Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Аналогично, при конкурирующей гипотезе Н (р ) ) 0,5) критическое мноягество в силу формулы (28) определяется неравенством )> ) и — т ((), и). Оба рассмотренйых кРитерия односторонние, их истиняые уровни значимости не превосходят >,). Наконец, если конкурирующая гипотеза повит «двустбронний» характер: Н (р мь 0,5), то критическое множество соответствующего двустороннего критерия задается неравенством шш ()>, и — )е) ( т Щ, и) и истинный уровень значимости не превосходит 2>',). Так как при возрастании и на единицу приращение функции т Равно либо единице, либо нулю, то можно определить «обратную» функцию Л', полагая при кая'дом фиксированном ы=0,1,2,...
Л> (е,>, )>) = ппп (и), (29) ю1Я, и>-и где минимум вычисляется на множестве тех и, для которых выполняется равенство т (>), и) = = )>. С помощью Л' ((), )») неравенства, определяющие критические мнояеества трех рассмотренных критериев, можно записать в эквивалентной форме: и ) Л> ((), )>) для Н (р ( 0,5), и )~ Л> (О, и — Р) для Н (р ) 0,5), (30) и > Л'(Ч, ш>п()>, и — )>))для Н (р ~ 0,5).
Согласно определению (29) прн фиксированных Ч и )» значение функции Л' является целочисленным решением неравенств Р)г ()>, Л>) ( 1',), Ц,' ()» Лг 1) ~ г) нли, что то же самое (см. формулу (26))„ Хе, е (Р + 1~ Л ' — )е) ~) 1 — Д, 1,, (ы + 1, Л' — н — 1) < 1 — 0. Следовательно, если Л™ — решение урав пения 1«..(9+1, Ле — Р) =1 — )',), то Л>е, если Л>е — целое, ( 1 + [Л'*[, если Л'* — дробное, где (Л'е) — целая часть числа Л>е. Приближенно значение Л>е можно вычислить по формуле (5.12), в которой следует положить р = 0,5, т = )> + 1 и Р = 1 — >). Практически, однако, более пелесообразнд восполь- зоваться нормальным приближением Л'Ф Р)=1+ ~(~/ 4 '["(1 — О)+2Р+1+ +ФЧ"(1 — д)Н, (31) где Ч' (Р) — функция, обратная функции нор- мального распределения с параметрами (О, 1) (см таблицу 1.3).
В таблице 8.6 даны верхние критические значения Л) © )») для () = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 )> = 0 (1) 50. При )« .э 50 функцию Л' (0, )>) можно вычислять приближенно по формуле (31). Так как случайная величина )> распреде- лена дискретно, то истинный уровень значи- мости 1)е критерия для проверки гипотезы Н(р= 0,5) не совйадает с () (()е ( >)). Для определения ()е следует по таблице 6.6 найти т = т (Ч, и), удовлетворяющее неравенствам Л> (Г,), т) ( и ( Л> (ь), т + 1), и вычислить ()е по формуле м>, и) с ( — ')"= = 1, > (и — т (Д, и), т (>,>, и) + 1) = ф~2т[О, п) — в+1~ (см.
таблицы 1 1, 3.3 и 5.1), В том случае, когда найденное по таблице 6.6 значение Лг (ч, )>) используется как верхний дпверителвный предел дяя параметра и, истин- ный коэффициент довеРия определяется как условная вероятность *) события (Л>((), )») ) и) при фиксированном жо, п) '~,т~ С; ( 1 )ля, и) 1=в+1 =1., (О+1.Л'(д Ф) — Р)= (. 2н — >ч [О, д) + 1 ~ У)уй д) «Р [ д> (О )>) — 2~ — 1 ~ У >У (О д) ") Точнее, здесь речь идет о так навь>ваемой схеме Пойа (см.
