Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 3 семестра - Кудрявцев (1187974)
Текст из файла
Московский физико-технический институтРЕКОМЕНДУЕМЫЕ ВОПРОСЫпо курсуМАТЕМАТИЧЕСКОГОАНАЛИЗА(II курс, I семестр)Москва 2002Составитель Л.Д. КудрявцевУДК 517Рекомендуемые вопросы по курсу математического анализа (II курс, I семестр). Учебное пособие / МФТИ. М.,2002, 22 с.c Московский физико-технический институт, 2002Лекция 1. Мера множеств в n-мерномпространстве1.
Что называется разбиением Tk ранга k = 0,1,2,... nмерного арифметического евклидова пространства Rn ?2. Как определяется объем n-мерного куба?3. Как определяется объем множества, являющегосяобъединением кубов данного ранга?4. Как определяются нижняя и верхняя меры Жорданапроизвольного множества в Rn ?5. Как определяется измеримое по Жордану множествои его мера?6. Будет ли измеримым по Жордану множество, верхняя мера Жордана которого равна нулю?7. Привести пример неизмеримого по Жордану множества.8. Почему нижняя (верхняя) мера Жордана любогомножества неотрицательна?9. Почему нижняя мера множества, имеющего внутреннюю точку, положительна?10.
Будут ли нижняя и верхняя меры Жордана ограниченного множества конечны?11. Может ли неограниченное множество иметь конечную верхнюю меру Жордана?12. Будет ли измеримое по Жордану множество ограничено?13. В чем состоит монотонность (нижней, верхней)меры Жордана?14. Будет ли подмножество множества жордановоймеры ноль измеримым по Жордану? Если да, то чему будет равна его мера?15. Если жорданова мера множества равна нулю, будетли жорданова мера его замыкания также равна нулю?16.
В чем состоит полуаддитивность верхней мерыЖордана?317. Привести пример таких непересекающихся множеств A ⊂ Rn и B ⊂ Rn , для которых µ∗ (A ∪ B) 6= µ∗ A ++ µ∗ B.18. Привести пример таких непересекающихся множеств A ⊂ Rn и B ⊂ Rn , для которых µ∗ (A ∪ B) 6= µ∗ A ++ µ∗ B.19. Доказать, что для непересекающихся множеств A ⊂⊂ Rn и B ⊂ Rn имеет место неравенство µ∗ A+µ∗ B 6 µ∗ (A∪∪ B).20∗ .
Доказать, что если A и B открытые подмножествапространства Rn , тоµ∗ (A ∪ B) 6 µ∗ A + µ∗ B.21. Показать, что объединение счетной совокупностимножеств жордановой меры ноль не обязательно имеетмеру ноль.22. Показать, что для любого ограниченного множества E справедливо включение∂E ⊂ σk (E) ⊂ Sk (∂E),гдеσk (E) = ∪QnQn ⊂Sk (E),Qn 6⊂sk (E) ,Sk (E) = ∪QnQn ∩E6=∅ ,sk (E) = ∪QnQn ⊂E , Qn ∈ Tk , k = 0,1,....23. Как формулируется критерий измеримости поЖордану множества в терминах меры его границы?24. Какими включениями связаны границы объединения, пересечения и разности двух множеств с границамисамих этих множеств?25.
Будут ли измеримы по Жордану объединение ипересечение конечного числа измеримых по Жордану множеств, а также разность двух таких множеств?26. Будет ли всегда объединение счетной совокупности измеримых по Жордану множеств также измеримымпо Жордану множеством?427. Влияет ли на измеримость по Жордану множества добавление к нему или вычитание из него множестважордановой меры ноль? Изменяют ли указанные операциимеру измеримого по Жордану множества?28.
В чем состоит конечная аддитивность меры Жордана?29. Привести пример множества, замыкание которогоизмеримо, а само оно неизмеримо по Жордану.30. Будет ли измеримым по Жордану замыкание измеримого по Жордану множества?31. Будет ли измеримым по Жордану произведение E ×× [a,b] ⊂ Rn+1 измеримого по Жордану множества E ⊂ Rnна отрезок [a,b]?32. При каких условиях последовательности мер измеримых множеств, содержащих и содержащихся в измеримом множестве, имеют своим пределом его меру?33. Изменяется ли мера множества при параллельномпереносе?Лекция 2. Множества жордановой меры ноль1. Чему равна мера Жордана графика непрерывной накомпакте функции?2.
Чему равна (n + 1)-мерная мера Жордана произведения множества n-мерной жордановой меры ноль на отрезок?3. Существуют ли в Rn непрерывные кривые, имеющиеположительную n-мерную меру Жордана?4. Чему равна площадь (т.е. двумерная мера Жордана)плоской спрямляемой кривой?5. Будет ли криволинейная трапеция, соответствующаянепрерывной на отрезке функции, измеримым на плоскостипо Жордану множеством?56. Будет ли подмножество пространстве Rn , границакоторого является объединением конечного числа графиковнепрерывных на компактах функций, измеримым по Жордану?7.
Будет ли n-мерный шар (эллипсоид, параллелепипед) измеримым по Жордану множеством?Определение кратного интеграла1. Что называется разбиением множества на измеримыепо Жордану множества?2. Что называется мелкостью разбиения?3. Что означает, что одно разбиение множества вписанов другое разбиение этого множества?4. Чему равна сумма мер элементов разбиения данногомножества?5.
