Большев Л.Н., Смирнов Н.В, Таблицы математической статистики (1983) (1186204), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Подробнее о таблицах нормально распределенных случайных чисел, способах их получения, а также о применениях см. [9, 23, 68, Т11!. Таблица 7.2. Ортогональные многочлены Чебышева Таблица предназначена для сглаживания результатов наблюдений при экспериментальном изучении между х и у типа у = с, + с,х + с,х' +...+ с,„х . (1) Предполагается, что коэффициенты сз неизвестны и что при каждом фиксированном значении х = х, соответствующее значение у, наблюдается со случайной ошибкой б,. Таким образом, результаты наблюдений ий представляют собой суммы: л]ю = у~ + бс = Х слх, '+ б~ (й = 1, 2,..., и).
л=л (2) Если количество наблюдений и не менее степени многочлена (1) (т. е. если и ~ и), все б, независимы и распределены одинаково нормально с параметрами (О, о) и среди х, имеется хотя бы ил различных, то неизвестные коэффициенты сл допускают оценки по методу наименьших квадратов; эти оценки обладают минимальными дисперсиями, совместно эффективны и распределены нормально (см. [74, 91]). В тех случаях, когда значения х, равноотстоящие: Хл Хл Хл Хл Хэ Хэ 1~ целесообраано ввести новое независимое пере- менное 1 и считать, что о+1 х) =1 —— 2 (1= 1,2,..., п), (Точнее, новой переменной является х', связанная со старой х соотношением х' = (х— — х,)/(х, — х,) — (и — 1)/2.) При этом формулу (1) полезно записать в виде у = аоР),") (х) + а,Р„') (х) +....
+ амР,, ) (х), (3) где Р„(х) — многочлены Чебышева, из кото- и) рых первые шесть выражаются формулами хо — — (п — 1)~ 1 о 12 1 х' — — (Зп' — 7) х ) 20 Э хо — — (Зпо — 13) хо + 14 60 (и' — 1)(п' — 9) ~ + 5 Рю(х) = )о„' ) х' — 1з (и' — 7) х'+ (4) + — „(15п' — 230п'+ 407) х~, + —,(5по — 110п + 329)хо— — — (и' — 1)(п' — 9)(п' — 25) ~, 14 784 где Մ— такие наименьшие положительные (1) числа, при которых все значения Р1' (х,)— целые. Представления (1) и (3) тождественны а сами многочлены Чебышева Р~,') (х) удовлетво;я:от условию ортогональности: а „'«~ Р~„~(хо) Р~„'~(х)) =О, ) ~)'. ) г)) = У) + 6) = Х а/Ро (х)) + 6) )=о (1 = 1, 2,..., п; и ) т).
(5) В этом случае оценки для неизвестных коэффициентов а, по методу наименьших квадратов получаются особенно просто п выражаются формулами о о а,=, х«о))Р„(х,), 1 Гч ОЗ оо — 101 Таким образом, вместо уравнения (2) следует написать Случайные величины я) взаимно независимы и подчпня:отея нормальным распределениям с параметрамн (а;; о/Яь„) соответственно () = =0,1,..., т). Если дисперсия о' неизвестна, то ее оценка с наименьшей дисперсией выра«кается формулой з'= 1 (~~~) Ч вЂ” ~~ ~,,„со;). 1=1 )=о Отношение (п — т — 1) Р/о' распределено как у' с (п — т — 1) степенями свободы (см.
опи- сание таблиц раздела П) и не зависит от слу- чайных величин ао, а„..., а . Оценки со„ и„..., а и Р являются совместно наилучши- ми (см. (12!). Интервальные оценки для неизвестных ко- эффициентов конструируются с помощью от- ношений (аз — а;) Я),„/г, подчиняющихся рас- пределениям Стьюдента с (и — т — 1) сте- пенями свободы (см.
описание таблиц 3.1 и 3.2). В таблице 7.2 даны точные значения много- членов Чебышева Р,'м (х)) для п = 3 (1) 52, 1 = 1 (1) 6 (если п ( 7, то 1 изменяется от 1 до п — 1); нулевой многочлен Р~„') (х) тождествен- но равен единице. Аргумент х, = 1 — (и + 1)/2 (1 = 1, 2,..., и) явно не указан, поэтому в ка- честве табличных значений аргумента следует пользоваться таблицей линейного многочлена РП) (х,) = ХП)х„где )«П) = 1, если п — нечет- ное число, и Х„' = 2, если и — четное число. Многочлены Чебышева четной степени являются четными функциями: Р„(х,) = а) = Р'„" (х„)„).
