МУ - Элементы векторного анализа для 2-ого курса - Коваленко (1187972), страница 2
Текст из файла (страница 2)
312Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаx = 0, y = 0, z = 0, S0 : x + y + z = 1 (см. рис. 3).Р е ш е н и е. Обозначим грани тетраэдра:S1 : x = 0,S2 : y = 0,S3 : z = 0;n1 = (−1, 0, 0), n2 = (0, −1, 0), n3 = (0, 0, −1)— единичные векторы внешних нормалей к Si , i = 1, 2, 3;n0 — единичный вектор внешней нормали к S0 .По формуле Остроградского–Гаусса имеемZZZZZ3 ZZXz dx dy dz = (a, n0 ) ds +(a, ni ) ds.VТак как (a, n1 ) = −xz = 0 на S1 ,(a, n2 ) = 0, (a, n3 ) = 0, тоZZ(a, ni ) ds = 0, i = 1, 2, 3.yz=Cx+11−Ci=1 SiS0y=Si1C0−E(z)ZZ(a, n0 ) ds =Имеем11−C xS0ZZZ Рис. 4Z1ZZ=z dx dy dz = z dzdx dy,0VE(z)где E(z) — сечение тетраэдра плоскостью z = C =RR(1 − z)2= const (см. рис. 4);dx dy =,2E(z)ZZZ1z dx dy dz =2Z11z(1 − z) dz =220V=О т в е т.12Z1(z − 2z 2 + z 3 ) dz =01 2 1− +2 3 4=1.241.24Утверждение 2.
Пусть в области G ⊂ R3 определено векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируе-§ 3. Соленоидальные векторные поля13мыми компонентами. Пусть точка M0 ∈ G и Kε — шаррадиуса ε с центром в точке M0 , Kε ⊂ G; Sε — границашара Kε . ТогдаRR(a, ν) dsdiv a(M0 ) = lim Sε,(11)ε→+0Vεгде ν — единичный вектор внешней нормали к сфере Sε ,Vε — объем шара Kε .Из формулы (11) следует, что дивергенция векторногополя не зависит от системы координат.Если div a 6= 0 в точке M0 , то, как видно из формулы (11), для всех достаточномалых шаров Kε с центромRRв точке M0 будем иметь Sε (a, ν) ds 6= 0.Если рассматривать движение несжимаемой жидкостипри наличии источников, то количество вытекающей через замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к единице времени, называется производительностью источников, заключенных внутри S.
Это есть поток вектора скорости v; div v — плотность источников.Аналогичное имеет место для теплового потока при наличии источников тепла.Слово «дивергенция» происходит от французского «divergence», что значит «расходимость».§ 3. Соленоидальные векторные поляПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a(M ) снепрерывно дифференцируемыми компонентами.Определение 6.
Векторное поле a, поток которого через любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в области G и являющуюся границей некоторой ограниченнойобласти, равен нулю, называется соленоидальным в G.Определение 7. Область G ⊂ R3 называется объемноодносвязной, если для любой ограниченной области14Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаD, граница которой ∂D есть кусочно-гладкая поверхность, из условия ∂D ⊂ G следует, что D ⊂ G.Утверждение 3. Для того чтобы векторное поле aс непрерывно дифференцируемыми компонентами было соленоидальным в области G ⊂ R3 , необходимо, а в случае объемно односвязной области и достаточно, чтобыdiv a = 0 в области G.Задача6.
Найти поток векторного поля a =e= grad − 4πr , где e = const, r — расстояние точки M0от переменной точки M , через любую сферу, не проходящую через M0 и ориентированную внешней нормалью.Р е ш е н и е. Имеем на основании (6) (см. задачу 3)e ra=,4π r3где r — радиус-вектор точки M , проведенный из M0 . Используя формулу (7) (см. задачу 3), получаемdiv a = 0.~ν~n0S0SM0M0Рис. 5Рис. 6Пусть S — любая сфера, не проходящая через M0 и несодержащая эту точку внутри себя (см. рис. 5),RR ν — единичный вектор внешней нормали к S. Тогда S a ds = 0,так как поле соленоидально (по утверждению 3).Пусть S0 — любая сфера с центром в точке M0 радиrуса r0 (см.
