Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Для >за~> (0) относительная погрешность ве превышает 0,01%. Таблица 6.2 заимствована ич работы [Т19). О табулировании функций распределения статистик В„см. [ТЗ[. Таблица 6.3. Функция распределения Репьи В таблице даны (с шестью десятичными знакамн) значения функции распределения Репьи 5 (х) (см. формулу (8)) для х = 0,30 (0,01) ,'3,99. Вычисление >' (х) в тех точках х, которые не совпадают с табличными, рекомендуется выполнять квадратичной интерполяцией по формуле Бесселя (см. оппсание таблицы 6Л). Если х ) 3,99, то с погрешностью менее 5 10 ' имеет место приближенное равенство Ь (х) = 4Ф (х) — 3, где Ф (х) — функция нормального распределения 'с параметрами (0,1) (см. таблицу 1Л). Этим равенством рекомендуется пользоваться для вычисления Ь (х) при больших значениях х. Таблица 6.3 вычислена в отделе математической статистики Ыате>аатического института АН СССР.
Та б л и ц а 6.4а. Критерий едо. Функция распределения ддд(х) В таблице даны (с пятью десятичными знаками) значения функции распределения ад (х) (см. формулу (11)) для х = 0,01 (0,01) 1,49. Вычисление ад (х) в тех точках х, которые не совпадают с табличными, рекомендуется выполнять квадратичной интерполяцией (см описание таблицы 6.1). Таблица 6.4а вычислена в отделе математической статистики Математического института АН СССР. Функция, обратная в, (х), табулкрована ~ шагои 0,01 в работе 131.
г) вычислендди а (х) при больших аначениях х см. 135, 49). Таблица 6.4б. Критерий «до. Функция распределения ао(ю) В таблиц. даны (с пятью десятичными знакамн) значения функции распределения и х) (см. формулу (12)) для х = 0,00 (0,01) 4,0 (0,1) 9,0. Вычисление ~ (х) в тех точках которые не совпадают табличными, рекоиендуотся выполнять квадратичной интерполяцией (см. описание таблицы 6Л). Таблица 6,4б составлена по семизначной таблице функции а, ~г), вычисленной в отд=ле математической статистики Математического института АН СССР.
0 табулировании функций распределения статистик Й„при конечных значениях и см. 1'д 141. Асимптотическве формулы для ао (х) при больших значениях х указаны в работах ~35, 49). Таблица 6.5а. Критерий однородности двух выборов (критерий С"ирнова) В таблддце укаааны точные критические значения Р „0)) статистики О „(см. формулы (13) н (14)) для и =- 1(1) 20, лд = 1 (1) и и д',) = 1, 2, 5, 10'~о.
Для вычисления Р „(/7) по таблице 6.5а следует найти строку, соответствующую заданным т и и, и столбец, отвечающий заданному (). На пересечении такой строки и такого столбца указано целое число г (д/) (см. формулы (19)); искомое критическое значение равно отношению г (с/)//о, где /о = = /д (т, и) — наименьшее общее кратное чисел т и и — указано в последнем столбце. Прочерки в таблице 6.5а означают, что при данных значениях т, и и (7 любой исход эксперимента ке противоречит гипотеае однородности двух вьдборок (даже если эта гипотеза неверна).
В частности, прочерки должны были оы стоять во всех тех строках, где т = 1; для экономии места значения т = 1 из таблиц-д 6.5а исключены. Пусть, например, требуется определить Р „(()) для т == 3 и и:= 10, а танлде для ид = 10 и и =- 10. По таблице 6.5а в строке, соответствующей и =- 10 и т = 3, находим г(10')о) = 24, г (5%) = 27, г (2йо) =- 30 и г(13о) = 30. Так как в данном случае и = 30 то Р,; до (10%) = 24/30, Р,; до (5%) = 27/30, Ро; до (2 ой) = Рл д (1%) = 30/30. Иными словами, в первом случае критическими аначениями будут 0,8; 0,9; 1 и 1. Аналогичным образом, во втором случае в строке, отвечающей и = т = — 10, находим г(10%) = 6, г (5%) .= = г(2%) = 7 и г(1%о) = 8, поэтому искомые критические значения здесь равны 0,6; 0,7; 0,7 н д,8.
' В таблице 6.5а рядом с каждым критическим значением г ((/) укааан (с одним десятичным знаком) истинный уровень значимости, выраженный в процентах. Например, в строке ид = и =- 10 для критических аначений 6, 7, 7 и 8 приведены следующие истинные уровни значимости (в том же порядке): 5,2; 1,2; 1,2 и 0,29о. Таким образом, если при построении критерия однородности двух выборок в качестве критического значения выбрать 0,6, го истинный уровень значимости будет равен пе 10, а 5,2%. В кратком изло;кении основных свойств критерия однородности двух выборок упоминалось, что критические аначения односторороннего идвустороннего критериев при (/(10% связаны соотношением г ((/) = г' (()/2), поэтому ()-процентные точки статистики Р одновременно являются (0,5~)-процентными точками статистики Р~, „.
Иными словами, таблицу 6.5а можно рассматривать как таблицу критических значений Р „ф) для (л = 0,5; 1; 2,5; 5%. При этом истинные уровни значимости будут вдвое меныне указанных в таблице 6.5а. Например, если т = и = 10, то, как показано выше, Р+„,„(5%) = Р,„„, (10%) = = 0,6 и одностороннему критерию с таким критическим значением соответствует уровень значимости, равный 5,2%: 2 = 2,6%. При и ь 20 для вычисления Р,„(()) нли Р „((д) следует воспольаоваться приближенными выражениями (20), (21) илн (23), (24). Входящая о эти оыражения функция Ь (т, и) приближенно оценивается формулой (25) (точные аначения Ь для взаимно простых т и и, удовлетворяющих условию и + и ( 25, приведены в таблице 6.5б). Истинные уровни значимости, соответствующие приближенным критическим значениям, можно один тть по асимптотическим формулам (15), (16) илв (17), Например, при ид = 3 и и = 10, полагая г (()) = г+(0,5()), по уточненной формуле (20) получаем г (10%) = 22 д'(5%) — 25 г(2%) = 27 г(13о) — 29.