Если же 1 — число нечетное, то соответствующий многочлен Чебышева есть нечетная функция: Р„"(х)) = — Р„' (х„)+)). Этв формулы позволяют ограничиться табули- рованием многочленов Чебышева (при п ) 12) лишь для неположительных членов х,. В предпоследней строке таблицы 7.2 даны значения сумм квадратов: Я),„= ~2 (Р~„')(х)))о, ) 1 а в последней строке указаны коэффициенты л~о) (см. формулы (4)). В тех случаях, когда степень многочлена (1) или (3) точно неиавестна и лишь высказы- вается гипотеза Н„что эта степень равна т, для проверки Н, можно воспользоваться Р- критерием (см. описание таблиц 3.5).
Пусть со- гласно конкурирующей гипотезе Н, утвержда- ется, что степень многочлена (3) равна т + 1 ()и + 7 ( п) и, значит, «)) = ч~. а)Р~ ) (х,) + ~Я а;Р~)) (х)). )=о о=то+« Если гипотеза Но справедлива, то а~о, = аж«о —— ... — — а,„,) = О, т. е. Л'0" = 1" — 0" = 1, Ь'0" = Л'1" — ЛЧ)" = 2" — 2 1" + 0' = = 2" — 2, ЛэО" = 3' — 3 2" + 3 1" — 0" 3" — 3 2" + 3 и т. д. Таблица 7.5. Квадраты целых чисел В таблице даны точные значения квадратов целых чисел пх для и = 1 (1) 999. Табулировакные значения могут быть использованы для вычисления квадратных корней х = )/ у методом итераций. В качестве начального приблиягения з, по таблице 7.5 следует выбрать такое и, для которого число и" наиболее близко к заданному у.
Первое приближение для х вычисляется по формуле (9) при г = 2; хг= —,(хо+ — ) ии — „, (и + — "). Для отыскания последующих прпближений можно воспользоваться итерациями х„,+, = г (х,„+ — ") (т =0,1,2,...). и / Скорость сходимости итерационного процесса повысится, если применить несколько более сложную формулу (10) прн г = 2, х,„» — — х„+ Ьх,„(1 — Лх„,/(2х,„)), где Лх =(у — х')/(2хм). В частности, х, = п + Лх, (1 — Лхэ/(2п)), Ьхэ = (у/и — и)/2. Для вычислений с большей точностью рекомендуется применять более подробные таблицы квадратов и квадратных корней [Т32, Т35[. Т а б л и ц а 7.6. Факториалы, десятичные логарифмы факториалов, квадратные корни и обратные величины В таблице указаны значения функций и! = 1 2.3...
(и — 1).и для п = 1(1) 250, )л и! для п = 1 (1) 1000, а также !/и, 1/п!, 1/[/и и 1/п для и = 1 (1) 100. При этом все табулированные' величины 1/и! умножены на 10', а факториалы п! при п ~~ 10 умножены на 10 ', где с — характеристика десятичного логарифма [я и!. Е1апример, по таблице 7.6 [я 20! = 18,38..., поэтому с = 18 и, значит, с шестью вернымн значащими цифрами и! =2,43290 10'" и 1/и! = 0,411032 10 '". Аспмптотические формулы, предназначен ные для вычисления п! и !я п! при больших значениях п, даны в описании таблицы 7.7.
Таблицы 7.7. Г-функция, ее десятичный логарифм и некоторые вспомогательные фунндии В таблице даны значения Г-функции и ее десятичного логарифма: Г(1+ р)=~ х"е-хйх, [6Г(1+ р) о с семью десятичными знаками, а также 1 — р', рд и р' + д'(д = 1 — р) с четырьмя десятичными знаками для р = 0 (0,01) 1. Кроме того, указаны значения )/1 — р', 1/[/1 — р' и )/рд с пятью десятичными знаками для р = =0(0,01) 0,91 (0,002) 1. Интерполяцию Г-функции и ее логарифма с погрешностью не более чем 10 ' можно осуществить по формуле Бесселя 1(р) /э+ и А/э 4 (А6 ~/ ) где р и рм р! и рх — последовательные табличные значения аргумента такие, что рэ ~( р ( х-' р,; и = 100 (р — р,) — фаза интерполяции; /~ = /(р~) (! = — 1, О, 1, 2) и А/-1 = /э — /-и А/о = /! — /о, М = Лэ — Л.
При этом значения коэффициента и (1 — и) можно определить по таблице функции рд = = р(1 — р). Для вычисления значений функций Г (и+р) и [6 Г (п + р) (и — целое число, р — дробное) при 2 ~( и ~:, 6 рекомендуется применять формулы Г(п+р) = = (и — 1 + р) (и — 2 + р)... (1 + р) Г (1+р), [я Г (и + р) = [я (п — 1 + р) + +[я(и — 2+р) +... ...+[6(1+р)+[8Г(1 +р). При п) 6 значения Г (п + р) и [д Г (и + р) можно находить интерполяцией таблицы 7.7, так как . =Г(и+1), !6п.
