Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Решение выводится в трехмерный массив 50[, причем первый индекс () ) отвечает временному слою Сь второй индекс ()) определяет номер узла хз, а третий индекс дает номер компоненты вектора решения. Таким образом, элемент 50[(1,], Х) дает значение решения 0" (х', С'). Рассмотрим заголовки функций вычисления правой части (РОЕ) и задания начальных (1С) и краевых (ВС) условий. Входными параметрами для функции вычисления правой части с именем РОЕ являются точка отрезка Х, вектор значений в этой точке Т н параметры задачи Р1, Р2,.... Выходные данные представлены диагональной матрицей С и векторами Р, 5: [С.Е.51 РОЕ(Х.Т.О.ОХР1.Р2....) Начальные условия даются функцией: 0-!С(Х.Р1.Р2....) Краевые условия обрабатываются функцией: [Ра, Оа, РЬ, ОЬ]-ВС(а. Оа.
Ь, ОЬ, Т, Р1, Р2..., ) Здесь векторы Оа и ОЬ дают значения вектора на разных концах интервала [а, Ь], Т вЂ” время, а выходные параметры представлены векторами на левом (Ра. Оа) и правом (РЬ. ОЬ) концах интервала. В дополнение к рбере имеется команда рбеча1 для пересчета решения на другую сетку и получения массива решения пространственных производных. Обращение к этой команде имеет следующий вид: [Ооис.впоис]-рбеча)(и.ХХ,О.Хонс) Здесь 0 — решение, полученное на сетке ХХ, ОонС и 00оаС есть соответственно функция и ее пространственная производная на новой сетке ХонС.
Рассмотрим применение команды рбере для решения уравнения теплопроводности с источником (р — параметр): ды дзи е ре дг дал Начальное распределение температуры есть и(жо) = р ч е)п(х) и заданы следующие краевые условия: Дирихле (первого рода) палевом конце и Неймана (второго рода) на правом конце. Создадим ш-функцию рбе бешо, в которой будут использованы операторы подготовки и вычисления решения, а также вспомогательные функции вычисления правой части рбе, задания начальных ((с) и краевых (Ьс) условий. Указывая имена этих подфункций в качестве параметров команды рбере, используем префикс 9. Обозначения переменных практически повторяют использованные для описания 412 Глава 15. Численный анализ в МАТОВ параметров команды, Концы отрезка изменения переменной х есть а и Ь, р — параметр, число ячеек на отрезке — и, переменная хх определяет узлы сетки по х, а переменная ЬЬ задает временные слои: Гипс(топ рсе Оепю а-О, а-О; Ь-3*р1/2; р-1; п-16, хх-1(пзрасе(а,Ь.п); 55-0:.2:3; зо1=рсере(а.9рсе.915.9Ьс,хх Лс.[).р): и - зо1(:,:,1); 5иЬР)05(121).
пи5Ь(ххл(,и). ) ах15([а Ь ЬЬ(1) 55(епс) О 1.51). х1аЬе1("х ), у1але1ГХ") зиЬр1о((122), р1о((хх,и(епс.:).'иЕ'.Хх.ехр(-ьт(епл))*(р+51п(хх))), х1аЬе)("х ), у)аЬе)(5(гсаг("и(х,".пиа25(г(11(епг))),')')). ахтз Стрит Гипс(топ [С Р,5] = рсе(хж .и,рирх.р) 0=1, Р-Оирх: 5--р*ехр(-5); типсгтоп иО - 1с(х.р) ОО ре5тп(х), Гипсмоп [Ра.Оа.РЬ.ОЬ) - Ьс(а.иа.Ь,иЬЛ,р) Ра-иа-р:"ехр(-5); Оа-0: РЬ-О: ОЬ=1: На рис.
15.16 приведены графики, полученные в результате запуска функции рпе Оеар и последующей доработки изображения средствами меню графического окна. А именно были передвинуты метки осей, убрано цветовое оформление вывода команды яе50 и трехмерная картина тепловой диффузии (слева) повернута для получения лучшего ракурса. График справа дает распределение температуры на последнем из рассчитанных временных слоев, сплошной линией представлено имеющееся для данной задачи точное решение, а кружками — результаты расчета при помощи функции р((ере.
Видно, что при остывании стержня сохраняется форма начального распределения. 0.1 О. 0,06 и(х,З) 0.04 0.5 О. О 0 1 2 3 4 х Рнс. 1$.16. Рененне уравнения теплопроеоаностн Функции геометрического анализа 413 Перед использованием команды рбере полезно также ознакомиться с имеющими- ся в поставке МАТВАВ демонстрационными примерами. Функции геометрического анализа Примером того, насколько разнообразны возможности даже стандартного набора пакета МАТг.АВ, служит набор геометрических функций для работы с многоуголь- никами и триангуляции плоской области.
