Говорухин В., Цибулин Б. Компьютер в математическом исследовании (1185927), страница 41
Текст из файла (страница 41)
АВ5. "сепсегпаае"-сп) х Е)с Выведем характеристики созданнбго геометрического объекта: 214 Глава В. Математические библиотеки Мар!е > Сета)1(Е)с); аввипе тьат тле палев от тле ьогыепса1 апа' тест)са) алев аге х апа' у. гевресыте1у пате о/" тле оа/есгг Е1с Уопп о/' тье оь/есс с)гс1е28 яате оуйе сепгегг сп соогодпагее о/ тье сепгег: 11/4, -1/4! гаг)/ие о/" гае Ыгс!е: 1/8*5>[!/2) *8>[1/2) едиапоп о! )ье спс1е: х"2-1/2+ у"2-1/2* х+1/2* у = 0 Определим медиану треугольника АВ5, проведенную из вершины А: > пей ап[мА.
А. АВВ.М): В заключение выведем все созданные в атом примере объекты на одном графике: > агап[(А.В,Е.АВ,СВ.АЕ,АВ5[т)11ео=тгие,со1ог-дгееп),пА,Е1сК ю ем=[-2..2.-2..2).со1ог-ь)асх): "2 -2 -1 О 1 2 Стереометрия и пакет яеов36 Команды пакета трехмерной геометрии деоп)Зд похожи на рассмотренные команды двумерной геометрии. Мы не будем приводить повторно команды, которые отличаются добавлением только одной координаты в параметрах. Как и в предыдущем разделе, ограничимся представительным подмножеством команд пакета, а полный их список можно найти в справке Мар1е.
Для определения точки, прямой, плоскости и сферы применяются соответственно функции роте[, 11пе, р1 апе и ар))еге. Можно также определить отрезок (зедяепс), направленный отрезок (озедвепт), треугольник (ьг1апд1е) и целый ряд многогранников (например, командой Ветга))ебгоп создается пирамида). Как и в предыдущем разделе, при задании геометрических обьектов возможны различные способы их определения (координатами точек, уравнением и др.). Для вывода информации об обьекте используется команда пега)1, а для его изображения — команда г)гам В пакете деоп)36 по умолчанию идентификаторы х, у, 2 и С используются для указания координат точек, а также в уравнениях прямых, плоскостей и сфер.
Приве- Геоиетрические пакеты 2 15 дем пример задания сферы, пирамиды и плоскости, которая проходит через центр сферы: > итти(ОеоаЗО): > ариеге(арап,[ро1пт(парис 0,0,0),2]): ерьг > тетгаоебгоп(тет,ро1пт(отет.0.0.5).З): > р1апе(р1п,(отрог.(0.0,-0.)]]): После етого выведем информацию о сфере и нарисуем все три геометрических объекта: > с!ета!1(!рог). Нагп!пО, аааоае окат тое папе от тое ахеа аге х, у апп г пате оу" йе оЬ]есгг ер)!г уопп о>ггье о(уесо арьегеуг! пате ауйе сепгег: оерьг соогглпагее ау гье сеп(ег: (О, О, 0] га~т(иа оу" йе арьегег 2 еиг)асе агеа оу"тье арьегег )б "Р! го(ите оу йе ерьегег 22IЗ >Р! еуиалоп аутье арьегег х"2е у"2+ а"2-4 = О > агап( (арог лет.
р1 п(со1 ог-Ы ое, ату1е=РАТСНИООО10) ), ог(ептат!оп=()0.55]): Ряд команд выполняет проверку некоторых геометрических условий, см. табл. 8.4. В следующих командах, см. табл. 8.5, если зто не оговорено особо, результат действия присваивается первому параметру команды (переменной с именем пап)е). Задание большинства геометрических объектов (вершин треугольника или тетраздра, точек отрезка и др.) не должно содержать никаких символьных переменных.
