Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (2001) (1186219), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

4.8, б. Причемотрезок шумовой реализа­ции и, (0, сформированныйна интервале времени (О, Т)г tс помощью КС, содержитслучайное число выбросов.Сравнениенапряжения1 I'll I i 4UI III IЫх(0 с пороговым Un позво­ляет сформировать на вы­ходе ФИ серию импульсов«ф(0- Тогда на выходе ПС4 *i+;tможет быть получена по­Рис. 4.8. Аппаратный способ получения слу­следовательность., случай­чайных чиселных чисел x,(t). Например,если провести масштабирование и принять длину интервала (0, 7)за единицу, то значения интервалов времени At,=ti+l — t) междусоседними импульсами u$(t) будут случайными числами дс(е(0, 1).Возможны и другие схемные решения аппаратных генераторов слу­чайных чисел [29, 37].

Однако аппаратный способ получения случай­ных чисел не позволяет гарантировать качество последовательностинепосредственно во время моделирования системы S на ЭВМ,а также повторно получать при моделировании одинаковые после­довательности чисел.Табличный способ. Если случайные числа, оформленные в видетаблицы, помещать во внешнюю или оперативную память ЭВМ,предварительно сформировав из них соответствующий файл (мас­сив чисел), то такой способ будет называться табличным. Однакоэтот способ получения случайных чисел при моделировании системна ЭВМ обычно рационально использовать при сравнительно небо­льшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, когда дляхранения можно применять оперативную память.

Хранение файлаво внешней памяти при частном обращении в процессе статистичес­кого моделирования не рационально, так как вызывает увеличениезатрат машинного времени при моделировании системы S из-занеобходимости обращения к внешнему накопителю. Возможныпромежуточные способы организации файла, когда он переписыва­ется в оперативную память периодически по частям. Это уменьшаетвремя на обращение к внешней памяти, но сокращает объем опера­тивной памяти, который можно использовать для моделированияпроцесса функционирования системы S.Алгоритмический способ. Способ получения последовательностейслучайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМс помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ.v/sA^V^A/116Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующейпрограммы по мере возникновения потребностей при моделирова­нии системы на ЭВМ.Таблица 4.1НедостаткаДостоинстваТребуется периодическая про­Запас чисел не ограниченРасходуется мало операций веркаНельзя воспроизводить после­вычислительной машиныНе занимается место в памяти довательностиИспользуетсяспециальноемашиныустройствоНеобходимы меры по обеспе­чению стабильностиТабличныйЗапас чисел ограниченТребуется однократная про­Занимает много места в опе­веркаМожно воспроизводить по­ ративной памяти или необходи­мо время на обращение к вне­следовательностишней памятиАлгоритми­Требуется однократная про­Запас чисел последовательно­ческийверкаМожно многократно воспрои­ сти ограничен ее периодомзводить последовательности чи­Существенные затраты ма­селшинного времениЗанимает мало места в памятимашиныНе используются внешниеустройстваСпособАппаратныйДостоинства и недостатки трех перечисленных способов получе­ния случайных чисел для сравнения представлены в табл.

4.1. Изэтой таблицы видно, что алгоритмический способ получения слу­чайных чисел наиболее рационален на практике при моделированиисистем на универсальных ЭВМ.Генерация базовой последовательности. При моделировании си­стем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий лю­бой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных(базовых) процессов и к их последующему функциональному преоб­разованию.

Вообще говоря, в качестве базового может быть принятлюбой удобный в случае моделирования конкретной системы ^про­цесс (например, пуассоновский поток при моделировании Q-схемы).Однако при дискретном моделировании базовым процессом явля­ется последовательность чисел {xi}=x0, xlt ..., xN, представляющихсобой реализации независимых, равномерно распределенных на ин­тервале (0, 1) случайных величин {Q = £0, £u ..., £N или — в стати­стических терминах — повторную выборку из равномерно распре­деленной на (0, 1) генеральной совокупности значений величины« [29, 37, 46].Непрерывная случайная величина £ имеет равномерное рас­пределение в интервале (а, Ь), если ее функции плотности117(рис. 4.9, а) и распределения (рис.

4.9, б) соответственно примутвидО,{х<я,(х-а)/(Ь-а),а^х4:Ь,1,х>6.Определим числовые характеристики случайной величины {,принимающей значения х,— математическое ожидание, дисперсиюи среднее квадратическое отклонение соответственно:ььM\Z\4 xf(x) dx=\xdxl(b-a) = (a+b)l2;D\Z\=$(x-M\£\)2f(x)dx=(b-a)2ll2;<rt=+y/D\e\ = Q>-a)l<fr/3).При моделировании систем на ЭВМ приходится иметь дело сослучайными числами интервала (0, 1), когда границы интервалаа = 0 и Ь=\.

Поэтому рассмотрим частный случай равномерногораспределения, когда функция плотности и функция распределениясоответственно имеют вид{0, х<0,fix) \o, x<0, x>l;х, 0 < х < 1 ,1, х > 1 .Такое распределениеимеет математическое ожидание М[€] = 1/21и дисперсию D[£\ = I12Это распределение требуется получить на ЭВМ. Но получить егона цифровой ЭВМ невозможно, так как машина оперирует с празрядными числами.

