Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Из формул (15) и (16) следует, что для оценки г' (!/) и г Я) можно использовать приближенные равенства г'(Я.= 1+ ~Ь(т, и) ~~/ — — !п(0,01Д)— — — ( —. + Ь(ш, п))Ц, (20) г (Д) — 1 + [Ус (т, и) ~)// — К '(1 — 0,01~)— — — „'„(";.."+ Ь(-..))Ц, (21) где (у! — целая часть числа у, а К ' (Р) есть Р -квантиль распределения Колмогорова (см. формулу (3) к таблицу 6.1).
Если ч~( 10',~~, ге) =г (05В и,, Р „(В= = Р',. (0,5Е). Формула (20) станет более точной, если в ней — !п (0,01ч) заменить выражением и+ !з'.„((1 — 2р) (" „")'+ + 2у(3 — у)(1 — д"„)) где э = — (и (0,01~), Так как Ъ (и, т) = 0 и Ои, ят) = лт, то прп и = зт утечненная фор- мула (20) запишется особенно просто: г+(Ч) 1+ ~ ~l эту+ у = — !и (0,01~). Аналогичным образом, иа формул (17) и (18) получаем приближенные равенства "(д) =1+ Гй(т, и) ~(Рт(д)+ —,' ) — —,(Ь(п1, л)+ . )1~, (23) (В=1+ ~ь( ')Я)7.(Е+ —,',)— — — (Ь(т, п) + — ", )(), (24) где Р„(В и .Р, ф) есть (/-процентные критиче- ские значения одностороннего и двустороннего критериев согласия эмпирического я теоретиче- ского распределений и т = тп/А/.
Значения Р, ф) и Р, (!/) можно определять интерполя- цией таблицы 6.2. Таким образом, при болыпих значениях и имеет место приближенное равенство Р-..(Е) =(Р',(Е)+ —,',)— — — ~Ь(т, п) + Аналогпчное равенство для Р „ф) получает- ся после отбрасывания знаков +. В частности, при т = и имеем 1 Р",. (В = Р'..
(Е)+ —,„, ! Рт, т (® Рты (О) + Погрешность, возникающая в результате применения приблиясенной формулы (23), является величиной порядка у'т/о. Если т яе очень велико, то в формуле (23) рекомендуется заменить (Р~ ~(ч) + 1/(бт)) величиной 1'(Р (в+ — ')'+ ( -') ! где у = — !и (0,01(/). При этом порядок погрешности будет Йт з прн п ~ гя и т-э при В общем случае вычисления непосредственно по формулам (20), (21) или (23), (24) затруднены тем, что функция Ь (т, и) определяется весьма сложно (эта функция принимает неотрицательные значения, зависит на самом деле лишь от отношения ш//и и разрывна во всех рациональных точках гя/и). Если в правых частях указанных формул положить Ь = О, то приближенные значения величин Р „((/) и Р „(//) от этого могут лишь возрасти я, значит, истьнные уровни значимости ~)з* соответ- ствующих приближенных критериев не будут превосходить истинных уровней значимости »)е точных критериев (в силу дискретности статистик (/о пе превосходит заданного уровня значимости: 6)е ( ()).
При этом, если с,) ) 0,5 об ы т ) 150, то )()ее — Де)/с,)е (0,2. Более о, )!,/ * — 6)' )/ч' 0 пр Для вычисления приближенных значений функции 6 (т, и) можно воспользоваться равенством 1 т — с»(т, и) 6 (т, и) - Ье (и, и) =— — (25) !у+а~„, Как показано в работе (21!, при »и ( п функция Ь (т, п) удовлетворяет условиям: а) 6 (»т, /и) = Ь (т, и), где 1 — любое це- ЛОЕ ПОЛожнтЕЛЬНОЕ ЧИСЛО; б) если с( (т, и) = т, то Ь (т, и) = 0 (в частности, 6 (1, и) = О). Значения функций Ь и Ь* для взаимно простых т я и, в сумме пе превыгпаюгцих 25, даны ь таблице 6.5б.
Следует иметь н виду, что если г (Ч) — Ь и г (!)) — соседнне возможные значения статистик»! /г//т „, отличные друг от друга более чем на единицу, то любое число из полуинтервила г (()) — Ь ' г ( г (Е можно считать (,»-процентным критическим значением, так как оно удовлетворяет неравенствам (18) (хотя и не принадлежит множеству возможных значений статистики /г//,„).
Поэтому в тех случаях, когда в правых частях формул (20), (21) или (23), (24) после вычислений получаются числа, принадлежащие такому полуннтсрвалу, их нужно считать не приближ»!иными, а точныьш критическими значениями. Критерии однородности двух выборок (продолигепие) РаьсмотренныекрктерквР „, Р „в Р „, основаны ве аналогии с крнторнаыя Рею Р„н Р„(сы. формулы (2)).
Для проверки однородвоств двух выборек можно также еоспольэосаться»сркгервол! тина ю" (см. работу Андерсона (1]). Статистика этого критерия задается формулой Т, ~ (О (.) Р (х))-~Н где элементов: 1 Т= пт(т+л) ~,~ !» ~о / ( и Гг (г. — !)о+ т ~ (х. — /)«~в «=-! 4тя — 1 6(т+ я) где г! — порядковый номер»)! н « — порядковый номер ч, е общем варкацвонном ряде, построенноы по объелнненной выборке. 1!а результатов, полученных Роэенблаттом (102), следует, что прк гп ос, и сс я л/т й = .= совЫ (й ) 0) предельное распроделенае статнстака 'Т существует к функция предельного распределения совпадает с функцией а»(х), заданной формулой (11) (см.