рис. 6), n0 = r — единичный вектор внешнейнормали к S0 . Имеем§ 3. Соленоидальные векторные поляZZea ds =4πZZ ZZr re,ds =ds = e.r3 r4πr02S0S015S0S00Пусть— любая сфера такая, что M0находится внутри S00 , но M0 — не центрее (см. рис. 7). Построим сферу S0 с центром в M0 такого малого радиуса, чтобыона находилась внутри сферы S00 .Покажем, чтоZZZZa ds =a ds(12)S00S 0 M0γS00Рис. 7S0при внешней ориентации S00 и S0 .Проведем плоскость, пересекающую обе сферы. Ею слоймежду сферами разбивается на две области с общим участком границы γ.
Границу каждой из этих областей ориентируем внешней нормалью. Поток поля a через границукаждой области равен нулю (по утверждению 3). Сложимэти два потока. В сумму войдут потоки через S00 , S0 и γ.Через γ они взаимно уничтожаются. Потому потоки черезS00 и S0 в сумме дают нуль. Беря на S0 противоположнуюориентацию, получим равенство (12).О т в е т.
0, если сфера не содержит внутри себя M0 ;e, если содержит внутри себя M0 .Рассмотрим еще векторноеполе e e r=.a = grad −4πr4π r3S2~aПостроим конус с вершиной вS1M0 . Пусть S1 , S2 — поперечS∗ные сечения конуса, расположен~aM0ные (см. рис. 8) по одну сторонуРис. 8от вершины. Рассмотрим замкнутую поверхность S, образованную сечениями S1 , S2 и поверхностью S ∗ — частью конической поверхности, заклю-16Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаченной между S1 и S2 .
Поток поля a через поверхностьS, ориентированную, например, внешней нормалью, равеннулю, так как поле соленоидально (по утверждению 3). Наповерхности S ∗ вектор a ортогонален нормали к поверхности, поэтомуZZa ds = 0.S∗Следовательно,ZZS1ZZa ds + a ds = 0.S2Отсюда, изменив на поверхности S1 направление нормали на противоположное, получим, что поток поля a через сечение S1 , как и через сечение S2 , а значит, и любоепоперечное сечение, имеет одну и ту же величину.Аналогичным свойством обладает любое соленоидальное поле.
Рассматривается так называемая векторнаятрубка, состоящая из линий, в каждой точке которых касательная имеет направление поля.Поток соленоидального поля через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одну и туже величину.Название «соленоидальное» происходит от «солен», чтопо-гречески означает «трубка». Вместо «соленоидальноеполе» иногда говорят «трубчатое поле».Вернемсяк задаче 6. Рассмотрим векторное поле a =e= grad − 4πr в области G0 : 0 < r < R0 , R0 = const > 0,r — расстояние точки M0 от переменной точки M .
Имеемdiv a = 0 в G0 .Область G0 не является объемно односвязной, поэтомук полю a не применимо в G0 утверждение 3. Как показанопри решении задачи 6, поток поля a через любую сферу,содержащую внутри себя точку M0 , не равен нулю.§ 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные поля17§ 4. Циркуляция векторного поля.Потенциальные векторные поляПусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a == (P, Q, R) с непрерывными компонентами.Определение 8. Пусть L — ориентированная кусочногладкая кривая, лежащая в области G.
ИнтегралZZZa dr = P dx + Q dy + R dz = (a, τ ) dl(13)LLLназывается работой векторного поля a вдоль L. Если L— замкнутая кривая, то интеграл (13) называется циркуляцией векторного поля a по кривой L. Через τ обозначенв (13) единичный касательный вектор к кривой L, dl —дифференциал длины дуги.Определение 9. Векторное поле a(M ) называется потенциальным, если его можно представить как градиентнекоторого скалярного поля u(M ):a = grad u.Тогда функция u(M ) называется потенциальной функцией,или потенциалом векторного поля a.Утверждение 4.
Для векторного поля a = (P, Q, R) снепрерывными компонентами в области G эквивалентныследующие три свойства:1) Поле a потенциально, т.е. существует однозначнаяфункция u(x, y, z), имеющая непрерывные частные производные, такая, чтоgrad u = a в G,или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz (u — потенциалполя a).2) Циркуляция поля a по любой замкнутой ориентированной Rкусочно-гладкой кривой L, лежащей в G, равнанулю: L a dr = 0.18Л.И.