=[яг(и+1). При больших значениях х имеют место асимптотические формулы Стнрлинга (см., например, [130)) Г(х)= ~~ — ха ехр ~ — х+ / гп х + —,.„' —,,,', +о( — ',)~, 1 ~ ! и Г (и) = /т — — ) ! и х — х + г/ — 1 1 г11 — 103— (в последней формуле все логарифмы натуральные). Из этих формул следует, что при х- оо и фиксированном Ь Г (х+ Ь) Г (х) ! Л (Ь вЂ” 1) Ь (Ь вЂ” 1)(2Ь вЂ” 1) =х ехр~ 12х' + +О( — '.
)~= "~1+О( — ')~. О точности формулы Стирлинга можно судить с помощью неравенства, справедливого для всех действительных положительных х: ~ Т "-"- — х"е-" < Г (х) < ~ х"е-"+т1пз"!. Иными словами, самый простой вариант формулы Стирлинга дает относительную погрешность менее чем 100(1 — е ~У<~м>) оа ~( 'эе о з о ° Например, Г (7) = 6! = 720, з то время как )/ =" 7'е "= 711,50, 7 7 е 7+па 720,00. Подробнее с Г-функцией и описанием ее таблиц можно ознакомиться по книгам [70, 130, Т13, ТЗО, Т32!. Таблица 7.8. Натуральные логарифмы В таблице даны натуральные логарифмы !и х = !од, х с пятью десятичными знаками для х = 1,000 (0,005) 2,000 (0,01) 9,99.
Формула !а (10" у) = !и 10" + 1а у = и !и 10 + !а у позволяет вычислять по таблице 7.8 значения натуральных логарифмов тек чисел х, для ко- торых либо 0 < х < 1, либо х ~~ 10. (Под таб- лицей 7.8 указаны значения !а 10" для и = = — 6 (1) 6.) Например, 1п 471 = !а 10' + !а 4,71 = = 4,60517 + 1,54969 = 6,15486, 1а 0,01585 = !и 10 ' + !я 1,585 = = 5,39483 + 0,46058 = 5,85541 = — 4,14459. Так как десятичный и натуральный логарифмы связаны соотношением !д х = (!д е) (!а х), где !а е = 0,4342944819, то таблицей 7.8 можно воспользоваться для вы- числения десятичных логарифмов.
Таблица 7.8 допускает линейную интерполяцию по х с погрешностью, не превышающей 10 з: ! «=!ах + ' (!ах,— 1ах,), (11) хь хе где х, и х, — последовательные табличные значения аргумента такив, что хэ ~( х < х,. Следствием формулы (11) является приближенная формула !а х. = !и х, + -.Р (Р), гдв р = 1000 (х †,х,) (42) и Р (р) = Ьр — так называемая пропорциональная часть (Ь вЂ” соответствующим образом подобранный коэффициент пропорциональности). В таблице 7.8 пропорциональные части Р (р) для р = 1 (1) 5 даны справа и слева от основной таблицы натуральных логарифмов.
Интерполяция пропорциональных частей производится особенно просто, так как Р (а,р, + + а,р,) = а,Р(р,) + а, Р (р,). Например, вели р —.- 1,27, то Р (р) = Р (1) + 0,1Р (3)— — 0,01Р (3), так как р = 1,27 = 1 + 0,3— — 0,03. При вычислениях с помощью пропорциональных частей по формуле (12) рекомендуется в качестве хэ выбирать табличное значение аргумента, наиболее близкое к х. П р и м е р. Пусть требуется вычислить !а х для х = 1,099, х = 11,435 и х = 0,65427.
В первом случае ближайшее к х табличное значение аргумента есть хе — — 1,100, поэтому р = 1000 (1,099 — 1,100) = — 1. В строке, соответствующей значению хэ = 1,1, находим Р ( — 1) = — 89, следовательно, по формуле (11) !и 1,099 =0,09531 — 0,00089 = 0,09442. Во втором случае !а 11,435 = !а 10 + + !а 1,1435. Влшкайшее к 1,1435 табличное значение аргумента есть х, = 1,1450, поэтому р = = — 1,5. В строке, соответствующей хэ = 1,1, находим Р ( — 1,5) = — Р (1) — 0,1Р (5) = — 89— — 44,5 = — 133,5; следовательно, !а 11,435 = 2,30259 + 0,13540 — 0,00133 = = 2,43666. В третьем случае !а 0,65421 = !и 0,1 + + !а 6,5427.
Ближайшее к 6,5427 табличное значение аргумента есть х, = 6,54, поэтому р = 2,7 = 3 — 0,3. В строке, соответствующей хэ = 6,5, находим Р (2,7) = 46 — 0,1 46 = = 41, следовательно, 1а 0,65427 = 3,69741 + 1,87794 + 0,00041 = = 1,57576 = — 0,42424. — 104— Правильные значения, вычисленные по фор- муле (11): 1п 1,099 = 0,9440, )п 11,435 = 2,43668, )п 0,65427 = — 0,42424.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
