Лекция №9-10. Конспекты к слайдам (1186395), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Функцию потерь зададим следующими выражениями:

, , , .

причем и .

Обычно так же функция потерь задается и в тех случаях, когда ее обоснованный выбор затруднителен, как это имеет место в радиолокации.

Действительно, при решении задачи обнаружения сигнала, как правило, трудно оценить потери, связанные с пропуском сигнала (пропуском цели) и ложным обнаружением (ложной тревогой).

Тогда средний риск, в соответствии с формулой (23), имеет вид

,

где .

Учитывая, что , и , , , ,

Слайд 35

получим

. (24)

Подставляя в формулу (24) выражения для , , и , находим

. (25)

Учитывая, что

,

согласно формуле (25) получаем средний риск

. (26)

Первые два члена в соотношении (3.20) являются постоянными величинами, не зависящими от способа разбиения пространства .

Слайд 36

Поэтому минимальное значение среднего риска достигается тогда, когда значение интеграла оказывается максимальным.

Для этого необходимо область выбрать такой, чтобы в нее вошли все точки пространства , для которых подынтегральное выражение неотрицательно, т. е.

. (27)

Используя формулу (27), можно записать алгоритм работы оптимального по критерию Байеса обнаружителя сигнала:

(28)

По алгоритму (28) необходимо вычислить отношение функций правдоподобия и сравнить его с пороговым значением (уровнем)

. (29)

Если , то принимается гипотеза о наличии сигнала, а если , то принимается гипотеза об отсутствии сигнала.

Слайд 37

Отношение называется отношением правдоподобия, или коэффициентом правдоподобия. Оно показывает, насколько гипотеза при принятом сигнале правдоподобнее гипотезы .

При известном распределении помехи и известном способе взаимодействия полезного сигнала и помехи отношение всегда может быть найдено.

Пороговый уровень зависит от априорной вероятности наличия сигнала р и значений функции потерь , , , . Он может быть вычислен заранее.

Важно отметить, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала и функция потерь не влияют на процедуру обработки сигнала.

При изменении этих данных приходится лишь подстраивать пороговый уровень.

Слайд 38

3.2 Критерий идеального наблюдателя

Задавая функцию потерь в виде соотношений

, ,

с учетом выражения (28) получаем алгоритм работы обнаружителя сигнала, построенного на основе критерия идеального наблюдателя:

. (30)

В соответствии с выражением (30) необходимо вычислить отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым уровнем .

Из формулы (30), предполагая, что вероятности наличия и отсутствия сигнала равны, т. е. , находим алгоритм работы обнаружителя сигнала, построенного на основе критерия максимального правдоподобия

. (31)

Слайд 39

3.3 Критерий Неймана—Пирсона

В радиолокации при решении задачи обнаружения часто применяется критерий Неймана—Пирсона. Алгоритм работы обнаружителя, построенного на основе этого критерия, можно записать в виде соотношения

, (32)

где порог находится из условия, что вероятность выполнения неравенства при гипотезе не превышает наперед заданной величины , т. е.

Таким образом, для всех рассмотренных критериев: байесовского, идеального наблюдателя, максимального правдоподобия и Неймана—Пирсона, процедура принятия решения (рис. 5) сводится к вычислению отношения правдоподобия (блок ОП) и сравнению его с пороговым значением (блок ПУ — пороговое устройство), равным соответственно , , 1 и .

Слайд 40

Слайд 41

3.4 Критерий Вальда

В рассмотренных выше критериях предполагалось, что решение принимается за фиксированный интервал времени Т.

Однако может оказаться, что решение можно принять за интервал времени, меньший Т.

Этот факт учитывает последовательный наблюдатель.

При последовательном наблюдении производится непрерывный анализ отношения правдоподобия и сравнение его с двумя порогами, h₁=(1-D)/(1-F) и h₂ = D/F.

Если отношение правдоподобия выше h₁ то принимается решение о наличии только шума.

Если же отношение правдоподобия больше h₂, то принимается решение о наличии сигнала.

В том случае, когда отношение правдоподобия находится между нижним уровнем h₁ и верхним h₂, имеющихся распоряжении данных недостаточно для принятия решения и испытание продолжается.

Такая процедура повторяется до тех пор, пока не будет принято определенное решение.

Последовательный анализ был разработан А. Вальдом.

Преимущество последовательного наблюдателя состоит в том, что можно независимо задавать вероятности F и D, и он дает определённую экономию в энергии сигнала или во времени за счет сравнительно быстрого принятия решения об отсутствии цели.

Поэтому последовательный наблюдатель или его модификации применяются в радиолокации, особенно когда предполагается наличие малого числа целей и радиолокатор имеет небольшое число каналов по дальности.

Последовательные испытания часто применяются гак же при исследовании надежности и при отбраковке деталей.

Однако применение последовательного анализа предполагает более сложную работу аппаратуры (например, переменную скорость обзора пространства в радиолокации) и его труднее осуществить практически.

В следующих параграфах будут рассмотрены конкретные применения наблюдателя Неймана-Пирсона и идеального наблюдателя.

Ввиду того, что ряд расчетов требует громоздких выкладок, для иллюстрации методики анализа подробно рассматриваются лишь простейшие случаи, а для более сложных случаев приводятся окончательные результаты.

Отметим также, что хотя мы рассматриваем обнаружение сигнала и оценку его параметров раздельно, на практике эти две задачи часто решаются совместно

4 Основные понятия теории обнаружения

По сути данный раздел изложен выше.

4.1 Решающая статистика

Отношение правдоподобия - достаточная статистика для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала.

Достаточная статистика - это результат преобразований входных реализаций без потери информации, необходимой для принятия решений.

Таким образом, это - функция входных реализаций.

Но если Λ - достаточная статистика, то и любая монотонно возрастающая функция Λ тоже достаточная статистика.

В нашем случае в качестве такой функции удобно выбрать натуральный логарифм.

При этом получаем более простую достаточную статистику.

1 Оптимальность может быть только в смысле определенного критерия. Поэтому нельзя говорить об оптимальных алгоритмах, решениях и т.п., не указывая тут же, в смысле какого критерия эта оптимальность понимается.

25

Характеристики

Список файлов лекций