Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 46
Текст из файла (страница 46)
в Построение <раекторий рассм<л ренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданиями по сферам. З.г. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Траекторию предыдущего пункта можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле (гл.5, п.5.5). Пусть па границе 6' области 6 задана ограниченная функция п(Р). ОбознаР„,' чим через и(Р) искомое решение, / удовлетворяющее внутри 6 уравне- нию (7) и обращающееся в д(Р) / при Рен6о. Фиксируем достаточно малую ,з окрестность 6, границы 6о (рис.
l 72). Чтобы вычислить и(ро), будем строить траектории вида Р„-Р Я<— до тех пор, пока слу- о чайная точка Яу не попадает в 6,. Рнс. 72. Пусть Є— ближайшая к Я, точка границы 6о. Моя<ем считать, что значение случайной величины и(Я») приближенно равно и((1 ) ма(Р,). Построив й/ траекторий такого типа, получим значения д(Р,,), ..., д(Р» ), по которым оценивается искомое решение и и (Ро) ж у ~/ д(Р, ). Заметам, что сходимость по вероятности Я ';Р (().)- (Р.), А/ т=< когда /У-нее ие вытекает из теоремы Хинчина (стр.
87), ибо в сумме (8) фигурируют А/ различных случайных величин, различающихся правилами выбора 1,, 1ь... Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел — теоремой Чебышева: осли величины т)<,..., Ч, ... независимы и существуют МЧ» а, и 1)Ч» <С, то лРи А/-+ оо т) — -~ а -+О. 1 1 Р А/ 1 й/, (доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине (1//У) (Ч<+... + Чм) неравенство Чебышева, стр.
141), Ф «1 ПЫ'Н!СЛЕНР!Е Пг!НЕРОПСКНХ ИНТЕГРАЛОВ 287 В нашем слУчае зсе Мп (Оч ) п(Рд), з ДиспеРсии гэп (Цч!) < «миз (я )мСэ, где С = зцр ]п(Р) ], В самом деле, изи известно Рсач [881, максимум и минимум гзрмоиичесиой фуииции достигаются иа грз!!ицс области, тзк что ]п(Р) ]<С при всех Рсмб. Такой метод расчета и(Ро) считается более быстрым, чем метод п.5.5 гл.5,так как вдали от границы 6о позволяет делать большие шаги (Г„). Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы 1„. Впрочем, аккуратного численного сравнения этих методов автор не видел. Изложсииый метод был прсдлоиссн Д!к.
Брауном [6] и обо«- позли М. М!оллером [162], который доказал, з частности, что исроятиость того, что траектория Ргг-» !«;» ... Я„-» ... ициогдз ис попадет и б , равна нулю. Дальнейшее развитие метода — ор. о гзииззцпя зависимых испытзаий, решение урззисипй более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для иогорых изисстиы функции Грина) — имеются и работах [28, 30, 66].
~Р[х! Г]!Рх, (9) где С вЂ” пространство всех непрерывных на отрезке 0<Г<Т функций х((), удовлетворяющих начальному условию х(0) =О, а г[х(1)] — произвольный непрерывный и ограниченный функционал, заданный на С. Прп определении меры Винера здесь, кзи и п [!6], коэффпцисит диффузии Р полагается равным 1рп этого зсггдз мол!по добиться измсисиием масштаба времени, Пусть х=-8(!) — коордпизгз $4. Вычисление вннеровских интегралов Решения многих задач теории вероятностей, статистической и квантовой физики, теории дифференциальных уравнений могут быть выражены через так называемые коптннуальные интегралы [!6]. Вычисление континуальных интегралов классическими методами весьма сложно, хотя некоторые «квадратурные» формулы для этого имеются [12, 123).
Методы Монте-Карло для расчета таких интегралов были, по-видимому, впервые использованы в работе И. М. Гельфанда и Н. Н. Чепцова [15). 4П. Винеровскне интегралы. Чаще других встречаются континуальные интегралы по мере Винера, называемые обычно винеровскижи интегралами: НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДЛЧИ 1ГЛ В частицы, совершившей броуновское движение вдоль оси Ох, нвчинвшшесся ив точки в(О) О. Если ))=П4, то плотность вероятностей $ (1) равна (Л) ( )) — П2 — 1егц1 Рассмотрим случайную траекторию х=$(!) частицы, совершаюшей броуновское движение, с начальным условием $(0) =0 (такую траекторию называют также винеровским процессом (7!]).
Тогда математическое ожидание случайной величины г[$(Г)] равно интегралу Мрге(г)1= 1Г(х]г! х. с Отсюда вытекает простейший метод Монте-Карло для расчета интеграла (9) лг ] Р [х] Агх ж †.л!) Р Йм)], а = й1,„1 где $111(!),..., ф1н1(1) — независимые реализации броуновской траектории х=$(г). 4.2. Приближенное построение броуновских траекгорий. Укажем два способа приближенной реализации таких траекторий.