По­этому на ЭВМ вместо непре­рывной совокупности равно­мерных случайных чисел ин­тервала (0, 1) используютдискретную последователь­ность 2" случайных чисел то­го же интервала. Закон рас­пределения такой дискрет­ной последовательности наРис.

4.9. Равномерное распределение слузывают квазиравномернымчайной величины118распределением.Случайная величина £, имеющая квазиравномерное распределе­ние в интервале (0, 1), принимает значения JC,=Z/(2"—1) с вероят­ностями pi= 1/2", 1=0, 2я—1.Математическое ожидание и дисперсия квазиравномерной слу­чайной величины соответственно имеют видг 1~'11'2'-1 .Щ&= У - = - - = — - — У i=L J^*->•)« 1 t*= 0 2"-12"~ 0 2"|_2"-1(2"-1)2",toЛ"I V } " А-"2j_ 1 /(2"-1)2"(2" +1 -1)~2"\6(2"-1)2(2"-1)2"1(2"-l)2"222" ,Г 0 \(2"-1) 22"-l+V(2"-l)2"l\_l2"+l2(2"-1)у \ 2 ? - \Таким образом, математическое ожидание квазиравномернойслучайной величины совпадает с математическим ожиданием рав­номерной случайной последовательности интервала (0, 1), а диспер­сия отличается только множителем (2"+1)/(2" —1), который придостаточно больших п близок к единице.На ЭВМ невозможно получить идеальную последовательностьслучайных чисел хотя бы потому, что на ней можно оперироватьтолько с конечным множеством чисел.

Кроме того, для получениязначений х случайной величины £ используются формулы (алгорит­мы). Поэтому такие последовательности, являющиеся по своей сутидетерминированными, называются псевдослучайными [4, 29].Требования к генератору случайных чисел. Прежде чем перейтик описанию конкретных алгоритмов получения на ЭВМ последова­тельностей псевдослучайных чисел, сформулируем набор требова­ний, которым должен удовлетворять идеальный генератор. Полу­ченные с помощью идеального генератора псевдослучайные после­довательности чисел должны состоять из квазиравномерно рас­пределенных чисел, содержать статистически независимые числа,быть воспроизводимыми, иметь неповторяющиеся числа, получать­ся с минимальными затратами машинного времени, занимать ми­нимальный объем машинной памяти.Наибольшее применение в практике моделирования на ЭВМ длягенерации последовательностей псевдослучайных чисел находят ал­горитмы вида*+! = *(*.),(4-9)представляющие собой рекуррентные соотношения первого поряд­ка, для которых начальное число х0 и постоянные параметрызаданы [36, 37].119Определим качественно требования к виду функции Ф.

Напри­мер, легко показать, что функция вида (4.9), изображенная на рис.4.10, а, не может породить хорошую последовательность псевдо­случайных чисел х1г хг, ... Действительно, если построить точкис координатами (xt, x2), (х3, xj по случайным числам, полученным,например, из таблицы случайных чисел (табл. 4.2), то они будутравномерно распределены в единичном квадрате 0 < х ( ^ 1 ,0<JC ( + I< 1. Соответствующие же точки, построенные по числам (xt,Ф(*2))» (хз> Ф(.х*))> —. располагаются в площади, ограниченнойкривой хп i = Ф (*,).Хорошую последовательность случайных чисел может породитьтолько такая функция х,+1 =Ф (*,), график которой достаточно плот­но заполняет единичный квадрат.

Примером такой функции можетслужить xi+i=/J(Ax!) при больших целых положительных А, гдеД(и)=и—Ц(и) — дробная часть числа и; Ц(и) — целая часть числаи, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее и. Пусть дляпримера А = 10, тогда функция х1+1=Ф(х1) будет иметь вид, пока­занный на рис. 4.10, б.

Приведенные условия являются тольконеобходимыми, но не достаточными для того, чтобы соотношение(4.9) порождало хорошие последовательности псевдослучайных чи­сел.Рассмотрим некоторые процедуры получения последовательно­стей псевдослучайных квазиравномерно распределенных чисел, ко­торые нашли применение в практике статистического моделирова­ния систем на ЭВМ.Одной из исторически первых процедур получения псевдослучай­ных чисел была процедура, получившая название метода середин­ных квадратов. Пусть имеется 2л-разрядное2число, меньшее 1: х,=0,at а2 —а-ъ,. Возведем его в квадрат: дс, =0, bl Ьг ... Ь4п, а затемотберем средние 2л разрядов xt+l=0, fc„+I Ья+2 — Ь3„, которые и будутявляться очередным числом псевдослучайной последовательности.Например, если начальное2 число лсо=0,2152, то (х0)2=0,04631104,т.

е. *!=0,6311, затем (xj) =0,39828721, т. е. х2=0,8287, и т. д.Недостаток этого метода — наличие корреляции между числа­ми последовательности, а в ряде случаев случайность вообщеможет отсутствовать. Напри­мер, если х0=0,4500, то(JC0)2 = 0,20250000, x 1 = 0,2500,(JCJ)2 = 0,06250000, JC2 = 0,2500,(JC2)2 = 0,06250000,x 3 = 0,2500и т.

Характеристики

Список файлов книги