Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Кроме того, в состав мини-пакета по работе со сплайн-интерполяцией входят команды я((рр и нпл)Хрр, которые используются для формирования кусочно-гладкого полинома и вывода его характеристик. РаССМОтрИМ аППрОКСИМацИЮ фуНКцИИ 01П(Хт). ПОдГОтОВИМ ДОВОЛЬНО рвдКуЮ СЕтху и построим сплайн. Вычислим значения сплайна и на рис. (5.6 приведем графики сплайна (сплошная кривая) и исходной функции (пунктир), а также набор точек, по которым вычислялся сплайн (кружки): » х-О:.5:5; у-з10(х."2): хх"0:.05:5: уу"зр)1пе(х.у.хх); р)от(х,у.'ок',хх.уу,'Х'.хх,з1л(хх."2).':Х') О 1 2 з а б Рис.
1$,6. Построение сллайна для неэаикнутой нривой Интерполяция и приближение функций 397 На начальном участке сплайн-интерполяция неплохо описывает поведение аппроксимируемой кривой, а далее сказывается малое число использованных узлов. Для примера разберем построение сплайн-интерполяцин в случае замкнутой кривой (хс-1) муы2. Определим характерные точки кривой. Векторы р и ц дают абсциссы и ординаты четырех точек верхней половины кривой: » уО-сцгг(2); х0-ацгс(1+у0); р=[х0 1 0 -1]: ц-[0 уО 1 уО): Сформируем матрицу из двух строк [абсциссы и ординаты), добавив в начале и конце строк значения производных, что необходимо при построении сплайна для замкнутой кривой: » рц [О р -р хО О: р(/2 ц -ц 0 01723.
Вычислим сам сплайн, первый аргумент отвечает переменной параметризации: » аргер)!пе(0:О,рц): Теперь вычислим значения сплайна для интервала изменения переменной параметризаци и: » СГ-0:.1:О: НП-ррта)(арЛ(); Построим график, представив сплайн-интерполяцию сплошной линией и кружками — исходные точки; » р)ог(ПН(1,:).ПП(2,:),р.ц, 'о'.-р.-ц, 'о') (.6 0.6 -!.6 -2 -т о 1 2 Рис. 16.2. Аппроксннацнл криаай сплайнаии Среди библиотек МАТС.АВ для работы со сплайнами специально предназначен пакет ТЬе Ярйпе ТоосЬох. Для аппроксимации периодической функции используется команда 1пгегрт1(2, И), Здесь параметр )( задает число элементов возврашаемого массива.
Приведем пример: » Т-Зара: Г-О:Т: г-Ганн(ац п(т)): Ср-0:.2:Т; гр-1пгегртт(к.)епц(П(гр)): сс-0:.1;т; кг-тапи(а!п(сс)): р)ог(сс.ас.';к'.с,г,'о3с' ср.гр.'к') 398 Глава тб. Численный анализ в МАТ(АВ На рнс. 15.8 построен график исходной функции (пунктир) и отмечены точки, использованные для интерполирования (кружки), а также нанесена аппроксимирующая функцию кривая (сплошная линия).
О. о а то Рис. 1б.а. Конанда (птетрп и интерполяция периодической функции Метод наименьших квадратов — очень эффективный способ аппроксимации данных. Для этой цели служит команда ро) угт г()(, 1. К), вычисляющая полипом степени К, для таблицы данных )( и ~. Для получения аппроксимации используется матрица Вандермонда. Если потребуется вместо полиномов использовать другие базисные функции, то можно внести изменения в нужную функцию или написать собственный вариант метода наименьших квадратов. Рассмотрим пример нахождения методом наименьших квадратов квадратичного полинома, наименее уклоняющегося от данных из таблицы.
Подготовим векторы аргументов и значений функции: » х ГО,З: ЗЕ; у"юп(х); Вычислим коэффициенты аппроксимирующего кубического полинома при помощи стандартной функции: » р-ро)ут)ых.у.З): о. -0.4 'о Рис. та.р. построение нетодон наиненьвих кка)цтатое каадратичнопт пояинона по таблице Анализ и обработка данных 399 Зададим матрицу для определения коэффициентов полинома с нечетными степенями 1, 3, 5 и вычислим решение: » А (х. х."3, х."5): а-А>у; Для изображения полученного полинома подготовим массивы: » Х-(О:.1:3)';т-(Х. Х."3. Х. 5]»а; Ур-ро)уча>(р,Х): Теперь нарисуем график построенного полинома сплошной кривой, пунктирной кривой дадим график синуса и выведем точки исходной таблицы кружками, см.
рис. 15.9: » р)ос(Х.т.'-'.х,у.'о'.Х.тр,':'> Анализ и обработка данных Команды элементарного анализа данных (нахождение максимума и минимума, вычисление сумм, средних и медиан) были рассмотрены в главе 13 «Матричные вычисления». Продолжим изучение функций МАТ1.АВ и рассмотрим некоторые команды для статистической обработки, Фурье-анализа и фильтрации данных. Функции корреляционного анализа приведены в табл. 15,7, в которой использованы следующие обозначения для входных параметров: Х и У вЂ” массивы данных.
Таблица 15.7. Команды статистической обработки данных Назиачеиие Команда сот(Х,т> Вычисление матрицы ковариаций соггсоет(х.т> Вычисление коэффициентов корреляции зто(Х) Стандартное квадратичное отклонение Функция соч для вектора возвращает дисперсию, а для двумерного массива— матрицу ковариаций, при этом каждый столбец рассматривается как переменная, а строки — как наблюдения.
