Лекция №9-10. Конспекты к слайдам (1186395), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Модель шума рассмотрим на основе собственного шума приемника.

Собственный шум приемника (плюс антенны и тракта антенна-приемник) обычно моделируется нормальным (гауссовским) стационарным случайным процессом с нулевым средним.

На входе приемника этот шум часто предполагается белым, т.е. с неограниченной шириной спектра. Это хорошо отражает свойства теплового шума, связанного с хаотическим движением электронов во всех элементах тракта.

Слайд 28

Спектральная плотность мощности этого шума постоянна вплоть до мм, когда начинают проявляться квантовые эффекты.

Спектральная плотность шума обозначается , корреляционная функция (17)

Шум стационарный, поэтому корреляционная функция зависит от разности моментов времени: .

Она имеет вид δ-функции.

Это значит, что взаимная корреляция шумов в любые два разных момента времени равна нулю.

Это – следствие бесконечно широкого спектра.

Если перейти к шуму на выходе фильтра с полосой , то можно рассматривать дискретные отсчеты шума в элементах разрешения.

Одномерное распределение действительного шума в произвольном элементе разрешения имеет вид:

, (18)

где – шум в отсутствие сигнала .

Если к шуму добавляется детерминированный сигнал s(t), то это эквивалентно изменению математического ожидания и одномерное распределение имеет вид:

. (19)

Слайд 29

2.5 Постановка задачи обнаружения

Рассмотрим простейшую задачу двухальтернативного (или бинарного) обнаружения, когда по наблюдению реализации случайной величины в произвольном элементе разрешения надо принять одно из двух возможных решений: сигнал есть или сигнала нет .

Ясно, что эти решения взаимно исключающие.

В действительности в рассматриваемом объеме пространства (элементе разрешения) может быть цель, а может ее не быть.

Наблюдателю это априори (до опыта) неизвестно.

Обозначим ситуацию,

- когда цель действительно есть, через ,

- а когда ее нет, - через .

При условии, что в действительности цели (сигнала) нет, т.е. при условии решение будет ошибочным, а – верным.

Наоборот, при условии решение будет верным, а - ошибочным.

Решение при условии называется ложной тревогой, а при условии – пропуском цели.

Для характеристики качества обнаружения вводятся вероятности указанных решений.

Эти вероятности условные, так как они вычисляются при условиях или , соответствующих фактическому отсутствию или наличию цели.

Можно ввести четыре условные вероятности.

– вероятность правильного необнаружения;

– вероятность ложной тревоги;

– вероятность пропуска цели;

– вероятность правильного обнаружения.

Поскольку при условии решения и образуют полную группу (т.е. других быть не может), то ясно, что

.

Точно так же

.

Следовательно, достаточно характеризовать качество обнаружения только двумя условными вероятностями, зная которые можно всегда вычислить остальные.

Обычно на практике используются следующие:

– вероятность ложной тревоги;

– вероятность правильного обнаружения.

В литературе обозначается , , , (f, fa – false alarm – ложная тревога, f –от слова false – ложный).

Вероятность правильного обнаружения обозначается обычно , , ( – detection – обнаружение).

Иногда для сокращения слово «правильного» опускается.

Но не надо забывать, что слово «правильного» подчеркивает условность вероятности , , . обозначается вероятностью правильного необнаружения ; – вероятностью пропуска цели .

Хотелось бы, чтобы вероятности ошибок обоих типов, т.е. и вероятность ложной тревоги, и вероятность пропуска цели были бы минимально возможными.

Однако это требование противоречиво, так как снижение приводит к увеличению вероятности пропуска и наоборот.

Физически ясно, что, уменьшая , мы увеличиваем вероятность того, что слабый сигнал не будет обнаружен, т.е. увеличиваем вероятность пропуска .

В пределе можно, например, свести к нулю, если всегда принимать решение «сигнала нет».

Но тогда будет стремиться к единице, т.е. любой сигнал будет пропущен (т.е. ).

