МУ - Элементы векторного анализа для 2-ого курса - Коваленко (1187972)
Текст из файла
Министерство образования Российской ФедерацииМосковский физико-технический институтКафедра высшей математикиМетодические указанияпо математическому анализудля студентов второго курсаЭЛЕМЕНТЫВЕКТОРНОГО АНАЛИЗАВторое изданиеМосква 2001Составитель: Л.И.КоваленкоУДК 517Методические указания по математическомуанализу для студентов второго курса. Элементывекторного анализа. МФТИ, 2001.Излагаются основные понятия векторного анализа,формулыОстроградского–Гаусса и Стокса, приемы набла-техники. Доказываютсяпервая и вторая формулы Грина в пространстве. Все демонстрируется назадачах, решение которых приводится.
Система координат предполагаетсядекартовой прямоугольной, причем правой.В настоящее издание добавлено несколько задач, требующих уменияработать с терминами поля как в векторной, так и в координатной форме.Внесены другие изменения.Автор выражает глубокую благодарность чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцеву, проф.
М.И. Шабунину, чл.-корр. РАО Г.Н. Яковлеву, чьи отличныелекционные курсы математического анализа послужили основой для написания данного учебного пособия.Автор благодарит О.А.Пыркову и Д.А.Терешина за предложения и замечания, которые были учтены при подготовке этого издания.ОГЛАВЛЕНИЕ§ 1. Скалярные и векторные поля. Производная по направлению и градиент скалярного поля .
. . . . . . . . .§ 2. Дивергенция и поток векторного поля. ФормулаОстроградского–Гаусса в терминах поля . . . . . . .§ 3. Соленоидальные векторные поля . . . . . . . . . . . .§ 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса в терминахполя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Механический смысл ротора . . . . . . . . . . . . . . .§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона . . .Правила работы с ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Градиент одного вектора по другому . .
. . . . . . . .§ 7. Повторное применение оператора Гамильтона . . . .Формулы Грина в R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47141820202627293234364Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа§ 1. Скалярные и векторные поля.Производная по направлению иградиент скалярного поляОпределение 1. Говорят, что в области G задано скалярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ Gпоставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или вектор a(M )).Поле температуры внутри некоторого нагретого тела— это скалярное поле. Поле гравитационное — векторноеполе.Если дано некоторое скалярное или векторное поле вобласти G ⊂ R3 , то, введя систему координат, можнопредставить скалярное поле в виде некоторой функцииF (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a == (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).Пусть в области G ⊂ R3 задано скалярное поле f (M ).Проведем луч через точку M0 ∈ G в направлении вектора l, |l| = 1.Определение 2.
Производной скалярного поля f вточке M0 по направлению l называется предел→∂ff (M ) − f (M0 )−−−−(M0 ) = lim, M0 M = tl, t > 0, (1)t→+0∂ltесли он существует.Введя систему координат, представим заданное скалярное поле в виде функции f (x, y, z).Величину, задаваемую формулой (1), называют производной функции f (x, y, z) по направлению l.Утверждение 1. Если функция f (x, y, z) в точке M0дифференцируема, то она в этой точке имеет производную по любому направлению l и эта производная находится по формуле§ 1.
Скалярные и векторные поля5∂f∂f∂f∂f(M0 ) =(M0 ) cos α +(M0 ) cos β + (M0 ) cos γ, (2)∂l∂x∂y∂zгде cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы вектора l.Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в области G.∂f ∂f ∂fОпределение 3. Вектор ∂x , ∂y , ∂z называетсяградиентом скалярного поля f , или градиентом функцииf (x, y, z), и обозначается grad f .Операцию перехода от скалярного поля f к grad f обозначают, следуя Гамильтону, символом ∇ (читается «набла») и называют оператором «набла», или операторомГамильтона. Таким образом, по определению∇f = grad f.(3)Формулу (2) можно переписать в следующем виде, учитывая, что |l| = 1:∂f(M0 ) = (l, ∇f ) = |∇f | cos ϕ,(4)∂lгде ϕ — угол, образованный l и grad f в точке M0 . Отсюдаследует, что если | grad f (M0 )| 6= 0, то в точке M0 производная функции f по направлению достигает наибольшегозначения только по направлению grad f (cos ϕ = 1), приэтом∂fmax(M0 ) = |∇f (M0 )|.∂lИтак, в каждой точке, в которой | grad f | не равен нулю,направление grad f — это направление наибольшего ростаf (оно единственно), а длина его равна скорости возрастания f по этому направлению.Если | grad f | = 0 в данной точке, то в этой точке производные функции f по всем направлениям равны нулю.Таким образом, установлено, что градиент скалярногополя зависит лишь от самого поля, но не от выбора системыкоординат.Пусть |∇f (M0 )| 6= 0.
