[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) (1186146), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäèòåëþ bâûãîäíî îòêëîíèòüñÿ è âûáðàòü öåíó sb = p̃ + ε (ïðîòèâîðå÷èå).257 22.Ðåøåíèå óïðàæíåíèé20.1. Äëÿ àêöèçíîãî íàëîãàte = S −1 (D1 + D2 )(D2 − K)/(D1 + K), p̃(te ) = te + S −1 (D1 + D2 ),äëÿ íàëîãà íà ïðèáûëüp̃(tpr ) = S −1 (D1 + D2 ), tpr = p̃(tpr )(D2 − K)/P r,ãäå âåëè÷èíà ïðèáûëè ðàâíàp̃(tZ pr )(D1 + D2 − S(p))dp.Pr =020.2. Ïî óñëîâèþe(D(p)) = −p(Ḋ1 (p) + Ḋ2 (p) − K/p2 )/(D1 (p) + D2 (p) + K/p) < 1.ÎòñþäàQ̇1 (p) + Q̇2 (p) = D1 (p) + D2 (p) + p(Ḋ1 (p) + Ḋ2 (p)) > 0.20.3.
Ôóíêöèÿ K(p) íåïðåðûâíà è íà îòðåçêàõ, ãäå îíà äèôôåðåíöèðóåìà, åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ K̈(p) = D̈1 (p)(q(p) − p) − 2Ḋ1 (p) − Q̇2 (p)íåîòðèöàòåëüíà. Ôóíêöèÿ K̇(p) â òî÷êàõ ñâîåãî ðàçðûâà èìååò ïîëîæèòåëüíûå ñêà÷êè. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ K(p) âûïóêëà íà âñåì îòðåçêå[pD , ps ].21.1. Çàìåòèì, ÷òîlim R(p) = T (qF − c)/F = qT − T c/F < R(p̂) = qT − T (1 − q)c/F.p→p̂−Åñëè qF > (1 − q)c, òî R(p̂) > 0, R∗ = max R(p) = R(p̂), p∗ = p̂.0≤p≤1Åñëè qF ≤ (1 − q)c, òî R(p̂) ≤ 0, R∗ = p∗ = 0.21.2. 1) Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî F q > c. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ R(p) âîçðàñòàåò íà ïîëóèíòåðâàëå [0, p̂) è ïîñòîÿííà íà îòðåçêå [p̂, 1].
Èç R(p̂) > 0ïîëó÷àåì p∗ ∈ [p̂, 1].2) Èìååì F = c/q < F = (qm + 1 − q)c/(qm). Ïîýòîìó ôóíêöèÿR(p) ðàâíà íóëþ íà ïîëóèíòåðâàëå [0, p̂) è óáûâàåò íà îòðåçêå [p̂, 1]. ÈçR(p̂) > 0 ïîëó÷àåì p∗ = p̂.258ÏðèëîæåíèåÏ1. Òåîðåìà îá îòäåëÿþùåé ãèïåðïëîñêîñòèÏóñòü A è B − äâà âûïóêëûõíåïåðåñåêàþùèõñÿêîìïàêòà â E . Òîãäà íàéäåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòü a, x = b, ñòðîãî îòäåëÿþùàÿ ìíîæåñòâà A è B, ò.å. a, x < b < a, y ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.Òåîðåìà Ï.1.mÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì íà A × B ôóíêöèþ |x − y|2 , ãäåx ∈ A, y ∈ B, è ïóñòü ïàðà (x0 , y 0 ) − òî÷êà ååÒîãäà ìèíèìóìà.00|x − y | > 0. Ïîêàæåì, ÷òî ãèïåðïëîñêîñòü a, x = b ïðè0 20 2a = y 0 − x0 , b = 12 (|y | − |x | ) ÿâëÿåòñÿ èñêîìîé.Äîêàæåì, ÷òî a, x < b ∀x ∈ A.
Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäàíàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà x0 ∈ A, ÷òî a, x0 ≥ b. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþg(t) = |y 0 − (1 − t)x0 − tx0 |2 , t ∈ [0, 1]. Èìååìg 0 (0) = 2 y 0 − x0 , x0 − x0 = 2 y 0 − x0 , x0 − 2 a, x0 ≤≤ 2 y 0 , x0 − 2|x0 |2 − 2b = 2 y 0 , x0 − |x0 |2 − |y 0 |2 = −|x0 − y 0 |2 < 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïîëîæèòåëüíûõ è áëèçêèõ ê íóëþ tg(t) < g(0), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïàðû (x0 , y 0 ). Âòîðîå íåðàâåíñòâî b < a, y ∀y ∈ B äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Ï2.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 6.1Òåîðåìà î÷åâèäíà äëÿ E 0 . Ïóñòü îíà âåðíà äëÿ E m−1 . Ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî âûïóêëûõ êîìïàêòîâ Dα , α ∈ L èç E m , êàæäûå m+1 èç êîòîðûõèìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå.Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîå êîíå÷íîå ïîäñåìåéñòâî ñåìåéñòâàDα , α ∈ L èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Òîãäàíàéäåòñÿ ìèíèìàëüíîå öåëîå k > m + 1, äëÿ êîòîðîãî íàéäåòñÿ òàêîåkk−1TTïîäñåìåéñòâî Dαi , i = 1, ..., k, ÷òîDαi = ∅,Dαi 6= ∅. Ïîëîæèìi=1A = Dα k , B =k−1Ti=1Dαi . Âûïóêëûå êîìïàêòû A è B íå ïåðåñåêàþòñÿ èi=1íàéäåòñÿ ñòðîãî îòäåëÿþùàÿ èõ ãèïåðïëîñêîñòü H (ñì.
Ï1.) Ïóñòü C −ïåðåñå÷åíèå êàêèõ-ëèáî m ìíîæåñòâ èç Dα1 , ..., Dαk−1 . Òîãäà B ⊆ C èïî óñëîâèþ C ∩ A 6= ∅. Âîçüìåì x0 ∈ C ∩ A è y 0 ∈ B. Òîãäà îòðåçîê259Ïðèëîæåíèå[x0 , y 0 ] ïðèíàäëåæèò C è ïåðåñåêàåòñÿ ñ H. Ñëåäîâàòåëüíî, C ∩ H 6=∅. Èòàê, ëþáûå m ìíîæåñòâ èç Dα1 ∩ H, ..., Dαk−1 ∩ H èìåþò íåïóñòîåk−1Tïåðåñå÷åíèå. Ïî èíäóêòèâíîìó ïðåäïîëîæåíèþDαi ∩ H = B ∩ H 6= ∅,i=1÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïîñòðîåíèþ ãèïåðïëîñêîñòè H.T Çàâåðøèì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. Ïðåäïîëîæèì , ÷òîDα = ∅.
Ïóñòü X = Dα0 − íåêîòîðûé êîìïàêò èç ñåìåéñòâàα∈LDα , α ∈ L. Îïðåäåëèì íîâîå ñåìåéñòâî Dα0 = Dα ∩ X, α ∈ L. ÒîãäàT 00Dα = ∅ è ìíîæåñòâà Dα = E m \Dα0 îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå êîìα∈L00ïàêòà X, èç êîòîðîãî ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå Dα1 , ..., Dαp .ppTTÎòñþäà âûòåêàåò, ÷òîDα0 i =Dαi ∩ Dα0 = ∅. Ïî äîêàçàííîìó ëþáîåi=1i=1êîíå÷íîå ïîäñåìåéñòâî ñåìåéñòâà Dα , α ∈ L èìååò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå(ïðîòèâîðå÷èå).Ï3. Ôóíêöèÿ Ìèíêîâñêîãî è ãîìåîìîðôèçì âûïóêëûõ êîìïàêòîâÏóñòü A − âûïóêëûé êîìïàêò â E m , ñîäåðæàùèé âíóòðè ñåáÿ íóëüâìåñòå ñ ε0 -îêðåñòíîñòüþ íóëÿ Oε0 .
Îïðåäåëèì íà E m ôóíêöèþ Ìèíêîâñêîãî ìíîæåñòâà A()xpA (x) = inf t > 0 ∈ A . tÐàññìîòðèì åå ñâîéñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî pA (0) = 0, à ïðè x 6= 0 pA (x) > 0è íèæíÿÿ ãðàíü äîñòèãàåòñÿ, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî A îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Êðîìå òîãî, pA (x) ≤ 1 ⇔ x ∈ A. Ôóíêöèÿ pA (x) ïîëîæèòåëüíîîäíîðîäíà, ò.å. äëÿ ëþáîãî λ > 0() λxtpA (λx) = λ inf>0∈ A = λpA (x) ∀x ∈ E m .λtÄîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ pA (x) ñóáàääèòèâíà, ò.å.pA (x + y) ≤ pA (x) + pA (y) ∀x, y ∈ E m .Äåéñòâèòåëüíî, âîçüìåì x, y 6= 0. Âåêòîðx+ypA (x)xpA (y)y=·+·pA (x) + pA (y)pA (x) + pA (y) pA (x) pA (x) + pA (y) pA (y)260(Π.1)Ïðèëîæåíèåïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó A, ïîñêîëüêó ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåéâåêòîðîâ pAx(x) , pAy(y) èç A. Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (Ï.1).Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ Ìèíêîâñêîãî íåïðåðûâíà. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿëþáîãî x ∈ Oε0x|x||x|∈/ Oε0 ⇒≥ ε0 ⇒ pA (x) ≤.pA (x)pA (x)ε0Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî pA (x) íåïðåðûâíà â íóëå.
Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèèpA (x) â ëþáîé òî÷êå x0 âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà ( ñóáàääèòèâíîñòü )|pA (x) − pA (x0 )| ≤ max[pA (x − x0 ), pA (x0 − x)] è åå íåïðåðûâíîñòè â íóëå.Ïóñòü âûïóêëûå êîìïàêòû A è B â E m ñîäåðæàòâíóòðåííèå òî÷êè. Òîãäà íàéäåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå è íåïðåðûâíîåîòîáðàæåíèå (ãîìåîìîðôèçì) A íà B.Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç ïîòåðè îáùíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íóëü ñîäåðæèòñÿ â A ∩ B âìåñòå ñî ñâîåé îêðåñòíîñòüþ Oε0 . Îïðåäåëèì îòîáðàæåíèåpA (x)τ : A → B, τ (0) = 0, τ (x) =x, x 6= 0,pB (x)Òåîðåìà Ï.2.ãäå pA (x), pB (x) − ôóíêöèè Ìèíêîâñêîãî ìíîæåñòâ A è B. Íåòðóäíîïðîâåðèòü, ÷òîpB (y)τ −1 (y) =ypA (y)− îòîáðàæåíèå, îáðàòíîå ê τ.
Ïîñêîëüêó ôóíêöèè pA (x), pB (x) íåïðåðûâíû, îòîáðàæåíèå τ (x) íåïðåðûâíî ïðè x 6= 0. Ïðîâåðèì íåïðåðûâíîñòüτ (x) â íóëå. Ìíîæåñòâî B îãðàíè÷åíî è ïîýòîìó íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî α,÷òî äëÿ âñåõ x ∈ B |x| ≤ α. Ïîñêîëüêó pBx(x) ∈ B, pB|x|(x) ≤ α.
Äëÿ ëþáîãîâåêòîðà x ∈ Oε0 âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî pA (x) ≤ |x|(ñì. âûøå äîêàε0çàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè pA (x)). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âñÿêîãîx ∈ Oε0pA (x)α|x||τ (x)| =|x| ≤.pB (x)ε0Ï4. Ñèìïëåêñû è òåîðåìà î íåïîäâèæíîé òî÷êåÏóñòü {x1 , ..., xn+1 } − ìíîæåñòâî âåêòîðîâ èç E m (n ≤ m), âûïóêëàÿ261Ïðèëîæåíèåîáîëî÷êà êîòîðîãîK = {x ∈ Em|x=n+1Xiλi x ,i=1n+1Xλi = 1, λi ≥ 0, i = 1, ..., n + 1}i=1èìååò ðàçìåðíîñòü n. Òîãäà ìíîæåñòâî K íàçûâàåòñÿ ñèìïëåêñîì, ïîðîæäåííûì âåðøèíàìè x1 , ..., xn+1 . Äëÿ ñèìïëåêñà K áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå K = x1 · · · xn+1 .
Ðàçìåðíîñòü n îçíà÷àåò ëèíåéíóþíåçàâèñèìîñòü âåêòîðîâ xn+1 − x1 , ..., xn+1 − xn . Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òîäëÿ âñÿêîãî x ∈ K êîýôôèöèåíòû λi (x), i = 1, ..., n + 1, â ðàçëîæåíèè xïî xi îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî è ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè íàK.Âñÿêîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå r ≤ n + 1 âåðøèí, ïîðîæäàåò (r − 1)ìåðíûé ñèìïëåêñ, íàçûâàåìûé ãðàíüþ ñèìïëåêñà K. Âåðøèíû x1 , ..., xn+1ÿâëÿþòñÿ íóëüìåðíûìè ãðàíÿìè. n-ìåðíàÿ ãðàíü ñîâïàäàåò ñ K. Îäíîìåðíûå ãðàíè xi xj , i 6= j, íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè ñèìïëåêñà K.
