МУ - Элементы векторного анализа для 2-ого курса - Коваленко (1187972), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти циркуляцию векzторного поля a = yi + zj + xk по окружy 2ностиx + y 2 + z 2 = R2 ,C:x+y+z =0~nсзаданнымнаправлением движенияx0CSпротив хода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осиРис. 10Ox (см. рис. 10).§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса21Р е ш е н и е.
По формуле Стокса (16) имеемZZZZZa dr =rot a ds = (rot a, n) ds,CSSгде S — круг на плоскости x + y + z = 0, границей кото111рого служит окружность C; n = √ , √ , √— еди333ничный вектор нормали к S, направление которой согласуется с направлением обхода окружности C по правилуправого винта. Вычислим rot a. ijk ∂∂∂ = −i − j − k = (−1; −1; −1),rot a = ∂y ∂z ∂xyzx√111(rot a, n) = − √ − √ − √ = − 3 ⇒333ZZ√ ZZ√(rot a, n) ds = − 3 ds = −πR2 3.SS√О т в е т.
−πR2 3.Определение 11. Область G ⊂ R3 называется поверхностно односвязной, если, каков бы ни был простойкусочно-гладкий замкнутый контур γ ⊂ G, существуеткусочно-гладкая ориентируемая поверхность, натянутая наγ и лежащая в G.Примером области, не являющейся поверхностно односвязной, служит тор.Утверждение 5. Для того чтобы векторное поле a == (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами в области G было потенциальным, необходимо,а в случае поверхностно односвязной области и достаточно, чтобы поле было безвихревым:∂P∂Q∂Q∂R∂R∂Prot a = 0, или=,=,=∂y∂x∂z∂y∂x∂zв области G.22Л.И.
Коваленко. Элементы векторного анализаЗадача 9. Убедившись в потенциальности поляza = (y + z)i + (x + z 2 )j + (x + 2yz)k,ACAB0yBxРис. 11вычислить работу поля вдоль дугиCAB окружности 2x + y 2 + z 2 = R2 ,x=yв первом октанте в направлении от точки A(0, 0, R) к точкеR √R√,,022B(см. рис. 11).Вычислимrot a.
ijk ∂∂ ∂rot a = ∂x∂y∂z = 0. y + z x + z 2 x + 2yz Р е ш е н и е.Поле a потенциально в R3 (по утверждению 5). Тогда(по утверждению 4)ZZZa dr =a dr +a dr,CABAOOBAO, OB — прямолинейные отрезки (см. рис. 11).Имеем на основании формулы (13)ZZa dr = (a, −k) dl = 0 (x = 0, y = 0 на AO);AOAOZZa dr =OBZ(a, τ ) dl =OBZa dr =OBR22BR2⇒y dx + x dy = (xy) =2O.CABО т в е т.R2.2Замечание к задаче 9 (второй способ решения). Так§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса23как поле a потенциально, то (см. утверждение 4)(y + z) dx + (x + z 2 ) dy + (x + 2yz) dz = du,u — потенциал поля a.∂u∂u∂uИмеем: ∂x = y + z, ∂y = x + z 2 , ∂z = x + 2yz.Такие частные производные имеет функцияu = xy + xz + yz 2 .R2Ra dr = u(B) − u(A) = 2 .Задача 10. Пусть в области G ⊂ R3 заданы скалярноеполе ϕ и векторное a = (P, Q, R); ϕ, P , Q, R — непрерывнодифференцируемые функции.
Вектор b в точке M (x, y, z) ∈∈ G имеет компоненты:∂ϕ∂R∂ϕ∂Qbx = R+ϕ−Q−ϕ,∂y∂y∂z∂z∂ϕ∂P∂ϕ∂Rby = P+ϕ−R−ϕ,∂z∂z∂x∂x∂ϕ∂Q∂ϕ∂Pbz = Q+ϕ−P−ϕ.∂x∂x∂y∂yИспользуя термины поля, найти выражение для b черезa и ϕ в векторной форме.Р е ш е н и е. На основании (14) заключаем, что слагаемые ∂R ∂Q∂P∂R∂Q ∂Pϕ−,ϕ−,ϕ−,∂y∂z∂z∂x∂x∂yвходящие в состав bx , by , bz , являются компонентами вектора ϕ rot a.