216 Глава 8. Математические библиотеки Мар!е Таблица В.д. Команды проверки условий для объектов трехмерной геометрии Имя Условна Лежат ли три точки на одной прямой Проходят ли три прямые через одну точку Принадлежат ли четыре точки или две прямые одной плоскости Проверка параллельности двух прямых, двух отрезков или двух плоскостей АгеСо11зпеаг АгеСопсиггепС АгеСор1апаг Агерага11е1 Проверка перпендикулярности двух прямых, двух отрезков или двух плоскостей Принадлежит ли точка рпт геометрическому объекту оЬ1 Является ли плоскость р1 касательной к сфере зрП АгеРегрепп1си1аг (зопОЬЗест(рпт,оЬО) 1зтапоепт(р!,зрп) Таблица Влк Команды определения трехмерных геометрических объектов и действий с ниии Назначение Имя Вычисление площади треугольника, сферы или многогранника Вычисление центра геометрического объекта Вывод координат точки Вычисление расстояния между двумя геоиетрическими объектами.
В качестве таких объектов могут фигурировать точки, прямые, отрезки или плоскости Вывод уравнения геонетрического объекта Вычисленнеугла нежду двумя геометрическими объектами Вывод информации о виде геометрического объекта Вычисление пересечения двух или трех геометрических объектов Вычисление середины отрезка, соединяющего две точки Вычисление Плоскости или прямой, проходящей через точку и параллельной заданной плоскости или прямой Вычисление проекции одного геометрического объекта на другой Вычисление радиуса объекта Вычисление геометрического объекта, зеркально симметричного данному относительно точки, прямой или плоскости Вывод величины ребра правильного многогранника Вычисление плоскости паве, касательной к сфере зрп и проходящей через точку рз Определение тетраздра по четырем точкаи Пйренос геометрического объекта, заданный направленным отрезком Вывод координат вершин многогранника Вычисление обьема сферы или многогранника агез септег сооггдпатез П1зтапсе Есоат(оп Е!ППАПО1е топя 1птег зп Про1 ПС рага11е! ргозесыоп гас(пз гет(ест(оп ел вез тапчепсР1апе (пане.рз.зрП1 тезгакеогоп 1гапз1аттоп чегС1сез чо1 шге Проиллюстрируем действие ряда команд и начнем с команд преобразования гра- фических объектов.
Сначала определим три точки А, В н С, прямую 1т и направлен- ный отрезок. Е: Геоиетрические пакеты 217 > ро1пт(А,3,0.0).ро1пт(В,2,3.1).ро(пт(С,1.0,3): 11пе(11.[0.0 л).Ь): баеоеепШ .Ро(пт(11,0.0.0).ро1пт(!2,0,0.6)); Зададим треугольник Т1 по трем точкам А, В и С. После этого вычислим множество треугольников, полученных вращением на различные углы треугольника Т1 вокруг прямой 11. Третья команда формирует множество треугольников, полученных переносом треугольников первого набора на отрезок [: > Ьг(апд)е(Т1.[А.В.С)): аещ готат1оп(Т1г))1.Т1.еча)Г(Р1(5*1).11).1-1,.10): аец(тгапа)ат1оп(Т11 П 1,11г П)т,[) л-1.. 10): Теперь нарисуем все полученные треугольники: б гак((аео(т1г П к (-1 .. 10), аец(11( П 1 л-1 ..
10) . 11) . ахеа-Ьохеб): Прн определении некоторых геометрических объектов допускается использование символьных параметров. Для работы с такими объектами, могут понадобиться дополнительные предположения о свойствах символьных параметров. Зададим сферу 5, вычислим ее радиус, площадь н объем, а затем проверим,.принадлежит ли ей точка А. Результатом последней команды является условие принадлежности точки сфере. Вычисленные радиус и объем будут зависеть от символьной константы г2. Для определения сферы и корректной работ(а команд необходимо сообщить о положительности параметра г2: > аааоае(г2»0): > зраеге(5,х 2+к"2+а 2-г2 0,[х.у.к1): Я > габарит(5); агеа(5): чо)бее(5); ~~2- 218 Глава 8.
