Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Целью моделирования является оценкауГд"!*^! г Г^**[_Ц Q [_J ^ 1—i—i~математического ожидания М [у] величины\zll | L - i l Т — I fy L—J Iу. Зависимость последней от входногоi'воздействия х и воздействия внешней среды^ 4Л CtpyKI№auс х е м а систе.v имеет вид y=\x1+v1.мы £„В качестве оценки математическогоожидания М [у], как следует из приведенных теорем теории вероятностей, можетвыступать среднее арифметическое, вычисленное по формулеу-- I л"1-1где у( — случайное значение величины у; N — число реализаций, необходимое длястатистической устойчивости результатов.Структурная схема системы SR показана на рис.
4.1.Здесь элементы выполняют следующие функции:вычисление В}:х, = 1 -t'Xl и В2: «/=1 -е - "';возведение в квадрат Кх:\2- 2;КV •:ЛГ=(1-еА » _ П __» т>Л2А;=(1-е "')') 2 !21,9суммирование С:Л,=(1-е- "Т* *+. ( 1 - еизвлечение квадратного корня И:т') 2 ;,,-Vd-e V + O-e'VУ,Схема алгоритма,' реализующего метод статистического моделирования дляоценки М\у] системы SR, приведена на рис. 4.2. Здесь ЬАя FI — функции распределе111ния случайных величин Я и <р; N — заданное число реализаций; I=i — номер текущей реализации; LAT=X,; FII =</>,;ГПуск}•fInВИД[Н,ЬЛ,Щ\u—-тт.—_9L_EXP^e; MYmM\y], SYs £л— сумми---[SY=0Урующая ячейка; ВИД [...], ГЕН [...],ВРМ[...] — процедуры ввода исходныхгенерации псевдослучайных по||" ГЕН [ Ы 1 ]' f~MY=SY/N | данных,следовательностей и выдачи результатовмоделирования соответственно.Г— 4- 'Таким образом, данная модель позво|[_£РЛ|[МУ]_ ]XI=I-EXP(-LAI)ляет получить методом статистическогомоделирования на ЭВМ статистическую[f~rgfl[FHj ||(_ ОстаноВ ) оценку математического ожидания выходной характеристики М\у] рассмотреннойстохастической системы SK.
Точность\vi=1-EXPl-FU)и достоверность результатов взаимодейIствия в основном будут определяться чисzYIz*/XI +VI*лом реализаций N.Пример 4.2. Необходимо методом ста-8тистического моделирования найти оцен| s Y=S Y + Y I |ку площади фигуры (рис. 4.3), ограниченной осями координат, ординатой а = 1и кривой у =/(«); при этом для определенРис.
4.2. Схема моделирующего алности предполагается, что 0</*(а)<1 длягоритма системы SRвсех а, 0 < а < 1 .Таким образом, данная задача является чисто детерминированной и ее аналитическое решение сводится к вычислению определенного интеграла, т. е. искомаяплощадь фигурыI=trN*-?/(•)*•оДля решения этой детерминированной задачи методом статистического моделирования необходимо предварительно построить адекватную по выходным характеристикам стохастическую систему SD, оценки характеристик которой будут совпадать с искомыми в данной детерминированной задаче.
Вариант структурнойсхемы такой системы SD показан на рис. 4.4, где элементы выполняют следующиефункции:Внешняя среда £Система SРис. 4.3 Геометрическая интерпретация оценки площади фигуры112Рис 4.4 Структурная схема системы SDвычисление В1 :л;= fix,);'I, если x, + i «/(**),анализ А:Л=<0 в противном случаемсуммирование С: А - Е Айвычисление В 2 : S-=Л'/МСистема SD функционирует следующим образом: получается пара независимыхслучайных чисел интервала (0, 1), определяется координата точки (х„ xi+i), показанной на рис. 4.3, вычисляется ордината y,-=/(xi) и проводится сравнение величину, и х 1+1 ; причем если точка (х„ х, + 1) попала в площадь фигуры (в том числе и накривую f{x)), то исход испытания считается положительным Л,= 1 и в итоге можнополучить статистическую оценку площади фигуры 5ф по заданному числу реализаций N.Логическая схема моделирующего алгоритма вероятностной системы SD представлена на рис.
4.5. Здесь Y= у =/(а) — заданная функция (табличная кривая);N—заданное число реализаций; / = / — номер текущей реализации; Х1=х(,яXIl=xl+1; Hlsh,; Sss; SHsh'=YА,—суммирующая ячейка.Таким образом, построение некоторой стохастической системы SD позволяетметодом статистического моделированияполучить оценки для детерминированнойзадачи.Пример 4.3. Необходимо методом статистического моделирования решить следующую задачу.
Проводится s= 10 независимых выстрелов по мишени, причемвероятность попадания при одном выстреле задана и равна р. Требуется оценить вероятность того, что число попаданий в мишень будет четным, т. е. О, 2,4, б,8, 10.Данная задача является вероятностной, причем существует ее аналитическоерешение:Р=1Cf0p"(l-P)10-".и-оВ качестве объекта статистическогомоделирования можно рассмотреть следующую вероятностную систему SP, структура которой представлена на рис.
