Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 72
Текст из файла (страница 72)
р)ос(хр.'о'), Ог10 хр 1.0108 1.0064 + 0.00811 1.0064 - 0,00811 0.9977 + 0.01001 0.9977 - 0.01001 0.9908 + 0.00441 0.9908 - 0.00441 0.01 -0.01 0.980 1.015 Рнс. 1$.3. Норни попинона Приведенные примеры показывают, какого рода особенности могут встретиться в расчетах. При нахождении корней полиномов с чисто вещественными корнями получаются комплексные числа, а вычисление значений полинома с кратным корнем дает стохастическую картину в окрестности этого корня. Решение уравнений и минимизация Полный вариант обращения к команде поиска нулей функции одной переменной Ттего имеет вид: (з,Тз,ех).орг)-ггего("РОН",хО,ОРТ,Р1,Р2...,) Здесь ГОН вЂ” имя функции, хΠ— начальное приближение, ОРТ вЂ” структура, определяющая параметры метода.
Узнать и изменить значения полей структуры можно при помощи команды ор11нзеС. Запуск орс1изес( ' 7 гегО ' ) ИНфорМИРУет о значениях, принятых по умолчанию. Если функция ГОН зависит от параметров Р1, Р2, ... (не более десяти), то их можно передавать, указывая после ОРТ. При обращении к команде тгепо; имя функции РОМ должно быть укааано обязательно, а все остальные параметры или некоторые из них могут быть опущены.
Выходными параметрами являются: решение уравнения 2, значение функции на решении 12, переменная успешности расчета (флаг) ех1 (1) и параметры орс. Число выходных параметров может быть сокращено до одного, в этом случае таким параметром является решение уравнения.
388 Глава 10. Численный анализ в МАТ[Ай Приведем пример обращения к команде Гтего с полным набором выходных параметров. Определим функцию при помощи конструкции 1п))пе; » [х, [, ехц срт)-[те го!1п) 1пе! "х"3-1" ), 2) 7его гоипб 1п Сне 1птегха): [0.72, 2.90813. х- 1 0 ех!- 1 орс1сегдс10пз' 28 гцпсСоипс: 28 а)йог1[нм: "0!вес!!оп, 1птегро)ас)оп" Действует также старый формат обращения к команде Ггего: гтего<"РВМ".х0 Ло),Спасе.Р1.Р2) Здесь то) — точность, а ненулевое значение тгасе указывает, что в процессе реше- ния следует получать промежуточные результаты.
Для нахождения корней системы нелинейных уравнений можно использовать ко- манду зо) че нз пакета 5ушЬо1!с Ма[Ь Тоо[Ьох, см. главу 17 «Расширения МАТ[.АВ» или реализовать алгоритмы численного решения уравнений самостоятельно, при- мер использования метода Ньютона дан в главе 18 «Дополнения н примеры». Команды для нахождения минимума функции одной или нескольких переменных приведены в табл.
15.2. Таблица 18.2. Команды минииизации Имя Назначение Минимизация функции одной переменной Минимизация функции нескольких пейеменных !и!и Йипз Обращение к команде минимизации функции одной переменной имеет вид: [хм1п,орт) Гм1п! "РВМ".А,В,ОРТ,Р),Р2,...) Здесь ГОМ вЂ” имя функции, [А. В) — заданный интервал, а параметры минимизации (погрешность, максимальное число итераций и другие) передаются вектором из восемнадцати элементов ОРТ. Назначение элементов (параметров) ОРТ описано в табл. 15.3. Имя функции при обращении должно быть указано обязательно, а остальные параметры могут отсутствовать. Если указан один выходной параметр, то возвращается х!и! и. Если функция ГОН зависит от параметров Р1„Р2, ...
(не более десяти), то их можно передавать, указывая после ОРТ. При передаче параметров Р!, Р2,... структуры ОРТ они должны присутствовать в списке хотя бы в виде пустой переменной [). Результатом выполнения команды Тв! и будет значение минимума и вектор управляющих параметров ор[, которые использовались алгоритмом.
В частности, параметр опт[В) дает вычисленное в точке минимума значение функции, а параметр Решение уравнений и минимизация 389 орт(10) содержит число произведенных итераций, см. табл. 15.3. Вектор исходных назначений параметров для функций Та1 п и Тат'п5 воЗВРащает команДа ОРТ ГОР11оп5 Для изменения параметров следует присвоить соответствующему элементу ОРТ требуемое число, например для получения промежуточных результатов достаточ- но ввести ОРТ(1)-1, а затем обратиться к команде минимизации, указав в списке параметров измененный вектор ОРТ. Поиск минимума функции нескольких переменных осуществляется по команде [хпип.орт]-пп1 П5(ПЕОМ", х0 ОРП. [1. Р1,.... Р10) Здесь разыскивается локальный минимум в окрестности точки, задаваемой вектором х0, в остальном описание параметров аналогично рассмотренному для команды Тат п.