Коваленко. Элементы векторного анализа3)R Если A0 и A — точки области G, то интеграл a dr по любой ориентированной кусочно-гладкой криA0 A вой A0 A ⊂ G с началом в A0 и с концом в A зависит отA0 и A, но не зависит от пути интегрирования, приэтомZa dr = u(A) − u(A0 ).A0 AЗадача 7.
Доказать, что поле a = f (r)r, где r = |r|, f (r)— непрерывная функция, является потенциальным. Найтипотенциал этого поля.Р е ш е н и е. Соединим точку O, из которой проводятсярадиусы-векторы всех точек, с любой точкойAAR (см. рис. 9) отрезком OA прямой и вычислимOOA a dr.Рис. 9rВоспользовавшись формулой (13) и заметив, что τ = rна OA, получимZZZ Zra dr = (a, τ ) dl =f (r)r,dr =f (r)r dr.rOAOAOAOARrРассмотрим u = 0 f (t)t dt. Введем декартову прямоугольную систему координат с началом в точке O.
Вы∂u ∂u ∂u∂uчислим частные производные ∂x , ∂y , ∂z . Получим ∂x =px= f (r)rrx0 = f (r)r r = f (r)x, так как r = x2 + y 2 + z 2 .Аналогично, ∂u∂u= f (r)y,= f (r)z ⇒∂y∂z∂u ∂u ∂u,,= grad u = f (r)r = a,∂x ∂y ∂zтак как r = xi + yj + zk.Итак, поле a потенциально и функция u — его потенциал.RrО т в е т. u = 0 f (t)t dt.§ 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса19Пусть в начало координат O помещена масса m. Еслитеперь в некоторую точку M (x, y, z) поместить единичнуюмассу, то на нее будет действовать сила притяжения, равнаяmF = −γ 3 r.rЭти силы, определяемые в каждой точке пространства,образуют векторное поле — поле тяготения точечной массыm. Его можно представить как градиент скалярной функγmции r , называемой ньютоновским потенциалом точечной массы m.§ 5.
Ротор векторного поля.Формула Стокса в терминах поляОпределение 10. Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонентами. Вектор∂R ∂Q ∂P∂R ∂Q ∂Prot a =−,−,−(14)∂y∂z ∂z∂x ∂x∂yназывается ротором (вихрем) векторного поля a.rot a удобно записывать в виде символического детерминанта ijk ∂∂∂ rot a = (15), ∂x ∂y ∂z PQ Rгде i, j, k — единичные векторы, направленные по осям∂∂∂координат, а под «умножением» символов ∂x , ∂y , ∂z нанекоторую функцию понимается выполнение соответствующей операции дифференцирования. Разложив указанныйдетерминант по элементам первой строки, получим (14).Механический смысл ротораРотор скорости v любой точки твердого тела равенудвоенной угловой скорости твердого тела.
Покажем это.20Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализаЕсли твердое тело, у которого одна из точек O неподвижна, вращается вокруг оси, проходящей через точку O,с угловой скоростью ω = ξi+ηj+ζk, то скорость произвольной точки M тела равна v = [ω, r], где r — радиус-вектор,идущий из точки O к точке M . Следовательно, i j kv = [ω, r] = ξ η ζ = (ηz − ζy)i + (ζx − ξz)j + (ξy − ηx)k,x y z ijk∂∂∂rot v = ∂x = 2ξi + 2ηj + 2ζk = 2ω.∂y∂z ηz − ζy ζx − ξz ξy − ηx Слово «ротор» происходит от французского «rotation»,что значит «вращение».Используя понятия циркуляции и ротора (вихря) векторного поля, можно формулу Стокса записать в видеравенстваZZZa dr =rot a ds,(16)γSто есть циркуляция векторного поля a по ориентированному контуру γ равна потоку вихря этого поля через ориентированную поверхность S, ограниченную контуром γ,при этом направление обхода контура и ориентация поверхности согласованы по правилу правого винта (для правойсистемы координат).Задача 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