В обоих способах отрезок (О, Т] де. лится на и равных частей абсциссами о=го<(1<(2(... (! =т, ()!) разыгрываются случайные значения траектории ф(й), и Рис. 13. полученные точки ()„$(й)) на плоскости Г, х соединяются отрезками прямых (рис. 73). Построенная ломаная и есть приближенная броуновская траектория. [г ° ВЫЧИСЛЕНИЕ ВИНЕРОВСКИХ ИНТЕГРАЛОВ 289 В приведенных ниже расчетных формулах ь!, ьт, —...— это независимые нормальные случайные величины с параметрами а=О и о'=!. Первый способ основан непосредственно на определении броуновского движения: так как условное распределение $(1,) при известном значении ~(1, !) нормально с параметрами а=5(1; !) и о'=(1/2) [1,— 1, л[, то при 1=1,2,..., п $(1!) = 8(1т !) +')(Т((2п) ьь $ (Т(2) = — Я (0) + $ (Т) ) + )г'Т(8 ~з! ~ (Т(4) = ! Б (О) + ~ (Т(2)) + У т(18 т; 8(зт(4) = 2 к (Т(2) +; (Т)]+)(Т([ыл! $ (Т(8) = —, [$ (О) + $ (Т(4) [ + )''ТГ32 (а, Численный пример [8).
Вычислить пинероиский интеграл, точное значение которого иззеснни )[1 [[ ~м.=,, 1 гле ! [[ л [[а = ) ге 111 И(. Формула (12) с начальным условием $(0) =0 позволяет разыграть все значения й(1,). Второй способ [14, 48) основан на том, что если значения $(1') и й(1л) известны, то условное распределение значениями ~- (1 + '")1 также нормально с параметрами 11 р 12 а= (1/2) 1Д(1')+$(1п)1 и о'= (1/8) /1" — 1'[. Пусть п=2'". Используя условие 5(0) =О, мои!по разыграть значение $(Т) = с(0)+'р'Т(2ьт (это фактически формула (12) при и=1), а затем разыгрывать остальные значения $(1,) в серединах отрезков: 290 некоторые другие зад!г!и !Гл а Случайные траектории будем строить вторым способом при п=4.
Расчетные формулы; $(1) =0 707!1ьь $(!/2) =055(1)+035355(м 5(1/4) 0,5$(1/2)+0,25!з, 5(3/4) = 05 [$ (1/2) +5(1) ]+О 25ь!. Значение функпионала 1!х!!з на ломаной вычисляется точно: на каж- дом отрезке можно аоспользоааться формулой ь Ь вЂ” а /' (1) 81 = †, [/' ( ) + / ( ) / (Ь) + /* (Ь)] а которая точна для фуикпнй /(!), линейных на [а, Ь]. Получим рас- чстнуго формулу й ц = — 12 (5з (О) + 25з (!/4) + 24 (1/2) + 2ьз (3/4) + йз (1) + 1 + 5 (0) 5 (1/4) + $ (! /4) $ (1/2) + $ (1/2) $ (3/4) + $ (3/4) 5 (! )) . Результат расчета, выполненного а [8] при /Ч= 1О, случайно оказался исклшштельно хорошим: !о ~ 15(,!!1 =0,2587. 5=! В самом деле, так как /! га 7 1 1 () (]! 5ь 1(з) ~ 1 х()!!1 и х ~4 ) ) 48 16 !2 ' то прн ЬГ=!О вероятная ошибка г!а=0675/У!20=0062 (именно такой порядок имеет погрешность, если взять всего девять из сосчитанных десяти траекторий).
Кроме статистической ошибки из-за малого значения ЬГ, возможна еше ошибка от замены траекторий ломаными, т. е. из-за малости а. 4.3. Замена континуального интеграла многомерным. Фиксируем разбиение (11) отрезка 10, Т~ и условимся каждую непрерывную кривую х(1) заменять ломаной х(1), совпадающей с х(1) во всех точках деления: х (1!) = х ((!) = хг, ! = О, 1, ..., а.
Значение функционала г"[х] на таких ломаных можно ВЫЧИСЛЕНИЕ ВИНЕРОВСКИХ ИНТЕГРАЛОВ Ю! рассматривать как функцию от и переменных: ЦХ1 =Р(хь..., х„). Известно [16, 89), что л!2 ) Р[х)АРХ =1нп [ —,1 ) ... ) Р(х„..., х,) а л екр ~~ (хг — хг !) г(хч ... с(х . 1=! Позтому для прнблнжепного расчета интеграла (9) можно вычислять многомерные интегралы, стоящие справа, прн достаточно больших л. Можно, в частности, Использовать методы Монте-Карло (гл. 3 н 4). В статьях [124, 12$, !73, 17З] методамн Монте-Карло вычисли- ются континуальные интегралы, к которым сводятся некоторые яадачи теории обыкновенных дифференциальных уравнений и, в част.
ности, уравнения Шредингера (другие методы Монте-Карло для расчета уравнения Шредингера рассмотрены в работах [27, !12, 122, 146, 1бз)). ПРИЛОЖЕНИЯ Вспомогательное неравенство Пусть в области С задана неотрицательная фуннция р(Р) )О. Рассмотрим дее произвольные функции и(Р) и о(Р), принадлежащие Вз(6; р). За~да справедливо неравенство ) пор АР1 < ) и'р г(Р) о'р г(Р о 1 о с Д о к а з а т е л ь с т в о.
Запишем очевидное неравенство ) [Гп (Р)+ о (Р)[з р(Р) АР > О. о где à — любое действительное число. Это неравенство можно переписать в виде (з) пер г(Р+ 2() порбР+) озрлР > О. о с 6 Как известно, квадратный трехчлен АР+2Вг+С, где А)0, неотрпцателен при всех -ос<1<со тогда и только тогда, когда В' — АС<0. А в нашем случае неравенство В'<АС совпадает с (1). Неравенство (1) прсдсгавляет собой одну из известных форм неравенства Коши — Буняковского, называемого также неравенством Шварца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
