Рекомендуемые вопросы по курсу Матана 3 семестра - Кудрявцев (1187974), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ZКак связана независимость криволинейного интеграла~ad~r от пути интегрирования, соединяющего две^ABпроизвольно выбранные точки A и B, с существованиемпотенциальной функции у векторного поля ~a?3. Как формулируется критерий потенциальности векторного поля с помощью его циркуляции?Z4. Как выражается интеграл~ad~r через потенциаль^ABную функцию векторного поля ~a?5. Какая область (плоская, пространственная) называется односвязной?6.
Будет ли выпуклая область односвязной?7. Будет ли плоская область с выколотой точкой односвязной?8. Приведите примеры односвязных и неодносвязныхпространственных областей.9. Будет ли справедливо равенство rot ~a = 0 во всехточках области, в которой задано непрерывно дифференцируемое потенциальное векторное поле?1810. Будет ли потенциальным непрерывно дифференцируемое векторное поле, у которого его вихрь равен нулю вовсех точках области, в которой это поле задано?11. Как формулируется критерий потенциальностивекторного поля в односвязной области в терминах вихряэтого поля?12. Приведите пример непрерывно дифференцируемоговекторного поля, показывающий, что условие существования потенциальной функции поля не равносильно равенству нулю во всех точках вихря этого поля.13.
Будет ли поле градиентов некоторой функции потенциальным?~r14. Будет ли поле ~a = 3 соленоидальным? потенци|~r|альным? Чему равен его поток через сферу x2 +y 2 +z 2 = 1?через сферу x2 + y 2 + (z − 2)2 = 1?~r15. Будет ли поле ~a =соленоидальным? потенци|~r|альным?Лекция 13.
Формула Тейлора для функциймногих переменных1. Как записывается формула Тейлора для функцийнескольких переменных с остаточным членом в виде Лагранжа? При каких предположениях она справедлива?2. Как записывается формула Тейлора для функцийнескольких переменных с остаточным членом в виде Пеано?При каких предположениях она справедлива?3. Как записывается формула конечных приращенийЛагранжа для функций многих переменных? При какихпредположениях она справедлива?4.
Единственно ли представление функции f (x), x == (x1 ,x2 ,...,xn ) в окрестности нуля 0 = (0,0,...,0) в виде19суммы многочлена и остаточного члена более высокого порядка малости при x → 0, чем старшие члены многочлена?5. Как записывается ряд Тейлора для функций многихпеременных?6. Разложить в ряд Тейлора функцию ex+y .Локальный экстремум функций многихпеременных1. Какая точка называется точкой (строгого) локального максимума функции? точкой (строгого) локальногоминимума?2. Как в терминах частных производных формулируется необходимое условие локального экстремума функциимногих переменных?3.
Что называется стационарной точкой функции?4. Как формулируются достаточные условия строгоголокального максимума (минимума) в данной точке в терминах знакоопределенности второго дифференциала? Какв тех же терминах формулируется условие, достаточное дляотсутствия локального экстремума в данной точке?5. Как формулируется критерий Сильвестра для положительной (отрицательной) определенности квадратичнойформы?6. Как формулируются достаточные условия строгогоэкстремума в терминах определителей, элементами которых являются частные производные второго порядка дляфункции n переменных? для функции двух переменных?Лекция 14.
Условный экстремум1. Какая точка называется точкой условного (относительного) локального экстремума функции относительнозаданных уравнений связи?202. При каких предположениях и в каком смысле задачао точках условного локального экстремума эквивалентназадаче о точках обычного локального экстремума?3. Что можно сказать о линейной зависимости градиента функции в точке ее локального экстремума и градиентов функций, задающих уравнения связи в той же точке?Что можно добавить при дополнительном предположениио линейной независимости градиентов функций, задающихуравнение связи?4. Какая функция называется функцией Лагранжа,соответствующей данной задаче об условном экстремумефункции?5. Будет ли точка условного локального экстремумастационарной точкой функции Лагранжа, соответствующей данной задаче?6.
Будет ли стационарная точка функции Лагранжаточкой условного локального экстремума, если в ней второй дифференциал функции Лагранжа является знакоопределенной квадратичной формой при выполнении уравненийсвязи?21СОДЕРЖАНИЕЛекция 1. Мера множеств в n-мерном пространстве .Лекция 2. Множества жордановой меры ноль . . . . .Определение кратного интеграла . . .Лекция 3. Существование интеграла . . .
. . . . . . .Лекция 4. Свойства интеграла . . . . . . . . . . . . .Лекция 5. Сведение кратного интеграла к повторномуЛекция 6. Замена переменных в кратном интеграле .Лекция 7. Криволинейные интегралы . . . . . . . . .Формула Грина и ее следствия . . . .Лекция 8. Элементы теории поверхностей . . . . . .
.Лекция 9. Поверхностные интегралы . . . . . . . . . .Лекция 10. Скалярные и векторные поля . . . . . . .Лекция 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Соленоидальные векторные поля . . .Лекция 12. Потенциальные векторные поля . . . . . .Лекция 13. Формула Тейлора для функций многихпеременных . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Локальный экстремум функциймногих переменных . . . . . . . . . . .Лекция 14. Условный экстремум . . . . . . . . . . . .22356789101213141516171718192020.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