4.6, гдеэлементы выполняют такие функции:анализ А^-и-если х,<р,в противном случае;юсуммирование С. h}= £ h„j=l, N;(Г/7yc/f ~ " )Г I —fl^ C/V, У]--£s"=fi§~ГЕН[Х1]\\\~°S = SH/N\~выч1нЦ||Ц~ ВРМ Cs3||Рис. 4.5. Схема моделирующего алгоритма системы SDВнешня* среда £Система SP) у •-!4<#ич1i•*»Рис. 4 6. Структурная схема системыSP113И, если hjчетное;(.0 в протнпротивном случае.Выходным воздействием в данной системе S, является событие четного числапопаданий в мишень в серии из десяти выстрелов. В качестве оценки выходнойхарактеристики необходимо при числе испытаний (серий выстрелов), равном N,найти вероятность четного числа попаанализ А'(Пуск31£\[~ВИД[И,Р] ||••[SY= О-+\С!1=1 rN УHI-01IГPY=SY/N|I- * \ ~ 3=1 т\0 )-| |Г BPMJPY]^ЛГШХ1]||(^ Останов^Логическая схема алгоритма статистического моделирования для опенки искомой характеристики такой системы Р(у) приведена на рис.
4.7. ЗдесьPsp — заданная вероятность попадания в мишень при одном выстреле;jV — заданноечисло - реализаций;юXlsxiHJshj- £ hbPYsP(y);SYs Y, yj — суммирующая ячейка.J-iВ данном моделирующем алгоритме после ввода исходных данных и реализации операторов цикла происходит обращение к генератору случайныхчисел, т. е. получаются значения xt случайной величины, равномерно распределенной в интервале (0, 1). Вероятность попадания случайной' величиныв интервал (0, р), где с < 1, равна длинеэтого отрезка, т. е. Р {х(<р} =р.
Поэтому при каждом моделировании выРис 4.7. Схема моделирующего алгострела полученное случайное числоритма системы SrXj сравнивается с заданной вероятностью р и при xi<p регистрируется «попадание в мишень», а в противном случае — «промах».
Далее моделируются сериииз десяти испытаний каждая, подсчитывается четное число «попадании» в каждойсерии и находится статистическая оценка искомой характеристики Р(у).Таким образом, подход при использовании статистического моделирования независимо от природы объекта исследования (будетли он детерминированным или стохастическим) является общим,причем при статистическом моделировании детерминированных систем (система SD в примере 4.2) необходимо предварительно построить стохастическую систему, выходные характеристики которой позволяют оценить искомые.Отметим, что во всех рассмотренных примерах не требуетсязапоминания всего множества генерируемых случайных чисел, используемых при статистическом моделировании системы S.
Запоминается только накопленная сумма исходов и общее число ре114ализаций. Это немаловажное обстоятельство вообще является характерным при реализации имитационных моделей методом статистического моделирования на ЭВМ.4.2. ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕДУРЫИХ МАШИННОЙ ГЕНЕРАЦИИПри статистическом моделировании систем одним из основныхвопросов является учет стохастических воздействий. Количествослучайных чисел, используемых для получения статистически устойчивой оценки характеристики процесса функционирования системыS при реализации моделирующего алгоритма на ЭВМ, колеблетсяв достаточно широких пределах в зависимости от класса объектамоделирования, вида оцениваемых характеристик, необходимой точности и достоверности результатов моделирования.
Для методастатистического моделирования на ЭВМ характерно, что большоечисло операций, а соответственно и большая доля машинноговремени расходуются на действия со случайными числами. Крометого, результаты статистического моделирования существенно зависят от качества исходных (базовых) последовательностей случайных чисел.
Поэтому наличие простых и экономичных способовформирования, последовательностей случайных чисел требуемогокачества во многом определяет возможность практического использования машинного моделирования систем [31, 37, 46].Рассмотрим возможности и особенности получения последовательностей случайных чисел при статистическом моделированиисистем на ЭВМ. На практике используются три основных способагенерации случайных чисел: аппаратный (физический), табличный(файловый) и алгоритмический (программный).Аппаратный способ.
При этом способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой — генератором (датчиком) случайных чисел,— служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этогоспособа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима толькооперация обращения к внешнему устройству (датчику). В качествефизического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел,чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т.
д.Рассмотрим принцип получения случайных чисел от приставки,основанный, например, на эффекте шума в полупроводниковыхприборах.Структурная схема аппаратного генератора случайных чиселприведена на рис. 4.8, а. Здесь ИШ — источник шума; КС — ключевая схема; ФИ — формирователь импульсов; ПС — пересчетнаясхема. При усилении шумов на выходе ИШ получается напряжение115Ыш(0, которое является случайным процессом, показанным на временной диаграмме рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
