Разработка и реализация математических алгоритмов построения миграционных изображений упругих трещиноватых геологических сред (1187420), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Приближение Борна для однородного пространстваВведем для краткости следующие обозначения: s = c−1 , Dip = ∇i ∇i ,()TDis = −∇i × ∇i ×, ∇i = ∂xi ∂yi ∂z i , Ri = ri − r, Ri = |ri − r|, где индекс i обозначает принадлежность к некоторому набору координат.Для однородного пространства (cα = const, V = R3 ) фундаментальноерешение рассматриваемых уравнений принимает вид [35]Gα = Dα Γα = D′α Γα ,Γα = {χ (t′ − t − sα R′ ) − χ (t′ − t)}I,4πR′где χ(t) = max (0,t) и I – единичный тензор. С учетом этого первичное ирассеянное поля определяются выражениями∫ ∫1 euiα (r′ ,t′ ) =f (r,t) · Gα (r′ ,t′ |r,t) dtdV,ρ (r)V∫ ∫{[]}∆Λ (r) ui (r,t) + us (r,t) · Gα (r′ ,t′ |r,t) dtdV.usα (r′ ,t′ ) =VПусть в области V рассянное поле мало по сравнению с первичным, такчто им можно пренебречь в правой части последнего выражения. Тогда с учетом отждества Dα uiα = ∇2 uiα оператор прямого моделирования может бытьполучен по формулеusα (r′ ,t′ )≈∑∫ ∫β∆c2β (r) ∇2 uiβ (r,t) · Gα (r′ ,t′ |r,t) dtdV.V10Для определения оператора миграции введем гильбертово пространствозаписанных в моменты времени T показаний сейсмоприемников, расположенных в точках S, со скалярным произведением∫ ∫(d1 · d2 )d =Sd1 (r′ ,t) · d2 (r′ ,t) dtdSTи гильбертово пространство моделей среды со скалярным произведением∫(m1 · m2 )m ={ 2}∆cp,1 (r) ∆c2p,2 (r) + ∆c2s,1 (r) ∆c2s,2 (r) dV.VС учетом последнего оператор миграции определятеся выражением∫ ∫ ∫∆c2α,migr (r)=S[ 2 i]∇ uα (r,t) · G (r′ ,t′ |r,t) · d (r′ ,t′ ) dtdt′ dS.T1.1.4.

Точечный источник с постоянной поляризациейПусть внешний источник возмущений является точечным с постояннойполяризацией ff e (r,t) = δ (r − r0 ) F (t) = δ (r − r0 ) f ′′ (t)fи обладает свойством[f (t′ − t) − f ′ (t′ − t) t]|t=+∞ = f (t′ ) .0С учетом этого свойства и тождеств∫f · [Dα (g (r) I)] = Dα (g (r) f ) ,+∞−∞χ (t′ − t) f ′′ (t)dt = [f (t′ − t) − f ′ (t′ − t) t]|t=+∞ ,011выполненых для произвольных функции g (r) и постоянного вектора f , выражение для первичного поля упрощаетсяuiα (r,t) = Dα ϕα (r,t) ,Обозначимφ=ϕα (r,t) =f (t − sα R0 ) − f (t)f.4πρ (r0 ) R0f (t′ − sβ R0 − sα R′ )f16π 2 c2β R0 R′и с учетом тождествf (t − sα R0 ) − f (t) F (t − sα R0 )=,R0c2α R01F (t − sα R0 ) f0 F (t − sα R0 ) f=,D∇2 uiα (r,t) = Dα4πc2α ρ (r0 ) R0ρ (r0 ) α4πc2α R0∫1∇2 uiβ (r,t) · Gα (r′ ,t′ |r,t) dt =D′α D0β φρ (r0 )∇2получим выражения для прямого и сопряженного операторов∫1usα (r′ ,t′ ) =D′α D0β∆c2β (r) φdV,ρ (r0 )Vβ∫∫∑1d (r′ ,t′ ) · D′α D0β φdt′ dS.∆c2β,migr (r) =S T ρ (r0 )α∑1.1.5.