[Щ), когда и еаранее не фннснруется н испытания продолжаются до тех пор, пока количество положительных исходов не станет равным )е+ 1. В этой схеме и = случайная величина, а )> — варанее заданное числа. Пусть, папрз;:ер, п = 25 и р = 6 (в 25 испытаниях хсайлюдалось 6 «положительных» исходов), и пусть требуется проверить гипотезу Н (р = 0,5) при односторонней альтернативе Н (Р < 0,5). Согласно формуле (30) для этого случая критическое множество определяется неравенством п ) Л' ((7, )х).
Положим О = — 0,05, тогда по таблице 6.6 йандем Лс (0.05; 6) = 21 < 25, следовательно, по критерию с номинальным уровнеы значимости (7 == 0,05 гипотеза Н (р == 0,5) должна быть отвергнута. Так как )У (0,05; 7) =. 23 < 25 < 26 = Л'(0,05; 8), то в данном случае хп (0,05; 25) = 7 и, значит, согласно формуле (32) истинныи уровень зпачпяости равен (см. таблицы 5.1 и 1.1) т чч . /1~эх 0* =- ~ Сг ~ 2 ) =0,0216хкФ( — 2) =0,0228 х=э (относительная погрешность приближенного значения не более 6ээ).
Если бы и было неизвестно и ЛГ Я, р) использовалось бы в качестве верхнего доверительного предела, то по форыуле для Ре истинный коэффициент доверия приближенно равнялся бы Ф (8(Р'21) = 0,9596. Наиболее типичными для статистпческои практики являются следушщие примеры приложений критерия знаков: Пусть йь йх,..., 5п — взаимно независимые случайпые величины, распределенные одинаково и непрерывно, и пусть требуется проверить гипотезу, согласно которой медиана неизвестного теоретического распределения принимает значение х (медпаной называют квантиль теоретического распределения, отвечаю- щусо вероятности 0,5; медиана симметричного распре- делсгия совпадает с математическим ожиданием).
Если гипотеза верна, то при всех с вероятности событий (Гс < х) и (бс ) х) одинаковы и равны 0,5. Поэтому в качестве статистики критерия можно выбрать коли- чество р тех величин бь для которых йс — г > О, и прп- менить критерий знаков. В частности, если (ям Вт) Ях Ы ° (Зп $„)— вааимно независимые и одинакова распределенные дву- мерные случайные величины с невырожденной плот- ностью вероятности р (х, г') и требуется проверить ги- потезу р (х, х') = р (х', х) (для неаавнсимых компо- гент $ и э' такое равенство означает, что $ и $' распреде- лены одэнакозо), то для-этой цели момспо снова приме- нить критерий знаков. Если гипотеза верна, то равности ь, = йс — $„ распределены симметрично относительно нуля, т.
е. относительно г = О. Статистикой р здесь яв- ляется койичествп положительных разностей 2. Пусть Чс < Чх < ... < т)п — те же величины (с, что и прежде,но расположенные в порядке возрас- тания их энаяенкн. Так как события (Чт < х) и (р < < п — )с) эквивалентны, то согласно формулам (27) и (28) имеем г(Ч СО „< )й н(Р<п — ю©и) — 1)>1 гз, Р (Чт(О, и)+г < г) = " ((г ". " ю Ю, и) — 2) < 1 — 17. ПоэтомУ Ч~ СО пкс — нижний доверительный предел для теоретической медианы г, соответствующей номи- нальному коэффициенту доверия 1 — (7. Аналогнчио, — верхний доверительный предел для х.
Оба предела не зависят от теоретическою распределе- ния, которое может быть наизвестным. Доверительный тштервал для медианы аадается неравенствами Чмш,п7м < г < Чи-мсо, и> и имеет номинальный коэффициент доверия 1 — 2Ц.
Истинный коэффицпент доверяя равен 1 — 2()" и оп- ределяетсп формулой (32), 3. Пусть $1 и " — независиыые случайные величины, подчиняющиеся распределению Пуассона с параметраыи )ч и Хг соответственно (см. описание таблиц 5.3 и 5.5). Требуется проворить гипотезу )ч = й = ).. Если эта гипотеза верна, то (Р+))) ' Сгм~ 2/ и Условное РаспРеделение $, пРн Условии, что ьт + ьх = = п, выражается формулой г)сг Р (бг = йс ) Гг + бх = п) 9 С„ ~ †) (7с = О, 1, 2, , п) Поэтому для проверни гипотезы )ч = 7 г можно воспользоваться крвтернем знаков. В зависимости от конкуркрусощих гипотез критические ъсножоства будут задаваться неравенствами (см.
