Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Министерство образования и науки Российской Федерации

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ СОУДАРЕНИЙ МЕТОДОМ СГЛАЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Выпускная квалификационная работа

(магистерская диссертация)

Выполнил:

студент 973а группы Михайлов Михаил Евгеньевич _______________________

Научный руководитель:

к. ф.-м. н. Потапов Антон Павлович _______________________

г. Долгопрудный

2015

Оглавление

1. Введение - 2 -

2. Существующий программный комплекс - 3 -

3. Модель вещества и численный метод - 4 -

3.1. Модель вещества - 4 -

3.2. Численный метод - 5 -

3.3. Оригинальный метод - 7 -

3.4. Метод инвариантов Римана - 9 -

3.5. Гибридизированная схема - 9 -

4. Сравнение двух методов решения задачи Римана - 10 -

5. Модель разрушения материала - 14 -

5.1. Континуальная модель разрушения - 14 -

5.2. Тыльный откол - 14 -

6. Тестовые расчеты - 17 -

6.1. Пробой тонкой пластины - 17 -

6.2. Срабатывание ударника в полубесконечную преграду - 19 -

6.3. Столкновение спутника с ледяным метеоритом - 22 -

6.4. Множественный удар - 24 -

a. Удар набором стальных шариков по стальной пластине - 24 -

b. Удар градинами по обшивке самолета - 27 -

6.5. Удар в слоистый пакет - 29 -

a. Удар массивной плитой - 29 -

b. Удар осколком сферической формы - 32 -

7. Список литературы - 35 -

8. Приложение 1, использованные материалы. - 36 -

1. Введение

Численное моделирование позволяет изучать процессы недоступные ввиду их сложности для экспериментальных и чисто теоретических методов. К таким процессам относятся процессы разрушения, процессы с сильными деформациями, сквозной пробой, процессы, сопровождающиеся сильным разлетом вещества и другие.

Для решения подобных задач хорошо подходит метод сглаженный частиц (SPH – smoothed particles hydrodynamics). Преимуществом данного метода по сравнению с сеточными методами является отсутствие необходимости перестройки сетки при больших деформациях и разлете вещества.

Аспирантами и студентами кафедры Информатики МФТИ был разработан вычислительный комплекс, реализующий данный метод и некоторые его модификации.

Автором данной работы проверяется работоспособность комплекса, путем моделирования с его помощью различных экспериментов.

Также автором реализован и добавлен и комплекс альтернативный метод решения задача Римана о распаде произвольного разрыва и проведено его сравнение с уже реализованным методом.

1. Существующий программный комплекс

Существующий программный комплекс является системой с распределенными вычислениями, но с общей файловой системой.

Составными частями системы являются библиотеки math (векторные и тензорные вычисления), xml (библиотека для работы с файлами конфигураций в формате xml), snapshots (библиотека, реализующая методы для сохранения данных в процессе вычисления и последующей их обработки) и основной расчетный модуль.

Redmine проекта: https://cin-hpc.mipt.ru/projects/zsph

Git репозиторий: https://cin-hpc.mipt.ru:4433/git/zsph.git

1. Модель вещества и численный метод

1. Модель вещества

В вычислительном комплексе используется упругопластичная модель вещества. Уравнения механики деформируемого твердого тела имеют вид:

Закон сохранения массы:

где – плотность среды, – вектор скорости.

Закон сохранения импульса:

здесь – тензор напряжений, – единичный тензор, – девиатор тензора напряжений, (подразумевается суммирование по повторяющимся индексам).

Закон сохранения энергии:

– внутренняя энергия, – компоненты тензора скоростей деформации.

Динамическая форма закона Гука с учетом возможности пластического течения:

где – коэффициент Ламе, а выражение обозначает производную Яуманна по времени для тензора :

(здесь ).

Пластические свойства среды описываются с помощью условий Мизеса, а именно, если где – предел текучести на сдвиг, то считается, что может иметь место пластическое течение. При условии движение среды считается упругим. В уравнении (4) для учета условия Мизеса определена функция :

В качестве уравнения состояния моделируемой среды используется уравнение состояния Мурнагана:

Объемный модуль зависит от плотности: .