Вектор стандартных отклонений может быть получен по команде зцгт(()(а9(сот(А) >) или 51((. Обращение сот(Х,Т) эквивалентно сок((Х У)), когда массивы Х и У имеют одинаковое число строк. Коэффициенты корреляции определяются функцией соггсоей Простой пример анализа девяти наблюдений двух периодических функций: » х р1/4»(1:9): Х [-У»з1п(х);7»соз(х))': » С-сот(Х), соггсоет(Х>. зге(Х) С- 0.5556 0.0556 0.0556 0.5556 апз- 1.0000 0.1000 0.1000 1.0000 кз00 Глава 15.
Численный анализ в МАТ1А5 апз- 0.7454 0.7454 Специальная библиотека команд собрана в пакет МАТЮКАВ Зтас(з11св Тоо! Ьох. Преобразование Фурье и его дискретный вариант — важные компоненты многих расчетных процедур, включая анализ сигналов и обработку изображений.
Эффективной реализацией дискретного преобразования является алгоритм быстрого преобразования Фурье ГГТ (Газг Гоийег Тгапв1опп). Набор функций МАТЮКАВ для работы с прямыми и обратными преобразованиями Фурье дан в табл. 158. Таблица 15.8. Команды на основе Фурье-преобразования Команда Назначение ГГГ(Х,Д) пт2 Ггтп 1йт ИГГ2 ИГтп Ггтзп!гс Одномерное дискретное преобразование Фурье Двумерное дискретное преобразование Фурье п-мерное дискретное преобразование Фурье Обратное преобразование Фурье Обратное двумерное преобразование Фурье Обратное и-мерное преобразование Фурье Перегруппировка выходных нассивов преобразований Фурье с размещением нулевой частоты в середине спектра Быстрое преобразование Фурье позволяет анализировать временные ряды, определяя частоты периодических (регулярных) компонент сигнала и выделяя стохастический сигнал.
Если длина входной последовательности является степенью двойки, то применяется алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ), имеющий максимальную производительность. Специальная оптимизация для вещественных входных данных обеспечивает дополнительное ускорение обработки. Для данных иной длины используется алгоритм, требующий существенных затрат времени. Скорость работы можно повысить, указав дополнительным параметром длину обрабатываемой последовательности. Если длина входных данных больше указанного числа, то произойдет усечение данных, в противном случае недостающие элементы заполнятся нулями. Рассмотрим примеры только для команды ГГ1 и вначале разберем случай с малым числом элементов.
Зададим вектор и вычислим его преобразование Фурье: ь х (2 4 3 5]: у-ГГ11х) У" 14.0000 -1.0000ь1.00001 -4.0000 -1.0000-1.0000! Результат дается вектором с комплексными числами. Для четного числа (20 элементов) входных данных выходной массив всегда обладает следующей структурой: первый элемент дает сумму исходных данных, со второго по и-й элемент идут частоты,элементп+1 (здесьтретий) -этотак называемая частота Найквиста,после которой следуют отрицательные частоты.
Для вещественных входных данных это величины, сопряженные к элементам выходного массива со второго по п-й. При нечетном числе входных данных результатом будет сумма элементов и два набора комплексных чисел. Анализ и обработка данных 401 Рассмотрим пример анализа временного ряда, полученного суммированием двух периодических составляющих и случайной компоненты с нулевым средним: » а-999;1-0:1/а:1: х лтп(2»ртг»90»С)+лтп(2»рг»160*1)+гапбп(1, п»1); Вычислим преобразование Фурье и определим мощность сигнала, приготовим так- же частотный диапазон для графика: » у-(Гт(х); ронег-апп(у); тгед-(О;а)'айа»1); Теперь на рис.
15,10 приведем часть исходных данных (график слева) и результа- ты спектрального анализа (график справа). Для удобства ограничим отрезок час- тот при помощи команды ах(5: » пиЬр)оы121). Р)от(х(1.100)), поЬр)от(122), р) о1(тгед.роиег). ахтп([0 250 0 (пт]) 0 50 100 0 100 200 а о Рис. 15.10. сигнал и его обработка при полощи коканды пт На полученном рисунке ясно видны две частоты периодических компонент сигнала, см. правую часть рисунка. Для обработки сигналов в МАТ[.АВ имеется специальный пакет 5)дпа[ РтосеЫпд Тоо[Ьох. Свертка двух сигналов эквивалентна умножению преобразований Фурье этих сигналов и осуществляется при помощи команды г-сопч(х. у), для обратной операции имеется команда [р,((]=песопч(г.х).
Для двумерных массивов свертка производится при помощи команды сопч2. Фильтрация входных данных помогает их усреднять, что бывает важно для временных рядов. Одномерная и двумерная фильтрация данных поддерживается соответственно командами т) ]Сег и т)]тег2. Основной вариант обращения к команде у-т1) 1ег(Ь, а, х) означает реализацию следующего разностного уравнения: д(1)у(п) Ь< 1)х(п)+...+Ь<пЬ+1)х(п-пь)-а(2)у(п-1)-...-а(па+1)у(п-па) Здесь па и пЬ есть число элементов соответственно массивов а и Ь, а выходной массив у представляет собой комбинацию исходного и получаемого массивов данных. Приведем пример. Приготовим массив данных, вычислив значения синуса на грубой сетке, и назначим фильтр, усредияющий данные по пяти точкам: » 0-1:100тх-атп(2»1).а-1. ь-опек(5.1)/5: 402 Глава 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