Однородное полупространство{}Для однородного полупространства V = (x y z) : z ≥ 0 со свободнойTграницей z = 0 фундаментальное решение принимает вид[]Gα (r′ ,t′ |r,t) = D′α Γα − Γα ,где подчеркивание обозначает замену z на −z.12Обозначим(′)′ft−sR−sRβ0,iαjφij = (−1)i+jf,2′216π cβ R0,i RjR0,1 = R0 ,R1′ = R′ ,R0,2 = R0 ,R2′ = R′ ,Dβ,2 = D0β ,Dβ,1 = D0β ,где D0β получается из D0β заменой ∂z0 → −∂z0 , и аналогично случаю целогопространства получим выражения для прямого и споряженного операторовв полупространствеusα (r′ ,t′ )=∑β,i,j∆c2β,migr (r) =1D′αρ (r0 )∑∫ ∫1ρ (r0 ) α,i,jS∫∆cβ2 (r) Dβ,i φij dV,Vd (r′ ,t′ ) · D′α Dβ,i φij dt′ dS.T1.1.6.

НормировкаВ рассматриваемом случае, если представить набор параметров модели инабор показаний сейсмоприемников в виде вектор-столбцов m и d, действиеоператоров прямого моделирования и миграции может быть задано матрицами L и L∗ , так что d = Lm и m = L∗ d.Для учета затухания отраженного поля со временем и выравнивания контрастности миграционного изображения можно использовать простую нормировку: вместо исходных показаний сейсмоприемников можно мигрировать величину d˜ и нормировать миграционные изображения(d̃i = di∑)−1/2Lij Lij(,m̃i = mij∑j13)−1/2L∗ij L∗ij.1.2. Расчет для простых моделей и сравнение сакустикой1.2.1.

Постановка экспериментаДля выявления особенностей упругой миграции и ее сравнения с миграцией в акустической постановке были произведены расчеты для серии двумерных квазиоднородных моделей сред. Каждая из моделей протяженностью10 км и глубиной 2.5 км обладала параметрами cp = 2.5 км/с, cs = 1.25 км/с,ρ = 2.5 т/м3 , а контраст неоднородностей ∆c2α /c̃2α принимал значение 1%.Полевые сейсморазрезы нулевых удалений d были получены синтетически:приемники расположенные на глубине 15 м через каждые 10 м, записывалиобе компоненты волнового поля в течение 4 с с интервалом 2 мс; каждомуприемнику соответствовал источник, испускавший точечный импульс Рикера с пиковой частотой 25 Гц вертикально вниз.

Шаг расчетной сетки, используемой процедурой миграции, был равен 10 м.1.2.2. Миграция вертикальной компоненты поляНа практике сейсмоприемники часто записывают только вертикальнуюкомпоненту поля. Если в акустическом случае одной компоненты поля достаточно, то в упругом случае вертикальную компоненту можно дополнитьнулевыми горизонтальными.Сравнение миграционных изображений, полученных таким образом(рис.

1.1–1.3 на cc. 15–17), показывает, что общая структура отражающих границ восстанавливается в обоих случаях: акустические миграционные изображения и p-компоненты упругих плохо восстанавливают круто наклоненныеграницы и хорошо – слабо наклоненные, в то время как с s-компонентами14apsРис.

1.1: Модель с плоскими отражающими границами и ее миграционныеизображения, полученые из вертикальной компоненты отраженного поляакустическим (a) и упругим (p и s) алгоритмами. p соответствует резкимизменениям скорости волн сжатия, s – скорости волн сдвига.15apsРис. 1.2: Модель со сферической отражающей границей и ее миграционныеизображения, полученые из вертикальной компоненты отраженного поляакустическим (a) и упругим (p и s) алгоритмами. p соответствует резкимизменениям скорости волн сжатия, s – скорости волн сдвига.16apsРис. 1.3: Модель с криволинейными отражающими границами и еемиграционные изображения, полученые из вертикальной компонентыотраженного поля акустическим (a) и упругим (p и s) алгоритмами.

pсоответствует резким изменениям скорости волн сжатия, s – скорости волнсдвига.17упругих изображений ситуация обратная. Оба метода восстанавливают ложные границы, причины возникновения которых обсуждаются в разд. 1.3.1.2.3. Миграция векторного поляПо сравнению с миграцией в акустическом случае, миграция в упругомпозволяет естественным образом извлечь дополнительную информацию оподповерхностном пространстве из горизонтальных компонент отраженного поля, не прибегая к дополнительным преобразованиям входных данных.P-компоненты миграционных изображений, полученных для обоеих компонент отраженного поля, более зашумлены ложными границами, чем pкомпоненты изображений, полученных только для вертикальной компоненты(рис.