С выводом уравнений упругопластичной среды можно ознакомиться в [5].

Обоснование уравнения состояния Мурнагана приведено в [6].

1. Численный метод

Основная идея метода сглаженных частиц(SPH) состоит в приближении сплошной среды множеством частиц, обладающих характерным размером h, массой m, радиус-вектором r, скоростью u и другими характеристиками среды. С помощью предложенной Мурнаганом процедуры получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая движение частиц и эволюцию характеристик среды в них. Кроме того, определена процедура восстановления полевых функций в точке по множеству частиц.

Метод SPH является бессеточным лагранжевым методом.

Рассмотрим функцию среды . Аппроксимационные формулы SPH строятся из точного соотношения:

где – дельта-функция Дирака.

Идея SPH состоит в приближении дельта-функции гладкой функцией , удовлетворяющей соотношениям:

называют ядром аппроксимации.

Приближенное значение :

Рассматривая среду плотности , можем записать:

Для оценки интеграла среду представляют разбитой на элементов объема – частиц с массами и плотностями .

Тогда аппроксимация :

где

Дифференцирование полевой функции сводится в методе SPH к дифференцированию ядра аппроксимации. Рассмотрим градиент:

– область интегрирования с границей . Интегрируя по частям, получаем

Вторым слагаемым, поверхностным интегралом, можно пренебречь, так как, как правило, либо полевая функция, либо ядро равны нулю на границе области интегрирования. Таким образом, численная аппроксимация полевой функции:

Точность соотношения определяется выбором ядра .

В расчета использовалось стандартное ядро:

где . Оно отлично от нуля в шаре радиуса , что позволяет при восстановлении значения в точке перебирать не все частицы, на которые разбита среда, а только те из них, центры которых удалены от центра выбранной точки не более чем на . На рис. 1 представлен график этого ядра.

Рисунок 1. Ядро аппроксимации.

1. Оригинальный метод

В соответствии с описанным способом дискретизации уравнения механики деформируемого твердого тела (1)-(4) в SPH-форме имеют вид (суммирование ведется по соседям i-й частицы):

где

Шаг интегрирования выбирается следующим образом:

где: – скорость i-ой частицы;

– скорость звука в i-ой частице;

– радиус сглаживания i-ой частицы;

– плотность i-ой частицы;

– параметр.

1. Метод инвариантов Римана

Оригинальный метод не является монотонным. Паршиков и Медин в работе [7] предложили подход, использующий приближенное решение задачи Римана. Идея заключается в замене всех выражений вида и на и соответственно. Тут и – значения полевой функции в i-й и -й частицах, а – соответствующее решение задачи о распаде разрыва.

Для нахождения приближенного решения перейдем в систему координат RST, где ось R направлена по линии, соединяющей центры частиц, а остальные оси выбраны так, чтобы составлять ортонормированный базис. В предположении, что разрыв происходит по середине между частицами и полагая известными параметры полевых функций в каждой точке, в акустическом приближении получим значения компонент скорости и напряжения решения задачи Римана:

Существуют также и другие методы приближенного решение задачи Римана. В работе [2] описана безытерационная процедура получения решения.

1. Гибридизированная схема

Как показывает численный эксперимент, алгоритм, построенный на решении задачи Римана, сильно «сглаживает» разрывы. Один из подходов к решению этой проблемы – гибридизированная схема, использующая в качестве исходных оригинальный метод и метод инвариантов Римана, с весами .

1. Сравнение двух методов решения задачи Римана

В данной главе сравниваются метод решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва путем нахождения аналитического решения в акустическом приближении с методом, описанным в работе [2]. Далее метод, основанный на акустическом приближении, будет обозначаться riemann, а метод из работы [2] – riemann_dukowicz.

Сравнение проводилось на следующем эксперименте:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ВКР