Таблица 1$.11. Команды работы с многоугольниками и триангуляции Имя Назначение Вычисление площади многоугольника Определение попадания точки а многоугольник Вычисление аыпуклой оболочки Триангуляция Делоне Построение диаграммы Вороного ро1уагеа )про1уцоп сопчли11 ое1аипау чогопо1 -2 -2 -1 О 1 2 Рис. 15.17, Многоугольник и иножество случайных точек Вычислим плошадь этого многоугольника: » ро1уагеа(хр,ур) Приведем пример, иллюстрирующий работу этих команд.
Многоугольник в виде звезды зададим набором вершин с абсциссами хр и ординатами ур: » хР-П:УР-[1: апЦ-2~Р1)5: гог к Ол, хр-(хр,2*з1п(апц»К).,9"з1п(апц*К+,Б*апц)В УР-(УР,2'соя(апЦ*К)..9*соя(апЦ*2+,5*апц)) епо; хР (хР,хР(1Ц. Ур (ур.ур(1П 414 Глава 15. Численный анализ в МАТ(АВ апя- 5.2901 Теперь зададим 500 точек случайным образом и определим их принадлежность многоугольнику. Затем нарисуем эти точки, помечая попавшие внутрь многоугольника звездочками, а остальные — крестиками, см. рис.
15.17: » х-4*гапб(500,1)-2: у-4*гапш500.1)-2. )п 1про)у9оп(х,у,хр,ур); р)ог(хр,ур,х((п).у(1п),'рг'.х(-)п),у(-1п),'хэ') Для триангуляции области используется функция бе) аипау, реализущая алгоритм Делоне построения сетки из треугольников. Для этого необходимы также функции 9г!ббаСа — для интерполяции данных и уогопо1 — для построения диаграммы Вороного.
Функциия бэеагс)! используется для нахождения ближайшей соседней точки„а сзеагсп — для отыскания треугольников, содержащих указанные точки. Возможны различные варианты обращения к функции бе) а()пау, как практически к любой из функций МАТЮКАВ. Рассмотрим простейший случай: входные параметры есть точки определенного ранее многоугольника в форме звезды.
Результатом триангуляции является массив, каждая строка которого содержит индексы трех вершин треугольника так, чтобы ни одна из исходных точек не содержалась внутри него: » Тг! бе)аопау(хр.ур); с1ге(Тг1) ап!- 13 3 Теперь построим полученную систему треугольников, см. рис. 15.18: » По)б оп, (ог х-):4!ге(Тг1,1), П-Тг1(х,:); р)ос(хр(С(),ур(СГ)). епб -2 -2 -1 О 1 2 Рис. 15.1а, Триаи<уляция области В заключение продемонстрируем построение диаграммы Вороного и оболочки, охватывающей набор точек, задающих звезду. Для этого используем графическую функцию зэЬР! ос, которая позволяет построить в одном окне несколько графиков и описана в главе 14 «Графика в МАТЮКАВ», см.
рнс. 15.19: Специальные математические функции 415 -2 -2 -1 О 1 2 -2 О 2 4 Рис. 1В.19. Диаграмма Вороного (слеаа) и результат выполнения команды сопчпнк (справа) специальные математические функции Помимо множества функций численного анализа возможности пакета характеризуются наличием большого числа качественно реализованных специальных математических функций. В табл. 15.12 представлен перечень наиболее важных из них.
Полную информацию о специальных математических функциях можно получить, вызвав справку Ье1р зресгоп Имя Описание Имя Описание Функция Эй ри Функция Бесселя егт атгу Ьеззе1 еггс егтсх Иодифицированная функция Бесселя первого рода Ьеззе11 ег(зпч ехр)пт Ьеззе11 Ьеззе1К Ьеззе1у Ьега Ьета1пс Ьета1п 9алма 9мля1пс 9алиа1 и )еоепеге про ение мх » зоьр)от (1, 2, 1 ) .
[чх.чу) чогопо)(хр,ур); р1от(чх,чу,'-К'.хр,ур,'ох') зиьр)от(1,2.2). ах1з зциаге М сопчпн)1(хр.ур), р1от(хр,ур.'о',хр(К),ур(К),'-') Табяица 19.12, Специальные математические функции Функцию Бесселя первого рода модифицированная функция Бесселя второго рода Функция Бесселя второго рода Бета-Функция Бета-Функция неполная Логарифм от бета-функции Функция ошибки Дополнительная функция ошибки Масштабированная дополнительная функция ошибки Обратная функция ошибки Интегральная показательная функция Гамма-функция Гамма-функция неполная Логарифм от ганна-функции Присоединенная функция Лежандра 416 Глава 15.
Численный анализ в МАТ(АЯ Таблица 15.12 1лродоллгенне) Имя Описание Имя Описание е11трй Эллиптическая функция Якоби е)1(рве Полный эллиптический интеграл Логарифм по основанию 2 Степенная функция по основанию 2 1002 рон2 Ряд математических функций становится доступным при подключении символьного анализатора Мар)е (ВушЪо11с МагЬ Тоо! Ъох), работа с которым описана в главе 17 «Расширения МАТТ.АВ». Для получения справки по поводу интересующей функции паше следует выполнить команду ))е1р зуш(паше, например для справки о гамма-функции нужно набрать в командной строке Ье10 зуш/дашша.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