Что называется интегральной суммой Римана заданной функции?6. Как определяется предел интегральных сумм Риманав терминах пределов последовательностей при стремлениимелкости соответствующих разбиений к нулю?7. Как определяется предел интегральных сумм Риманана ε − δ языке, когда мелкость соответствующих разбиенийстремится к нулю?8. Как определяется интеграл Римана для функции,определенной на измеримом по Жордану множестве? Совпадает ли в случае, когда это множество является отрезком, данное здесь определение с определением интегралаРимана по отрезку, данным раньше?9. Чему равен предел сумм мер элементов разбиенияданного измеримого по Жордану множества, пересекающихся с заданным множеством меры ноль при условии, чтомелкости рассматриваемых разбиений стремятся к нулю?Как определяется этот предел?10.
Влияют ли на существование и величину пределаинтегральных сумм Римана ограниченной на измеримом6множестве функции слагаемые этих сумм, соответствующие элементам разбиений, пересекающихся с некоторыммножеством меры нуль?11. Если ограниченная функция интегрируема на замыкании некоторого измеримого по Жордану множества, тобудут ли суммы слагаемых интегральных сумм Римана,которые соответствуют элементам разбиений, не пересекающимся с границей множества, стремиться к интегралу отрассматриваемой функции, когда мелкости разбиений стремятся к нулю?Лекция 3.
Существование интеграла1. Чему равен интеграл от функции, определенной намножестве жордановой меры нуль?2. Может ли быть неограниченная функция интегрируемой по Риману?3. Привести пример функции неограниченной, но интегрируемой по Риману на множестве положительной жордановой меры.4. Может ли существовать функция, интегрируемая поРиману, на измеримом по Жордану множестве, у которогосуществуют такие сколь угодно мелкие разбиения, что рассматриваемая функция неограничена на объединении всехэлементов положительной меры каждого из указанных разбиений?5. Может ли существовать неограниченная функция,интегрируемая по Риману на измеримом по Жордану открытом множестве? на замыкании измеримого по Жордану открытого множества?6. Может ли существовать функция, интегрируемая поРиману на некотором измеримом по Жордану множествеE (положительной меры), неограниченная на дополнении вE к любому подмножеству жордановой меры нуль?77.Привести пример функцииf , дляZZ которой существуют интегралы Риманаf (x)dE1 иf (x)dE2 , но неZсуществует интеграл f (x)d(E1 ∪ E2 ).8.
Как определяются нижняя и верхняя суммы Дарбузаданной функции при данном разбиении множества ееопределения?9. Как определяются пределы нижних и верхних суммДарбу, когда мелкости соответствующих разбиений стремятся к нулю?10. Как формулируется критерий интегрируемостифункций по Риману в терминах пределов верхних и нижнихсумм Дарбу?11. Как формулируется критерий интегрируемостифункций по Риману в терминах колебаний функции на элементах соответствующих разбиений?12. Будет ли интегрируемой по Риману функция, непрерывная на измеримом по Жордану компакте?13. Будет ли функция интегрируема по Риману на некотором измеримом по Жордану множестве, если она непрерывно продолжаема на его замыкание?Лекция 4. Свойства интеграла1. В чем состоит линейность интеграла?2. В чем состоит аддитивность по множествам интеграла от ограниченных функций?3.
В чем состоит правило интегрирования неравенств?4. Будет ли интегрируемо произведение интегрируемых функций?5. Как оценивается абсолютная величина интегралачерез интеграл от абсолютной величины подынтегральнойфункции?86. Может ли равняться нулю интеграл от неотрицательной функции по измеримой по Жордану области (илипо замыканию измеримой по Жордану области), если в некоторой точке эта функция положительна и непрерывна?7.
В чем состоит полная аддитивность интеграла пооткрытым измеримым множествам?8. В чем состоит интегральная теорема о среднем дляпроизведения интегрируемых по Риману функций, одна изкоторых знакопостоянна? Как формулируется эта теоремас помощью “среднего значения”, если множество, по которому производится интегрирование, является областью?Лекция 5. Сведение кратного интегралак повторному1.
Что называется интегралом, зависящим от параметра?2. Что называется повторным интегралом?3. Будет ли функцияZ ψ(x)F (x) =f (x,y)dy, a 6 x 6 b,ϕ(x)непрерывна на отрезке [a,b], если функция f (x,y) непрерывна на множествеE = {(x,y) : a 6 x 6 b, ϕ(x) 6 y 6 ψ(x)},а функции ϕ и ψ непрерывны на отрезке [a,b]?4. Будет ли в предположениях вопроса 3 справедливаформулаZZZ b Z ψ(x)f (x,y)dxdy =dxf (x,y)dy?Eaϕ(x)5.
Указать достаточные условия, при которых справедлива формулаZ b Z ψ(x)Z d Z β(y)dxf (x,y)dy =dyf (x,y)dx.aϕ(x)cα(y)96. Как выглядит формула сведения трехкратного интеграла к трем последовательным однократным? к двум последовательным интегралам, из которых первый однократный, а второй двукратный? первый двукратный, а второйоднократный?7. Написать формулу сведения n-кратного интеграла кпоследовательным однократным.8.
Написать формулу, выражающую меру Жордана (nмерный объем) множества E ⊂ Rn через меру Жордана его(n − 1)-мерных сечений, параллельных одной из координатных гиперплоскостей.9. Чему равна мера n-мерного шара?10. Зависит ли мера множества от выбора системы координат? Почему?Лекция 6. Замена переменных в кратноминтеграле1. Как оценивается при линейном отображении расстояние между точками образа через расстояние их прообразов?2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