Таблица 15.3. Параиетры команд минимизации Номер параметра Описание Значение по умолчанию 0 1е-4 1е-4 1е-б 0 500для Га1п 100П длл Й\1п5 0 1е-В 0.1 1 Наличие целевой функции (да — 1, нет — О) Минимальный шаг при вычислении градиента Иаксимальный шаг при вычислении градиента Размер шага 15 16 17 18 Рассмотрим пример минимизации функции одной векторной переменной и двух векторных параметров. Подготовим функцию в файле ТО.1п: топот)пп ООС СО(7,хх.уу) 1 т - ро1ПС, хх, уу — рагааетег тес(огз оот--зоа(1,/((т(1)-хх),"2+(т(2)-уу).
2+.1)): Зададим векторы хх и уу: » п-3: хх-гапп(п,1)', уу-гапп(п,1)' 1 г 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 Вывод промежуточных результатов (да — 1, нет — 0) Погрешность для аргуиента Погрешность для функции Погрешность для ограничений Стратегия Оптимизация Алгоритм линейного поиска Значение целевой функции Управление градиентом (да — 1, нет — О) Количество итераций Количество вычислений градиента Количество вычислений ограничений Число ограничений Максимальное число итераций 390 Глава 15.
Численный анализ в ИАТ[А8 хх- 0.7095 0.4289 0.3046 уу 0.1897 0.1934 0.6822 Обратимся к команде минимизации функции нескольких переменных Тат п5 и выведем найденное значение минимума: » [зн)п.орт)-те)пз("Гп".[.5 .5), П .[].хх,уу): ъх)п эхтп 0.5344 0.2165 В восьмом элементе массива параметров орг должно содержаться значение функции в точке минимума: » орт(8) дп5 -19.2724 Проверим, что значение функции Гц в найденной точке минимума гв) и действительно совпадает с орт(8): » Гн(аппп.хх,уу) дП5 -19.2724 Численное интегрирование и дифференцирование Вычисление интегралов и производных во многих случаях довольно рутинная операция при использовании пакетов аналитических вычислений.
В МАТ[.АВ имеется пакет ЗушЬо![с Ма(Ь Тоо1Ъох, который предназначен для проведения аналитических операций. Вместе с тем часто задача содержит числовые данные или интеграл не берется в квадратурах, поэтому для работы нужны эффективные вычислительные процедуры. Для получения информации по функциям следует обратиться к справке пе)р гпптпп Таблица Ы.е.
Функции численного интегрирования Номанда Действие Функция ьгарг вычисляет значение одномерного интеграла методом трапеций, если заданы абсписсы и ординаты или только ординаты (в этом случае размер шага счи- тается равным едини е). Посчитаем интепзал двумя способами. старз цпап Ппа08. 00)цпав Иетод трапеций Метод Синпсона Иетод Ньютона-Котеса (фориулы 8 порядка) Интеграл по области Численное интегрирование и дифференцирование 391 Укажем х и у: » х--1:0.1:1: у-соа(х): Спарт(х.у).
дп5 1.6815 А теперь опустим х и результат умножим на величину шага интегрирования (отношение величины интервала к числу ячеек): » (гард(у)*( х(епб) -х(1) ) I (1епчпь(х) -1) апа- 1. 6815 Команды сааб и ццаб8 предназначены для интегрирования функций и используют рекурсию, причем глубина рекурсии ограничена уровнем 10, чтобы избежать бесконечного дробления интервала.
Обращение к команде ()цаб для интегрирования функции Р (и)-файл или встроенная функция) на интервале [а. Ь] с заданной относительной точностью го1 имеет вид: [5.П]-циаб("Р",а.Ь.СП1,(гасе) Здесь 5 — значение интеграла и и — число вычислений подынтегральной функции. Точность вычисления интеграла [о) по умолчанию равна 1е-3. Параметры со1 н ггасе могут быть опущены, а если параметр 1гасе имеет ненулевое значение, то процесс вычисления интеграла будут проиллюстрирован графически. Обращение к функции (]иаб8 аналогично рассмотренному для сцаб.
Для обеих функций вместо скалярной точности то1 можно задать вектор [йго1 Аго1 ], определяющий относительную и абсолютную погрешности. Если интегрируемая функция зависит от параметров Р1, ..., РМ, то указывать их при вызове ццаб или цьаб8 следует после переменной Сгдсе, причем сами параметры Со1 и 1гасе могут присутствовать фиктивно, то есть: [а,п]-сааб("Р",а.Ь.[].[].Р1.....РН) В завершение приведем простой пример; » [а,п]-цоаб("соа",-1,1.1е-6,1) 5 1.6829 и- 129 Мы не приводим графики распределения точек, полученные в процессе интегрирования, только заметим, что для вычисления этого простого (для систем аналитических вычислений) интеграла потребовалось достаточно много итераций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