Наоборот, можно свести вероятность пропуска к нулю, т.е. вероятность правильного обнаружения к единице , следовательно, , если всегда принимать тривиальное решение «сигнал есть». Ясно, что сигнал при этом никогда не будет пропущен, но вероятность ложной тревоги будет равна единице, так как и шум всегда будет приниматься за сигнал .

Слайд 30

Отсюда ясно, что качество любого алгоритма обнаружения необходимо характеризовать только парой условных вероятностей и (или и ).

Недопустимо предъявлять требования к качеству алгоритма обнаружения, задавая только одну из этих вероятностей.

Пусть измерено некоторое значение .

Задача состоит в том, чтобы решить к какой плотности вероятности принадлежит измеренное значение x1, к или .

Видно, что – это то же распределение шума, но сдвинутое вправо на величину сигнала .

Поскольку – это число (например, 1 В), то чтобы научиться обнаруживать сигнал, надо научиться как-то разумным образом (или, еще лучше, оптимальным образом по выбранному критерию¹) относить какие-то полученные числа к , а какие-то – к .

Учитывая расположение и относительно оси , следует очевидно разделить ось на две части и каким-то граничным значением , так, что если , то , а если , то .

Отметим что при этом площадь справа от под кривой равна вероятности ложной тревоги, т.е.

, (20)

а площадь справа от под кривой равна вероятности правильного обнаружения

. (21)

Действительно, если точка попадает справа от , то принимается решение «сигнал есть».

Но если сигнала в действительности нет, значит шумовой выброс превысил порог .

В соответствии с плотностью вероятность такого события – площадь под кривой справа от .

Аналогично, если сигнал действительно есть, то мы правильно отнесли к . Вероятность такого события есть площадь под кривой справа от порога .

В современных РЛС принимаемые сигналы заменяются последовательностью отсчетов, взятых в соответствии с теоремой Котельникова.

Важно подчеркнуть, что в общем случае задача обнаружения должна решаться в каждом элементе разрешения по дальности (а также по скорости и угловой координате).

Слайд 31

3. Критерии обнаружения радиолокационных сигналов

Принятие решения (сигнала нет) или (сигнал есть) проводится в соответствии с алгоритмом , где – выборка отсчетов принятой реализации сигнала.

Функция называется решающей функцией, или решающим правилом.

Она представляет собой вероятности (или плотность вероятностей) принятия решения на основе принятых данных (рис. 6).

Слайд 32

Для любого решающего правила при наличии помех всегда возможны ошибочные решения.

Для количественной оценки ущерба (потерь), связанных с принятием решений, вводится так называемая функция потерь (штрафа, стоимости) .

Ее конкретное значение , , .

Функция потерь выбирается заранее.

Примеры ее задания будут приведены при решении конкретных задач характеризует потери при принятии решения у, в то время как правильным является решение у.

Функция потерь должна удовлетворять следующим свойствам:

, , , (22).

Теперь можно сформулировать математически задачу выбора решения: на основе априорных данных о пространствах полезных сигналов S и помех N, распределениях вероятностей w(s) и w(n) на этих пространствах соответственно, способе взаимодействия сигнала и помехи и заданной функции потерь II(s, у) необходимо по полученному сигналу оптимальным образом найти решение — есть или нет сигнал от цели.

Слайд 33

Поскольку появление s, на входе приемника и принятие решения являются случайными событиями, то значение функции потерь — случайная величина.

Поэтому качество решения можно характеризовать математическим ожиданием функции потерь

(23)

где — совместная вероятность появления на входе приемника сигнала , и принятия решения .

Величина характеризует средние потери при принятии решения и называется средним риском.

Чем меньше средний риск, тем лучше решение (наилучшим (оптимальным) решающим правилом будет такое, для которого значение среднего риска будет наименьшим).

Слайд 34

3.1 Критерий минимума среднего риска

Правило, при котором минимизируется средний риск, называется байесовским правилом, или байесовским критерием.

Часто его также называют критерием минимума среднего риска.

Запишем колебание на входе обнаружителя:

Случайная величина принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и 1-р соответственно.

Характеристики

Список файлов лекций