Äèàìåòðñèìïëåêñà K îïðåäåëÿåòñÿ êàê ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà åãî ðåáåð. Ïîäìíîæåñòâî K 0 ñèìïëåêñà K âèäà0K = {x ∈ Em|x=n+1Xi=1iλi x ,n+1Xλi = 1, λi > 0, i = 1, ..., n + 1}i=1íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì ñèìïëåêñîì, ïîðîæäåííûì âåðøèíàìèx1 , ..., xn+1 . Äëÿ îòêðûòîãî ñèìïëåêñà áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå K 0 = x1 · · · xn+1 . Íóëüìåðíûå ñèìïëåêñû ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûìè.Îòêðûòûå ðåáðà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç xi xj .Ïóñòü ñèìïëåêñ K òàêèì îáðàçîì ðàçáèò íà îòêðûòûå ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèåñÿ ñèìïëåêñû K1 , ..., Kp , ÷òî ëþáàÿ îòêðûòàÿ ãðàíü êàæäîãîñèìïëåêñà Kj ïðèíàäëåæèò ðàçáèåíèþ. Òàêîå ðàçáèåíèå íàçûâàåòñÿ ñèìïëèöèàëüíûì.
Ñèìïëåêñû Kj , ïðèíàäëåæàùèå K 0 , îáðàçóþò ðàçáèåíèåîòêðûòîãî ñèìïëåêñà.Íà ðèñ. Ï.1 ïðèâåäåí ïðèìåð ñèìïëèöèàëüíîãî ðàçáèåíèÿ äâóìåðíîãîñèìïëåêñà K íà äâà äâóìåðíûõ, ïÿòü îäíîìåðíûõ è ÷åòûðå íóëüìåðíûõîòêðûòûõ ñèìïëåêñà.262Ïðèëîæåíèåb x2@@@@by@@@@bb x3x1Ðèñ. Ï.1Ñîîòâåòñòâóþùèé îòêðûòûé ñèìïëåêñ K 0 ðàçáèò íà äâà äâóìåðíûõ èîäèí îäíîìåðíûé îòêðûòûõ ñèìïëåêñà. Åñëè óäàëèòü èç ðàçáèåíèÿ íóëüìåðíûé ñèìïëåêñ y, à ðåáðà x2 y è yx3 çàìåíèòü íà ðåáðî x2 x3 , òî ïîëó÷èìïðèìåð íåñèìïëèöèàëüíîãî ðàçáèåíèÿ. Äëÿ ñèìïëèöèàëüíîãî ðàçáèåíèÿπ ÷åðåç δ(π) îáîçíà÷èì ìàêñèìàëüíûé äèàìåòð ñèìïëåêñîâ, âõîäÿùèõ âπ.n+1P i1Òî÷êà n+1x íàçûâàåòñÿ áàðèöåíòðîì ñèìïëåêñà K. Îïðåäåëèìi=1ñèìïëèöèàëüíîå ðàçáèåíèå, íàçûâàåìîå áàðèöåíòðè÷åñêèì, êàæäîå ðåáðî êîòîðîãî ñîåäèíÿåò áàðèöåíòðû ãðàíè è íåêîòîðîé åå ïîäãðàíè ñèìïëåêñà K.
Äëÿ ñèìïëåêñà x1 x2 îíî ñîñòîèò èç âåðøèí x1 , x2 , åãî áàðèöåíòðà b = 12 (x1 + x2 ) è äâóõ îòêðûòûõ ðåáåð x1 b è bx2 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òîáàðèöåíòðè÷åñêîå ðàçáèåíèå îïðåäåëåíî äëÿ ëþáîãî ñèìïëåêñà ðàçìåðíîñòè k ≤ n − 1.Îïðåäåëèì åãî äëÿ ñèìïëåêñà K ðàçìåðíîñòè n c áàðèöåíòðîì b.Ïóñòü π 0 − ñåìåéñòâî îòêðûòûõ ñèìïëåêñîâ, âõîäÿùèõ â áàðèöåíòðè÷åñêèå ðàçáèåíèÿ âñåõ (n − 1)-ìåðíûõ ãðàíåé ñèìïëåêñà K. Âîçüìåìïðîèçâîëüíûé ñèìïëåêñ K 0 = y 1 · · · y l , l ≤ n èç π 0 . Ïðåäïîëîæèì ïîèíäóêöèè, ÷òî êàæäîå åãî ðåáðî y i y j ñîåäèíÿåò áàðèöåíòðû íåêîòîðîéãðàíè è åå ïîäãðàíè ñèìïëåêñà K.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