Пусть f (x, y, z) = C — поверх-6Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаность уровня в точке M0 . Уравнение касательной плоскости в точке M0 к этой поверхности имеет вид∂f∂f∂f(M0 )(x − x0 ) +(M0 )(y − y0 ) +(M0 )(z − z0 ) = 0. (5)∂x∂y∂zИз этого равенства следует, что если | grad f | в точке неравен нулю, то grad f направлен по нормали к поверхностиуровня, проходящей через эту точку.Все изложенное переносится на случай плоского скалярного поля. Соответственно в формуле (2) будет два слагаемых, в уравнении (5) — тоже.
Это — уравнение касательной к линии уровня в точке M0 .Задача 1. Для функции Φ =x2y2z22 + 2 + 2 найти произabcводную по направлению внутренней нормали к цилиндрической поверхности x2 + z 2 = a2 + c2 в точке M0 (a, b, c).Р е ш е н и е. Пусть f (x, y, z) = x2 + z 2 . Данная в условии поверхность — это поверхность уровня для f , проходящая через точку M0 .
Имеем∇f (M0 ) = (2a, 0, 2c).Функция f в точке M0 растет быстрее всего по направлению grad f , значит, по направлению нормали к заданнойповерхности. Исходя из вида функции f , заключаем, чтоэто — направление внешней нормали. Следовательно, единичный вектор внутренней нормали в точке M0 будет −2a−2c−a−cl= √, 0, √= √, 0, √.4a2 + 4c24a2 + 4c2a2 + c2a2 + c22x 2y 2zИмеем ∇Φ =2 , 2 , 2 .
По формуле (4) получаемabc∂Φa2ac2c4(M0 ) = − √· 2 −√· 2 = −√.22222∂la +c aa +c ca + c2О т в е т.−√4.+ c2a2Задача 2. Пусть a — постоянный вектор, |a| 6= 0, r —§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 7радиус-вектор произвольной точки M ∈ R3 , проведенныйиз фиксированной точки O. Найти grad |[r, a]|3 .Р е ш е н и е. Введем декартову прямоугольную правуюaсистему координат 0, i, j, k, k = |a| . Тогда имеемa = (0, 0, |a|), r = xi + yj + zk,i j k [r, a] = x y z = |a|(yi − xj), 0 0 |a| |[r, a]| = |a|(x2 + y 2 )1/2 ,|[r, a]|3 = |a|3 (x2 + y 2 )3/2 .Далее находим (см.
определение 3)grad |[r, a]|3 = 3|a|3 (x2 + y 2 )1/2 (xi + yj) = 3|a|2 |[r, a]|(r − zk).aА так как z = (r, k) = r, |a| , то получим aa32grad |[r, a]| = 3|a| |[r, a]| r − r,=|a| |a|= 3 |[r, a]| (r (a, a) − a (a, r)) .Используя формулу для двойного векторного произведения[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B), окончательно получаемgrad |[r, a]|3 = 3 |[r, a]| [a, [r, a]] .О т в е т.3 |[r, a]| [a, [r, a]].§ 2. Дивергенция и поток векторногополя.
Формула Остроградского–Гауссав терминах поляОпределение 4. Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами.Дивергенцией векторного поля a называется скалярнаяфункция8Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа∂P∂Q ∂R++.∂x∂y∂zЗадача 3. а) Вычислить div(grad f (r)), где r =p=x2 + y 2 + z 2 , f (r) — дважды непрерывно дифференцируемая функция.