Остальные слагаемые∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕR−Q,P−R,Q−P∂y∂z∂z∂x∂x∂yявляются компонентами векторного произведения ijk ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ [grad ϕ, a] = . ∂x ∂y ∂z PQR ТогдаCAB24Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаСледовательно, b = ϕ rot a+[grad ϕ, a]. Нетрудно получитьдругое выражение для b.
Имеем∂(ϕR) ∂(ϕQ)bx =−,∂y∂z∂(ϕP ) ∂(ϕR)by =−,∂z∂x∂(ϕQ) ∂(ϕP )bz =−,∂x∂yт.е. b = rot(ϕa).О т в е т. b = rot(ϕa) = ϕ rot a + [grad ϕ, a].При решении задачи 10 получено выражение дляrot(ϕa). Об этом см. еще задачу 12в).Утверждение 6. Пусть в области G ⊂ R3 определено векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами; M0 — фиксированная точка,M0 ∈ G, ν — произzвольный фиксирован~νный единичный век0yтор; π — плоскость,πM0перпендикулярная векxγεтору ν и проходящаячерез M0 ; Kε — круг вРис. 12плоскости π радиуса εс центром в точке M0 , Kε ⊂ G, γε — граница круга Kε .Пусть окружность γε (см. рис.
12) ориентирована поотношению к ν по правилу правого винта (для правойсистемы координат). Тогда в точке M0Rγε a dr(rot a, ν) = lim,(17)ε→+0σεгде σε — площадь круга Kε .По формуле (17) выражаются проекции rot a на любые взаимно ортогональные единичные векторы ν 1 , ν 2 , ν 3 .Этими проекциями rot a однозначно определяется.§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона25Величины, входящие в правую часть равенства (17), независят от выбора системы координат одной и той же ориентации. Однако при замене правой системы координат налевую и неизменном ν направление обхода γε изменяетсяна противоположное, что влечет изменение знака в правойчасти (17), а значит, и rot a.Таким образом, rot a инвариантен относительно преобразований прямоугольных координат, сохраняющих ихориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (таким называют вектор в ориентированном пространстве, который при изменении ориентации пространства преобразуется в противоположный вектор).§ 6.
Однократное применение оператораГамильтонаОператор Гамильтона ∇ (3) удобно трактовать как сим∂∂∂волический вектор с компонентами ∂x , ∂y , ∂z , а применение его к скалярной функции — как умножение скаляра наэтот вектор. С помощью ∇ удобно записывать для a == (P, Q, R):∂∂∂div a =P+Q+R = (∇, a),∂x∂y∂z∂∂∂∂rot a =R−Q i+P−R j+∂y∂z∂z∂x∂∂+Q−P k = [∇, a],(18)∂x∂yт.е. дивергенция векторного поля a есть скалярное произведение символического вектора ∇ и вектора a, а роторвекторного поля a есть векторное произведение вектора ∇и вектора a.26Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаПравила работы с ∇1.
Если ∇ стоит перед линейной комбинациейnPαi pi , гдеi=1αi — постоянные, pi — функции точки (скалярные иливекторные), то!nnXX∇αi pi =αi ∇pi .i=1i=12. Если ∇ стоит перед произведением функций p, q, то∇ применяется поочередно к каждой из этих функций(над ней ставится в этом случае знак ↓), результатыскладываются:↓↓∇(pq) = ∇(pq) + ∇(pq ).Затем полученные произведения преобразуются поправилам векторной алгебры так, чтобы за ∇ стоялтолько множитель, снабженный знаком ↓. После этогознак ↓ можно опустить.Задача 11.
Вычислить, считая f скалярной функцией:а) div(f a);б) div(f (r)a(r)), r = |r|, r — радиус-вектор точки(x, y, z).Р е ш е н и е. а)↓↓div(f a) = (∇, f a) = (∇, f a) + (∇, f a) =↓↓= (∇f , a) + f (∇, a) = (a, ∇f ) + f (∇, a) == (a, grad f ) + f div a.(19)б) Вычислим div a(r).
Учитывая, что компоненты вектораa(r) зависят от r, аналогично формуле (6) получаемda rdiv a(r) =,,(20)dr rdaгде dr — вектор, компоненты которого есть производныепо r от компонент вектора a(r).§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона27Далее по формуле (19), воспользовавшись (6) и (20), получимf0fdadiv(f (r)a(r)) = (r, a) +r,.rrdrЗадача 12.
