство L2 (a, b) пополнением множества непрерывных финитных на интервале (a, b) функций, −∞ 6 a << b 6 +∞?Что называется пространством L1 (a, b), −∞ 6 a < b 6 +∞?Будет ли множество непрерывных финитных на интервале(a, b) функций плотно в пространстве L1 (a, b)?ЛЕКЦИЯ 7.1.
Какие системы элементов линейных пространств называютсялинейно независимыми?2. Какие системы элементов предгильбертова пространства называются ортогональными? Ортонормированными?3. Может ли ортонормированная система быть линейно зависимой?4. Будет ли система неотрицательных целых степеней линейнонезависимой на данном промежутке?145. Будет ли система функций 1, cos x, sin x, . . ., cos nx, sin nx, ...линейно зависима?6.
Какие многочлены называются многочленами Лежандра?7. Будет ли система многочленов Лежандра линейно зависимойили линейно независимой?8. Чему равно скалярное произведение многочлена Лежандра смногочленом меньшей степени?9. Можно ли любой многочлен представить в виде линейной комбинации многочленов Лежандра?10. Если некоторый многочлен степени n представлен в виде линейной комбинации многочленов Лежандра, то чему равны коэффициенты разложения при многочленах Лежандра степениm > n?11. Какая имеется связь между многочленами Лежандра и ортонормированной системой многочленов, полученной стандартным процессом ортогонализации из системы неотрицательныхцелых степеней 1, x, x2 , . .
., xn , ... на отрезке [−1, 1]?12. Будет ли полной система элементов предгильбертова пространства, получающаяся из полной системы стандартнымпроцессом ортогонализации?13. Что называется вложением одного полунормированного пространства в другое?14. Если система элементов некоторого пространства R1 , вложенного и плотного в пространстве R2 , полна в R1 , то будет лиона полна в R2 ?15. Если система элементов полна в некотором подмножестве R1 ,плотном в пространстве R2 , будет ли она полна в R2 ?16.
Будет ли система 1, x, x2 , . . ., xn , ... полна в пространствеC[a, b]? в RL1 [a, b]? в RL2 [a, b]? в L2 [a, b]?17. Будет ли система полиномов Лежандра полна в пространствеC[a, b]? в RL1 [a, b]? в RL2 [a, b]? в L2 [a, b]?18. Будет ли тригонометрическая система полна в пространствеC[−π, π]? в C ∗ [−π, π]? в L2 [−π, π]?1519. В чем состоит задача наилучшего приближения элемента предгильбертова пространства с помощью элементов некоторогоего конечномерного подпространства? Всегда ли существуетее решение? Единственно ли оно?20. Что называется коэффициентами Фурье элемента предгильбертова пространства по заданной ортогональной системе элементов?21. Что называется рядом Фурье элемента предгильбертова пространства по заданной ортогональной системе элементов?22. В чем состоит минимальное свойство частичных сумм рядаФурье?23. Какой из тригонометрических многочленов степени n наилучшим образом приближает абсолютно интегрируемую в квадрате функцию в смысле среднего квадратичного?24.
Как выражается наилучшее приближение элемента предгильбертова пространства линейными комбинациями ортогональной системы через норму элемента и его коэффициенты Фурье?25. Как записывается неравенство Бесселя для ортогональной системы предгильбертова пространства?ЛЕКЦИЯ 8.1. Сходится ли ряд Фурье (по заданной ортогональной системеэлементов) любого элемента гильбертова пространства?2. Чему равно скалярное произведение разности суммы рядаФурье (по заданной ортогональной системе гильбертова пространства) некоторого элемента и самого этого элемента с каждым элементом данной ортогональной системы?3. Что такое равенство Парсеваля в предгильбертовом пространстве?4. Какая связь имеется между сходимостью ряда Фурье (по некоторой ортогональной системе предгильбертова пространства)некоторого элемента к самому элементу и равенством Парсеваля для этого элемента?165.
Какая существует связь в предгильбертовом пространстве между сходимостью ряда Фурье по заданной ортогональной системе любого элемента пространства и полнотой указанной системы?6. Какая существует связь в предгильбертовом пространстве между полнотой ортогональной системы и выполнением равенства Парсеваля по этой системе для любого элемента?7. Будет ли единственным разложение элемента предгильбертовапространства по элементам ортогональной системы ненулевыхэлементов?8. Что можно сказать об элементе предгильбертова пространства, у которого все коэффициенты Фурье по некоторой полнойортогональной системе равны нулю?9. Что можно сказать о двух элементах предгильбертова пространства, у которых все коэффициенты Фурье по некоторойполной ортогональной системе, имеющие одинаковые номера,равны между собой?10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