1.4 и 1.5 на cc. 19 и 20). С s-компонентами ситуация обратная. Таким образом, имеет смысл получать p-компоненты миграционных изображений мигрируя только вертикальную компоненту отраженного поля, а s-компоненты– мигрируя обе.1.3. Ложные границыДля того, чтобы понять причину возникновения ложных границ на миграционных изображениях, рассмотрим простую модель. Эта модель включает лишь одну отражающую границу, но каждая из компонент отраженногополя содержит три отраженных фронта (рис.

1.6 на с. 21). Верхний фронт соответствует отражению p-волны от границы,нижний – отражению s-волны,средний – переходным ps волнам.Определим, куда мигрируется каждый отдельный фронт, оставляя толькоего во входных данных для миграции. Полученные таким образом миграционные изображения представлены на рис. 1.7 на с.

22. Каждый фронт обозначен цветом, которым выделена соответствующая граница. Все ложные грани18pzpsРис. 1.4: Миграционные изображения модели с плоскими отражающимиграницами, полученые из вертикальной компоненты (pz) и из обеихкомпонент отраженного поля (p и s). p соответствует резким изменениямскорости волн сжатия, s – скорости волн сдвига. На p-компонентахстрелками отмечены ложные границы.19psРис. 1.5: Миграционные изображения модели с криволинейнымиотражающими границами, полученые из обеих компонент отраженногополя: p соответствует резким изменениям скорости волн сжатия, s –скорости волн сдвига.цы для удобства пронумерованы цифрами.

Для устранения наложения частимиграционных изображений чередуются.В рамках акустического подхода волны распространяются лишь с однойскоростью. В данном случае использование скорости волн сжатия cp в качестве скорости распространения акустических волн приводит к ложному определению источника отраженных s- и ps-волн.Рассмотрим теперь p-компоненту упругого миграционного изображения.Каждый из отраженных фронтов здесь мигрируется либо как p-волна, либокак переходная ps-волна. Если, например, мигрируемый как p-волна фронтдействительно является отраженной p-волной, соответствующая границаоказывается на правильном месте. Так, истинная ненумерованная красносиняя граница составлена из z-компоненты p-волны, мигрированной как pволна, и x-компоненты ps-волны, мигрированной как ps-волна.

Заметим, чтовклад x-компоненты p-волны и z-компоненты ps-волны (желтый и голубой20xzРис. 1.6: Модель с одной плоской отражающей границей (сверху) исейсморазрезы нулевого удаления, полученные для этой модели:горизонтальная x и вертикальная z компоненты.21apsРис. 1.7: Образы плоской границы на миграционных изображениях,полученных акустическим (a) и упругим (p и s) алгоритмами. В верхнихчастях изображений каждый фронт в формате ”<компонента отраженногополя> <тип волны>” обозначен цветом, которым отрисованасоответствующая граница.22цвета) не виден.

Аналогичные рассуждения объясняют причины возникновения остальных ложных границ.ЗаключениеНа примере миграции с помощью сопряженного оператора в приближении Борна хорошо видны основные особенности миграции в упругом случае.Получаемые в рамках такого подхода миграционные изображения обладаютлучшим качеством по сравнению с изображениями, получаемыми в рамкахакустической миграции, благодаря тому, что выбранная модель более соответствует действительности. Основной недостаток упругого подхода – повышенные требования к вычислительным ресурсам – может быть устраненс привлечением современных выскопроизводительных вычислительных систем (см. прилож.

A).Описанный простой алгоритм применим лишь для слабонеоднородныхсред. Рассматриваемый в следующей главе подход лишен этого недостатка.23Глава 2Обратная временнаямиграция с использованиемсеточнохарактеристического методав упругой постановкеЭта глава посвящена методу обратной временной миграции с использованием сеточно-характеристического метода на гексаэдральных сетках длярешения уравнений линейной динамической теории упругости. В разд. 2.1приводится краткий вывод выражений, определяющих используемые в этомметоде условия визуализации.

Характеристики

Список файлов ВКР