Вычислить:а) div[a, b];б) div[a(r), b], r = |r|, r — радиус-вектор точки (x, y, z);в) rot(ϕa), ϕ — скалярная функция.Р е ш е н и е. а) Имеем↓↓div[a, b] = (∇, [a, b]) = (∇, [a, b]) + (∇, [a, b]).Совершив круговую перестановку сомножителей смешан↓ного произведения, преобразуемслагаемое (∇, [a, b]) к виду↓↓(b, [∇, a]). Слагаемое (∇, [a, b]) преобразуется аналогично,если предварительно в нем поменятьместами a с b, в ре↓зультате чего получим −(a, [∇, b]).Опустив знак ↓ и воспользовавшись формулой (18), будем иметьdiv[a, b] = (b, rot a) − (a, rot b).(21)б) Вычислим rot a(r).
Воспользуемся формулой (14).Учитывая, что компоненты P , Q, R вектора a(r) зависятот r, получаемhhyzixzirot a(r) = R0 (r) − Q0 (r) i − R0 (r) − P 0 (r) j+rr r rijkh 1xyi1 da00+ Q (r) − P (r) k = xyz =r,.rrr 0rdrP (r) Q0 (r) R0 (r) Тогда по формуле (21) имеемbdadiv[a(r), b] =, r,− (a(r), rot b) .rdr↓↓в) Имеем rot(ϕa) = [∇, ϕa] = [∇, ϕa]+[∇, ϕa] = [∇ϕ, a]++ ϕ[∇, a] = [grad ϕ, a] + ϕ rot a (см. задачу 10).28Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаГрадиент одного вектора по другомуПусть a = (ax , ay , az ) — векторное поле с дифференцируемыми компонентами.Аналогично производной скалярного поля по направлению l = (cos α, cos β, cos γ), |l| = 1 (см.
(1)) определяетсяпроизводная векторного поля a по направлению l, которая∂aобозначается ∂l .Справедлива формула, аналогичная (2):∂a∂a∂a∂a=cos α +cos β +cos γ,∂l∂x∂y∂zкоторую, полагая∂∂∂l∇ = cos α+ cos β+ cos γ,∂x∂y∂zможно записать так:∂a= (l∇)a.∂lПусть b = (bx , by , bz ) — произвольный вектор.Определение 12. Под вектором (b∇)a будем пониматьвектор∂a∂a∂a(b∇)a = bx+ by+ bz,(22)∂x∂y∂zкоторый называется градиентом вектора a по вектору b.Если вектор b имеет то же направление, что единичныйвектор l = (cos α, cos β, cos γ), так что b = |b|l, то имеемbx = |b| cos α,by = |b| cos β,bz = |b| cos γ.Поэтому∂a∂a∂a(b∇)a = |b| cos α+ cos β+ cos γ=∂x∂y∂z∂a= |b|(l∇)a = |b|.∂lНа основании формулы (22) заключаем, что компонентыградиента вектора a по вектору b вычисляются по форму-§ 6. Однократное применение оператора Гамильтона29лам:∂ax∂ax∂ax+ by+ bz= (b, ∇ax ), (22а)∂x∂y∂z∂ay∂ay∂ay{(b∇)a}y = bx+ by+ bz= (b, ∇ay ), (22б)∂x∂y∂z∂az∂az∂az{(b∇)a}z = bx+ by+ bz= (b, ∇az ).
(22в)∂x∂y∂zИмеем, в частности, для радиуса-вектора r точки (x, y, z){(b∇)a}x = bx(b∇)r = b.(23)Задача 13. Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]];в) rot[r, [c, r]], где c — постоянный вектор, r — радиусвектор точки (x, y, z).Р е ш е н и е. а) Имеем↓↓rot[a, b] = [∇, [a, b]] = [∇, [a, b]] + [∇, [a, b]].(24)Применив правило вычисления двойного векторного произведения[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B) ,(25)получим↓↓↓[∇, [a, b]] = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b div a,↓↓↓[∇, [a, b]] = a(∇, b) − (a∇)b = a div b − (a∇)b.Поэтому в силу формулы (24)rot[a, b] = (b∇)a − b div a + a div b − (a∇)b,(26)rot[a, b] = (b∇)a − (a∇)b + a div b − b div a.(27)илиб) Обозначим [c, r] = R.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
