Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 3 семестра - Кудрявцев (1187974), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Как меняется мера множества при линейном отображении?3. Как оценивается расстояние между точками образакомпакта при непрерывно дифференцируемом отображении и при линейном отображении, порожденным его дифференциалом?4. Чему равна мера образа компакта меры ноль принепрерывно дифференцируемом отображении?5. Как при непрерывно дифференцируемом отображении оценивается верхняя мера образа n-мерного куба, пересекающегося с компактом, лежащем в отображаемом открытом множестве?106. Может ли менять знак якобиан при непрерывнодифференцируемом отображении с якобианом, не обращающимся в ноль?7. Во что отображаются внутренние и граничные точкимножеств, точки их прикосновения при непрерывно дифференцируемом взаимно однозначном отображении с неравным нулю якобианом?8.
Будет ли при непрерывно дифференцируемом взаимно однозначном отображении с не равным нулю якобианом измеримым образ измеримого множества с замыканием, содержащимся в отображаемом открытом множестве?9. Напишите формулу замены переменных в кратноминтеграле по измеримому множеству. При каких предположениях Вы знаете, что она верна?10. Напишите формулу замены переменных в кратноминтеграле по измеримому открытому множеству. При каких предположениях Вы знаете, что она верна?11. Является ли формула замены переменного в интеграле по отрезку, доказанная раньше, частным случаемформулы замены переменных в кратном интеграле?12. Как выражается мера образа области через интеграл от якобиана отображения (в случае взаимно однозначных непрерывно дифференцируемых отображений)? Какинтерпретируется это равенство, если заданное отображение рассматривать как переход от декартовых к криволинейным координатам?13.
В чем состоит геометрический смысл абсолютнойвеличины якобиана?14. В чем состоит геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области?15. Что называется криволинейными координатами?16. Каков геометрический смысл модуля якобиана припереходе к криволинейным координатам?1117. Чему равен якобиан преобразования к полярнымкоординатам?18. Чему равен якобиан преобразования к сферическимкоординатам?19. Чему равен якобиан преобразования к цилиндрическим координатам?Лекция 7. Криволинейные интегралы1.
Как определяется криволинейный интеграл первогорода?2. Всегда ли существует криволинейный интеграл первого рода от функции, непрерывной на спрямляемой кривой?3. Зависит ли криволинейный интеграл первого родаот ориентации кривой?4. Как выглядит формула для криволинейного интеграла первого рода по гладкой кривой в случае ее произвольного параметрического задания?5.
Как выглядит формула для криволинейного интеграла первого рода по графику непрерывно дифференцируемой по отрезку функции?6. Как определяется криволинейный интеграл второгорода по гладкой кривой с помощью криволинейного интеграла первого рода?7. Существует ли криволинейный интеграл второгорода от непрерывной функции по гладкой кривой?8. Как зависит криволинейный интеграл второго родаот ориентации кривой?9.
Зависит ли выражениеZ bF (ϕ(t),ψ(t),χ(t))ϕ0 (t)dtaот выбора параметра на кривой Γ = {ϕ(t),ψ(t),χ(t);a 6 t 6 b}.1210. Как определяются интегральные суммы криволинейного интеграла второго рода? Как определяется криволинейный интеграл второго рода с помощью этих сумм?11. Как связаны между собой два определения криволинейного интеграла второго рода по гладкой кривой?12. Как выглядитZ формула для криволинейного интеP dx (определенного как предел соот-грала второго родаΓветствующих интегральных сумм) по графику непрерывной на отрезке функции?13. В каком случае кривые, имеющие не непрерывнодифференцируемые представления, называются гладкими?14.
Как определяются криволинейные интегралы первого и второго рода по кусочно гладким кривым?Формула Грина и ее следствия1. Какая ориентация простого замкнутого контура наплоскости называется положительной?2. Что называется положительной ориентацией границы области, когда эта граница состоит из конечного множества простых замкнутых контуров?3. Что называется областью, элементарной относительно данной оси координат?4. Как определяется непрерывная дифференцируемостьфункции на замкнутой области (например, на замкнутомкруге)?5. Что называется формулой Грина для плоской области, ограниченной одним контуром? конечным числом контуров? Для каких областей справедлива формула Грина?6. Как с помощью формулы Грина вычисляется площадь области?13Лекция 8.
Элементы теории поверхностей1. Что называется поверхностью? непрерывно дифференцируемой поверхностью?2. Какие кривые называются координатными линиямина поверхности?3. Какая точка поверхности называется неособой?4. Как записывается условие, что данная точка поверхности неособая, через векторное произведение касательныхвекторов к координатным линиям?5. Как выражается касательный вектор к кривой наповерхности через касательные векторы к координатнымлиниям?6.