Так кас для» = 30/13 = 2,308 по таблице 6.2 Р» (10%) = 0,727, Р, (5%) = 0,798, Р» (2%) = — 0,865, Р (1%) =- 0,900 (эти числа найдены квадратичной интерполяцией), то согласно уточненной формуле (23) г (10%) = 22, г(5%) = 25, г (2%) = 27, г (1%) = 28. В обоих случаях функция Ь вычислялась по приближенной формуле (25). Ввиду того, что прн т = 3 и п = 10 возможные значения статистики г =- ЗОР „есть..., 21, 24, 27 и 30, найденные числа, соответствующие () = 10, 5 н 1%, следует считать точнльви, так как они эквивалентны точным значениям г (()), указанным выше (хотя и не совпадают с ними).
Лишь при ч = 2% приблинсенные формулы дали неверный результат: 27 вместо 28, 29 нли 30. Истинный уровень значимости для критического значения 27 равен 2,8%, поэтому результаты вычислений по приближенным формулам можно признать удовлетворительными даже в таком невыгодном случае, когда т = 3 и п = 10. Если т = п, то формулы (20), (21) или (23), (24) становятся не только более простыми, но и более точными. Например, при т = — и = = 10 согласно формуле (22) и приближенному разонству г (()) = г' (()12) имеем г(10%)= 6 г(5%) = 7, г(2%) = 7, г(1%) = 8. Такие же результаты получаются и по уточненной формуле (23). Найденные значения совпадают с точными, указанными в таблице 6,5а, При и = т = 20 точные критические значения совпадают с оценками по неуточненным формулам (21) или (24). Приведенные примеры показывают, что для проверки однородности двух выборок при и .
20 достаточно вычислить статистику Е'л' Е 1 » — т1 Р „— — с —. — 6* ~т, п)— т,в'(Э ЕА' критические значения которой близка к Р (~) (» = тпЕс"л'), указанным в таблице 6.2. Таблица 6,5а составлена в отделе матема. тической статистики Математического института АН СССР по таблицам критических значений 1Е тп!Л'Р „((7) [Т51, вычисленных для 1 ( ( т ( п ( 50, а также по таблицам (Т16), в которых табулированы функция распределения статистик Р„, „дспч 1 ( т ( и ( 10 Таблица 6.56. Критерий однородности двух выборок.
Значение функций Ь и Ь» В таблице даны (с тремя десятичными знаками) значения функций 6 (т, п) я Ьэ (т, п) (см. определение случайных величин Л „и Л», „в формулах (15) и (16), а также формулу (25)) для взаимно простых т и п, удовлетворяющих неравенствам 2 ( т ( п, ЬЕ = т + п ( ( 25. Если т = 1, то Ь = Ь* = 0 при всех п. Кроме того, при любом целом положительном Е справедливы равенства Ь (Ет, Еп) = Ь (т, п), Ьэ (Егп, Еп) = Ь* (т, п). Значения функции Ь (т, и) заимствованы из аналогичных четырехзначных таблиц, помещенных в (Т51 (в этих таблицах функция Ь обозначена символом ))л и вместо аргументов т н Е»" = т + п использованы аргументы и = т и ил = п).
КРИТРРНИ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРОСТЕПШИХ сВУНКс(ИгЕХ ОТ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК Таблица 6.6. Критерий знаков. Е(оверительные пределы для медианы Рассмотрим последовательность, состоящзю из п независимых испытаний, в каждом из которых могут осуществиться лишь два исхода: положительный (+) и отрицательный ( — ), Общее количество положительных исходов сл — случайная величина, подчиняющаяся бипомиальному распределению с параметрами (и, р), где р = Р (+) — вероятность положительного исхода в отдельном испытании. Функция биномиального распределения выражается формулой (5.1), Критерий знаков основан на статистике р я предназначен для проверки гипотезы равновероятности положительного и отрицательного исходов Р (+) = Р ( — ) нлн, что то же самое, р = 0,5. Если эта гипотеза верна, со согласно формуле (5.1) Р (Ел ( Ес ) и; 0,5) = И' (Ес, п), где прв Ес=О, 1,...,п РУ (Ес, п) = ~ С„( —,) = 1» л (и — Ес, lс + 1) = =1 — 1»л(6+1,п — lс).
(26) Нижнее т и верхнее М критические значения статистики р, соответствующие уровню значимости (7 (О ((7 (0,5), представляюз собой целочисленные решения неравенств Иг(т, и) ~(~Е, 1 И'(М вЂ” 1, п)~)1 — с,с, Иг(т+ 1, )) ЕЕ, / (р 9М вЂ” 2, ~)(1 — (). (27) Критические значения т = т ((е), и) и М = = М Я, и) являются неубывающими функциямя от и, удовлетворяющими условию т (ф, и) + М ф, и) = и. (28) Равенство (28) показывает, что значение функции М ((), и) является излишним. Для проверки основной гипотезы Н (р = = — ' 0,5) при конкуриру>ощей гипотезе Н (р ( ( 0,5) можно воспользоваться критерием, которому соответствует крйтическое Множество, заданное неравенством )> ( т (е,), и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