Математические библиотеки Мар(е 4 лг2- 4 <зг~ — пг2- ' 3 > !зппОЬ3ес!(ро)п[(А,[-1. 1.зпгс(г2-2)3).5): тги« Интерполяция и аппроксимация Построение сплайна с переменной та г по таблице, заданной векторами Х, т, производится при помощи команды зр1) пе(Х Л, чаг (3). Здесь параметр О определяет порядок сплайна, который может быть линейным (11пеаг), квадратичным (Оовбгас! с), кубическим (сои с) и четвертой степени (сцаг1(с). По умолчанию строится кубический сплайн. Результатом действия команды будет построение сплайна в виде кусочно-гладкой функции (р1есеи)зе). Построим кубический сплайн по определенному выше набору точек рптк > Г.-вр1!пе(рптв.к,сиЫс); 323 183 з — — х»- — х 28 28 283 202! 849 383 — — — х+ — хг- — к 14 28 14 28 2277 5659 !53 г 257 — — + — х- — х + — к 14 28 2 28 981 2819 171 г 57 — — — к+ — к — — х.
7 28 , 7 28 х<2 х<3 отваги Не В главе 3 «Математический анализ в Мар[е> уже рассматривалась аппроксимация функций, а для числовых данных в Мар!е имеется несколько команд, реализующих обычную и сплайн-интерполяцию, а также метод наименьших квадратов для приближения данных, В результате выполнения любой из этих команд формируется выражение, которое затем можно преобразовать в процедуру. Напомним, что для оформления выражения в виде процедуры можно использовать команду Опзрр1 у или команду из пакета сос[едеп тасос:-сооедеп[махергос)(т.х). Здесь Гргос — имя формируемой процедуры, х — независимая переменная. Для построения интерполяционного многочлена относительно переменной чвг по таблице, заданной векторами Х,У, используется команда »осетр(Х, У.
наг). Массивы, задающие узлы интерполяции, могут быть не упорядочены, но массив Х не должен содержать одинаковых элементов. Приведем пример: > рпсз: [0,1,2.3,43.[0,-5.9.3,-23: рли и> [О, 1, 2, 3,43, [О, -5, 9, 3, -2! > 9:-зпсегр(рптз.х); 5 4 43 з !13 г 85 8:= — х- — х+ — к — — к 2 2 2 2 Интерполлцил и аппромсинацил 23,9 Преобразуем полученное выражение в процедуру: > тргос:-собеоеп[иахергос](т,х); /ргос:= ртос (х) р(есетч!ве(х< 1, -323/28хх+ 183/28хх"З,х< 2, 283/!4 — 2021/28хх+ 849/14хх 2 — 383/28хх 3, х < 3, -2277 /! 4 + 5659/28 хх — 153/2 их"2 + 257/28 хх" 3, 981/7 — 2819/28 их + 171/7 их"2 — 57/28 их" 3 ) епб ртос Другим способом приближения данных является метод наименьших квадратов.
Результатом применения этого метода является функция заданного вида, наименее уклоняющаяся от исходных точек. Для применения этого метода в Мар!е можно воспользоваться командами линейной алгебры или использовать команду 1еазгзциаге из пакета в!а!в. Входными параметрами команды 1еазгвцизге являются имена переменных, вид функции и набор точек. Построим методом наименьших квадратов приближение кубическим полиномом тестового набора данных рп[к Предварительно подключим пакет статистики; > н)тп(5!д(5): > и:-(Чс[)еавсвциаге([х,у].
у-а1*х"3+а2*х"2>аЗ"х+а4П ((рптв]); 3 з 53 т 95 6 Ь:=у=--х + — х — — х-— 2 7 14 7 Выделим правую часть полученного выражения: > и:-гпв(ю: Сравним три полученные различные аппроксимации. Сначала вычислим значения приближений в точке х-3.5, которая лежит между узлами интерполяции: > тргос(3.5): ча!ие(виьв(х-3.5.0)): ча1ие(виол(х-3.5,Ь)); -.26339290 -3.2812500 3.830357!43 Теперь построим в одних осях графики полученных приближений на рассматри- ваемом интервале и аппроксимируемые данные: > р)с1: р1ом[т.р.п],х 0..4,СПЧсхпевв [0.2.43.со)ог Ь)асх. 1ерепб ("сплайн","полипом","метод наименыих квадратов"3, ахев-Ьохеб): > рчс2: р1ос([вец((роса[13[!].роса[23[! П .ч"1..5И .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