б) В каком случае div grad f (r) = 0?Р е ш е н и е. а) Вычислим grad f (r) = (P, Q, R). Имеем∂f (r)xrP == f 0 (r) · ⇒ grad f = f 0 (r) · ,(6)∂xrrгде r — радиус-вектор точки (x, y, z).div a =∂PДля вычисления div grad f найдем вначале ∂x . Имеем 00∂Pf0f02 f=+x− 3 .∂xrr2rЗаменяя в полученном выражении x последовательно на∂Qy, потом на z, получаем аналогичные формулы для ∂y ,∂R⇒∂z∂P∂Q ∂Rf0++= f 00 + 2 .∂x∂y∂zrб) Решаем дифференциальное уравнениеdiv grad f (r) =f 00 +2f0ududrC0= 0, f 0 = u, u0 +2 = 0,= −2 , f 0 = u = 2 .rrurrC1f=+ C2 , Ci = const, i = 0, 1, 2;r(7)C1div grad+ C2 = 0.rf0CО т в е т.а) f 00 + 2 r ; б) f = r1 + C2 , Ci — любыепостоянные, i = 1, 2.Определение 5. Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверхность, лежащая в области G, ν — единичный вектор нормали к поверхности, задающей ее ориентацию.
Интеграл§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 9ZZ(a, ν) dsSназывается потоком векторного поля a через поверхностьS и обозначаетсяZZa ds.SZZ Имеем ZZZZads = (a, ν) ds = (P cos α+Q cos β +R cos γ) ds, (8)SSSгде cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормалиν к поверхности S, задающей ее ориентацию.Напомним, что система координат правая.Пусть S — гладкая поверхность, имеющая явное представление z = f (x, y), (x, y) ∈ D, D — область на плоскости переменных x, y. Тогда поверхность S имеет векторноепредставление r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D.Отметим, что угол между вектором[rx , ry ]1n==q(−fx , −fy , 1)|[rx , ry ]|1 + f2 + f2xyи вектором k = (0, 0, 1) острый.Если вектор ν (см.
(8)) совпадает с вектором n, то вычисление интегралаZZR cos γ dsSв силу того, что1cos γ = q1+fx2,+fy2ds =q1 + fx2 + fy2 dx dy,сводится к вычислению такого двойного интеграла по области D:10Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаZZZZR cos γ ds =SR(x, y, f (x, y)) dx dy.DАналогичнополучаютсяRRRR формулы для вычисления интегралов S P cos α ds и S Q cos β ds (см. (8)) в случае явного представления поверхности S в виде x = ϕ(y, z) — дляпервого интеграла и в виде y = ψ(x, z) — для второго.Задача 4. Вычислить поток векторного поляz~ν3S0S1S22Рис. 1a = (z 2 − x, 1, y 5 )через ориентированную внутреннейyнормалью поверхность S: y 2 = 2x,отсеченную плоскостями: x = 2, z == 0, z = 3.Р е ш е н и е.Согласно форx муле (8):ZZZZ 2a ds =(z − x) cos α+SS+ cos β + y 5 cos γ ds,где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внутренней нормали к S.
ИмеемZZZZZZcos β ds =cos β ds + cos β ds,(9)SS1S2где (см. рис. 1) S1 , S2 — части поверхности S, расположенные соответственно при y>0 и y60, S = S1 ∪ S2 ; cos β > 0на S2 и отличается лишь знакомz3от cos β в симметричных относительно плоскости (x, z) точках наDповерхности S1 . Поэтому из (9)следует, чтоy-202ZZРис.
2cos β ds = 0.S§ 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 11Так как cos γ = 0 на S, тоZZy 5 cos γ ds = 0.SУгол α между векторами ν и i = (1, 0, 0) острый, поэтомуZZ ZZy2dy dz,(z 2 − x) cos α ds =z2 −2SDгде D — проекция поверхности S на плоскость (y, z) (см.рис. 2). ИмеемZZ Z3Z2Z3 Z2y222dy dz = 2 z dz dy − dz y 2 dy =z −20000D4 3 3 8 3= z − z = 36 − 8 = 28.3 0 3 0О т в е т. 28.Используя понятия дивергенции и потока векторногополя, можно формулу Остроградского–Гаусса записать ввиде равенстваZZZZZdiv a dx dy dz =a ds,(10)DΣт.е. объемный интеграл по области D от дивергенции векторного поля a равен потоку этого поля через поверхностьΣ, ограничивающую область Dzи ориентированную внешней нор1~n0малью.Задача 5. Вычислить потокS0векторного поля a = (xz, 0, 0) через ориентированную в направле0нии внешней нормали наклонную1 yгрань S0 поверхности тетраэдраV , ограниченного плоскостями:1xРис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