также таблнпу 6.4а): 1пв Р (Т ( х) = а, (х). Для предельного распределения матеыатвчгское ожвданве к дисперсия равны соотвесственво 1/6 в 1»45, е то время кан 1 МТ = — »1~- — 1, — »я ) я!» 45 ( +т+и/) +т+я 3 г1 1)»1 Поэтому при вычвслекпв приближенных крвгоческях аначевнй рекоыевдуетсл вместо Т пользоваться стагвстнкой Т вЂ” МТ 1 у,-ОТ + 6 о=о,! О о,О! ьй ох й~х ьех «»я х «х й: х хх пг » и» Еслп крнтвческая область крнтервя однороднос! и двух выоорок задается неравенством Т' л х, то соответсгеующпй уровень значимости праблвженво равен 1 — а, (х). Это првблвженве девствует удовлетворительно не только в случае больших выборок, но также и для выборок умеренного объеыа (5 н 7,6 н 7,7 н 7,8 я 8 н т.
дл см. (1)Д Таким жс свойством обладает н крвтервй юо (сы. ~79)!. Ниже для иллюстрации приведена таблица, в которой для объемов выборок 6 ы 6,6 н 7,7 в 7 н некоторых номаяальных уровкев оначнмостк »/ указаны соответствующке крвткческве еначенпя статистики 1*. Под каждыя кркткческны значением дано его прнблвжеавое эначеаке х, представляющее собой корень уравнения а» (х) = 1 — (/! рядом с точными в прнблнжевнымн крвтнческямк значениями указаны отвечающие вм встпнные уровни значимости Ч. 7 7 ' — 86 т я представляет собой фуккцшо эыпврнческого распрейелевва, построенную по объодввенвой выборке С поыощыо определенна (1) можно покаоать, что Т эавпспт лишь от порядковых номеров выборочных 0,371 0,347 0,372 0,347 0,380 0,347 0,093 0,093 0,097 0,113 0,093 0,108 0 517 0,461 0,466 0,461 0,486 0,461 0,039 0,054 0,049 0,049 0,049 0,056 0,781 0,743 0,737 0,743 0,784 0,743 0,0087 0,0087 0,0093 0,0082 0,0082 0,0105 гам >ом гм 5% > ю/ 1,22385 2,99573 0,26473 0,26533 0,26534 0,26471 1,35810 3,68888 0,29408 0,29535 0,29535 0,29404 к- 0 — 0,010) — )п (0,0051 Т>юю (О) гэ (0) >7>г> (0) )>>з> (0) 1,07275 2,30259 0,23>56 0,23154 0,23160 0,2315/ю 1,51743 4,60517 0,32866 0,33097 0,33098 0,32862 1,62762 5,29832 О,'35241 0,35561 0,35562 0,35236 Таблица 6Л.
Функция распределения Колмогорова В таблице даны (с шестью десятичными знаками) значения функции распределения Колмогорова К (у) (см. формулу (3)) для у = =- 0,20 (0,01) 2,49. Вычисление К (у) в тех точках у, которые не совпадают с табличными, рекомендуется выполнять квадратичной интерполяцией по формуле Бесселя: К (у) = Кю + и (К« — Кю)— и (1 — и) (Кю — Кй — (Кю — К вЂ” «) где К; =К(у;) (>= — 1,0,1,2), У-«,Уюр« у, — последовательные значения аргумента такие, что ую(у(у„и и =100(у — у,)— фаза интерполяции.
Если у ) 2,49, то с большой точностью К (у) — 1 — 2е '"'. Таблица 6.1 заимствована из работы [111[. Таблица 6.2. Критические значения для наибольшего отклонения эмпирического распределения от теоретического (критерий Колмогорова) В таблице даны (с пятью десятичными знаками) >',)-процентные критические значения «>>„(()) для статистики критерия Колмогорова 1>„, определенной формулой (2), причем >,"ю 1, 2 5 10 20% и и = 1 (1) 100. Таблицей 6.2 можно воспольаоваться для вычисления критических значений одностороннего критерия, статистика которого 1)„определяется первой из формул (2). Согласно формуле (4) ()-процентная точками>' „(Ч) приближенно равна 1/„(2«)), поэтому табулированные зна+ чения можно рассматривать как В„(«,>), вычисленные для Д = 0,5; 1; 2,5аю (с точностью до 10 '), для с> = 5% (с точностью до 5.10 а) и для >0 = 10эб (с точное ью до 5.10 '). Если и ) 100 или если значение с> не совпадает с табличным, то для оценки 17„(Д) и 1)„(«)) рекомендуются формулы (5) и (6); при с> ю 0,1% ати фориулы действуют вполне удовлетворительно уже при п ~ 20 (см.
[17)), В этой таблаце даны эпачеввя К ' (1 — 0,01(>) к — )п (0,005 (>) для (> = 1, 2, 5, 10 а 20%, Кроме тото, здесь жэ указаны (с пятью десятичными авакамв) точные значения процавтвых точек >>юю ((>), а также пряблвжэккыа аяачевия 7>~',~ ((>). Пря этом 2>«ю> ((>) вычяслялись для и = 20 по формуле 7><~> (0) = = к (1 — 0,01 0) — —,„ Для определения 7>,~,',~ ((>) и «>г«'> Ю) были испольаовавы правая я левая части аыражевпя (5). Таким обрааом, прв задаввых значениях О приблпжеяяя Р (О) к 7> (0) дают практически одина- 0> (г> ковка результаты с относительной погрешностью ве более 1%.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