Что называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке?7. Как записывается уравнение касательной плоскостик поверхности в векторном виде? в координатном виде? вслучае явного (неявного) задания поверхности?8. Что называется нормальной прямой к поверхности вданной ее точке? Как записывается ее уравнение?9. Что называется первой квадратичной формой поверхности? Как выражаются коэффициенты первой квадратичной формы поверхности через касательные векторык координатным линиям?10. Как выражается дискриминант первой квадратичной формы поверхности через векторное произведение векторов, касательных к координатным линиям?11.
Будет ли первая квадратичная форма поверхностиположительно определенной в любой точке поверхности? вее неособой точке?12. Как с помощью первой квадратичной формы поверхности выражается длина кривой на поверхности?13. Что называется углом между кривыми в точке ихпересечения?1414. Как с помощью первой квадратичной формы поверхности выражается угол между кривыми на поверхности?15. Что называется площадью поверхности? Как онавыражается с помощью интеграла и дискриминанта первойквадратичной формы поверхности?16.
Как выражается площадь поверхности, заданнойявным представлением?17. Что называется ориентацией гладкой поверхности?18. Сколько ориентаций существует у гладкой параметрически заданной поверхности?19. Какая система ориентированных замкнутых контуров, ограничивающих гладкие части кусочно гладкой поверхности, называется когерентно ориентированной?20. Что называется кусочно гладкой поверхностью?21. Какая ориентация контура, ограничивающего гладкую поверхность, называется согласованно ориентированной с единичной непрерывной нормалью на поверхности?22. Как определяется ориентация кусочно гладкой поверхности?23.
Что такое внешняя (внутренняя) нормаль замкнутой поверхности?24. Что такое лист Мебиуса, и почему он является неориентируемой поверхностью?25. Что такое ”верхняя” и ”нижняя” стороны явно заданной гладкой поверхности?Лекция 9. Поверхностные интегралы1. Что такое поверхностный интеграл первого рода погладкой поверхности?2. Что такое поверхностный интеграл второго рода погладкой поверхности? Как он записывается в векторномвиде? в координатном виде?153.
Как изменяется значение поверхностного интегралавторого рода при изменении ориентации поверхности?4. Как записывается поверхностный интеграл первогорода для поверхности, заданной явным представлением?5. Как записывается поверхностный интеграл второгорода через интеграл по плоской области изменения параметров поверхности?6. Как записывается поверхностный интеграл второгорода по верхней стороне поверхности, заданной явным образом?7. Как определяются поверхностные интегралы по кусочно гладким поверхностям?Лекция 10. Скалярные и векторные поля1.
Что называется скалярным полем? векторным полем?2. Что называется градиентом функции?3. Как выражается производная по направлению функции с помощью ее градиента?4. Почему градиент функции не зависит от выбора прямоугольной системы декартовых координат?5. Как направлен градиент функции относительно ееповерхности уровня?6.
Какая функция называется потенциальной функциейвекторного поля?7. Если у векторного поля существует потенциальнаяфункция, то единственна ли она?8. Что называется дивергенцией векторного поля?9. Что называется вихрем (ротором) векторного поля?10. Напишите координаты вихря векторного поля, заданного на плоской области.11.
Что называется циркуляцией векторного поля?12. Что называется потоком векторного поля через поверхность?1613. Как записывается формула Гаусса–Остроградскогов векторной форме? в координатной форме?14. Для каких областей справедлива теорема Гаусса–Остроградского?15. Как с помощью предельного соотношения определяется дивергенция векторного поля посредством его потокачерез замкнутую поверхность? Как из этого соотношенияследует инвариантность дивергенции относительно выборапрямоугольных декартовых координат?16.
Как выражается объем области через поверхностных интеграл по ее границе?Лекция 11.17. Как записывается формула Стокса в векторнойформе? в координатной форме?18. Для каких векторных полей и поверхностей справедлива теорема Стокса?19. Чему равен поток ротора непрерывно дифференцируемого в некоторой области векторного поля через сферу,лежащую в указанной области?20. Как с помощью предельного соотношения определяется проекция вихря векторного поля посредством его циркуляций в окрестности данной точки? Как из этого соотношения следует инвариантность с точностью до противоположного направления вихря векторного поля относительновыбора системы прямоугольных декартовых координат иизменение направления вихря при изменении ориентациисистемы координат?Соленоидальные векторные поля1.
Как определяется соленоидальность векторного поляв терминах его потоков через замкнутые поверхности?172. Как формулируется критерий соленоидальности векторного поля в терминах его дивергенции?3. Будет ли поле вихрей некоторого векторного полясоленоидальным?Лекция 12. Потенциальные векторные поля1. ZКак связана независимость криволинейного интеграла~ad~r от пути интегрирования, соединяющего две^ABпроизвольновыбранные точки A и B, со значениями интеZгралов ~ad~r по замкнутым контурам Γ?Γ2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