формулу (30)) и ) Лс ((7, $т) д Н (Л, < Лх), и ) Лс ((), и — ст) для Н (Х, ) )ч), п ) Л' ((), ш!и Дм п — Ьг)) для Н (Л; Ф 7 г). Подробнее о критерии знаков и его првложепяях см. (28, 83). Таблица 6.6 составлена в отделе математической статистики Математического института АН СССР и представляет собой расширенный и несколько преобразованный вариант таблицы 36, опубликованной в сборнике (Т271. Таблица 6 7. Крятпчеокяэ значения для количества перый Рассмотрим последовательность а а Ь а а а Ь Ь Ь Ь ... а Ь Ь, (ЗЗ) состоящую пз т элементов а и и элементов Ь (всего в последовательности т + и элементов).
Назовем сериями части нашей последовательности, каждая пз которых состоит из элементов одного вида. Например, последовательность (33) начинается серквй аа, затем идет серия из одного элемента Ь, далее — серия ааа и т. д. Последовательность типа (33) может быть записана С™+п разлпчпымк способами. Если данная последовательность получена как результат эксперимента, в котором появления всех возмоясных С +п варкнктов одинаково вероятны, то говорят, что элементы а к Ъ в последовательности (ЗЗ) расположены случайно. Пусть у — общее количество серий в данной последовательности.
Требуется ответить нв вопрос, ке противоречит ля наблюденное количество серий гипотезе Не о случайности расположения элементов а и Ьу Прп этом, твк как элементы а и Ь равноправны, бэз ограничения общности можно считать, что т ~( и. Как показано в работах (26) и 1118), случайная величина у принимает зпачеппя г = =2, 3, ..., 2т+1(прп т(и) нля г =2, — 92 3,..., 2т (при т = и) с вероятностями Р(у =г(т, и) = 2С» ~ С» » 5 если г = 2/с, Ст+п С» С» ' + С» » С" + л ели г=2/с-ь1 Слп лн.п Непосредственными вычислениями можно уоедпться, что 2тп 2тп (2слп — т — п) М =1+, 0 + т+п ' У (т+п)»(т+п — 1) (34) М вЂ” М 2тп (п — т\'- (4тп — Зт — Зп) (т+ п)' (и»+ п — 1)(гп+ п — 2) Если т-» оо и т/и ь с) О (с = сопз1), то Р(у(г~т,п)=Ф( ' У ~)+0(=), (35) где Ф (х) — функция яормальвого распределения с параметрами (О, 1).
Оценка остатка е равенстве (35) равномерна относительно всех г (это равенство лишь поправкой на дискретность распределения у отличается от соответствующего равенства в работе [261), Если отношение тlи мало, то нормальная аппроксимация распределения количества серий может оказаться ненадежной. В этих условиях полезна приближенная формула Р (у ( г ) т, и) /г х(Л/ — г + 2, г — 1) = = 1 — 1„(г — 1, /У вЂ” г + 2), (36) где 1„(а, Ь) — функция В-распределения с параметрами и и Ь (см. описание табл. 3.3) и 2тп х=1— (т+ п)(т + п — 1) Л— (т + п — 1)(2тп — т — п) (37) гп (т — 1) + п (п — 1) Нижнее л((7; т, и) и верхнее 6((/; т, и) критические значения для количества серий у, соответствующие уровню значимости»/ (О ( ( () ( 0,5), представляют собой целочислен- ные решения неравенств Р(у(д)т, и)~((), Р [у ( л + 1 ! т, и) ) (/, Р[у~С вЂ” 1 [т,и) »1 — С, (38) Р (у ( С вЂ” 2 ) и», и) ( 1 — /).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
