Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Итак, рассмотрим систему х=ег(х, у) (или ех=У, е=Е 'чк'1), у= р(х, у). (12) 21З е 171 ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДХ Здесь /, Р и их производные — величины порядка О(1); х, у— векторы размерности 1, У соответственно. Спектр вариационной матрицы (12) определяется уравнением 12'.2, — АЕ ЬУ (13) ЄР— 2Е ~ Легко показать, что жесткая часть спектра определяется спектром матрицы 2„(умноженным на Р, если, конечно, 2„не имеет собственных значений О(Е ')), а соответствующие собственные векторы Ф,.
имеют по существу лишь х-компоненту (их у-компонента есть О(Е ')). Хорошо известна и качественная сгруктура траекторий. Она определяется многообразием Г, уравнением которого является 2(х, у) = О. Оно разбивает фазовое пространство на две части: 2(х, у) > О и у(х, у) < О. Система (12) является жесткой в случае «отрицательности» спектра у„(х, у). Теория сисгем вида (12) хорошо развита.
На рис. 23 показана типичная картина в случае, когда х и у — скаляры. (В многомерном случае картина, конечно, более сложная, но примерно того же характера.) Вне малой О(2. ')-окрестности Г поле направлений почти горизонтально, фазовая скорость очень велика (порядка Рис. 23 О(Е)). Она направлена вправо в области 2 > О и влево в области У < О. За короткое время О(Е ') система из точки (х„, у„) переходит в малую О(Ь ~)-окрестность Г.
В этой окрестности х = О(1), у = 0(1) (так как 2 = 0(2. ')) и здесь осуществляется медленное движение фазового вектора (х(г), у(г)) вверх или вниз вдоль Г в зависимости от знака р. В зависимости от «знака» у„на многообразии Г выделяются устойчивые н неустойчивые ветви. На рис. 23 устойчивые участки — это (А, В), (С, Р), (Е, Г), неустойчивые — (В, С), (Р, Е). В окрестности последних система не является жесткой, так как спектр /„(х, у) 2!б ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1ч.
и не является «отрицательным», появляются собственные значения с положительной действительной частью. Наиболее интересные явления происходят в окрестности точки В (или 12), когда теряется устойчивость, т.е. в окрестности В одно из собственных чисел у«(х, у) переходит в правую « полуплоскость. При этом траектория в рек« ! -! «Ш жиме «внутреннего слоя» за время О(4, ) ! переходит в точку В'. 1 В зависимости от знака Р на (С, О) траектория либо со скоростью О(1) поднимается вверх до Р, после чего быстро (за время О(ЕМ! 0!С«! 0<С'! г ПОрядКа О(С ')) ПЕрЕХОдИт На уСтОйЧИВуЮ ветвь Г, либо спускается в точку С и в режиРис, 24 ме пограничного слоя переходит в точку А, и т.д.
При изображении графика траектории (х(!), у(!)) получаем картину, в которой участки медленного движения сменяются быстрыми «скачками» с одного уровня на другой, траектория воспринимается почти как разрывная (рис. 24). Такие же «внутренние слои», разделенные длительными (порядка О(Т)) промежутками спокойной эволюции, наблюдаются на траекториях уравнений химической кинетики и других аналогичных систем.
Численное интегрирование сингулярно-возмущенной системы с большим шагом. Согласимся, что при численном решении системы (12) с шагом т «~ 1 и тг,~ 1 (например, тг, порядка 1ОЗ, 104 и т.д,) допусгимо лишь качественное воспроизведение слоев. Длительность численного слоя может быть порядка 0(т), что намного больше его действительной длительности порядка г, '.
Структуру же слоя численное решение совсем не описывает. Однако важно, чтобы участки медленного движения точки х(!) были воспроизведены достаточно аккуратно. Таким образом, при численном интегрировании жестких систем используется обычное представление о близости приближенного и точного решений прн всех г, за исключением малых (порядка 0(т)) окрестностей слоев. Посмотрим, что дает использование неявной схемы Эйлера: «„-«у„— у т = ИУ(х»+! у»+!), " ° " = ~р(х«+„у«Ф!). (14) Рассмотрим характерные ситуации.
начало расчета (первый шаг), п = О. точка (х, уо) находится «далеко» от Г, точка (х„у,) находится из системы уравнений у(х, у) — —,(х — хе) =. О, у — уб — т Р(х, у) = О. (15) ! 2)7 4 17! ЖЕСТКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ Первое уравнение определяет х-мерное многообразие Г', являющееся (в силу того, что 1/2л~!) слабым возмущением мнопюбразия Г.
Точнее, ограничиваясь невырожденнымн ситуациями, можно утверждать, что точки Г' находятся в О(1Пл)-окрестности Г. Второе уравнение определяет (-мерное многообразие, расположенное в О(т)- окрестности гипердлоскости у — уо = 0 (рис. 25). Согласно асимптотической теории уравнения (12) первое приближение (имеющее погрешность О(х. ')) к траектории на интервале пограничного слоя (О ж 1 < О(с ') ! определяется системой уравнений х =АУ(х, у), у=0, х(0) =х, у(0) =у. (16) (хи ус) Правая граница пограничного слоя определяется выходом траектории, движущейся в О(2, ')-окрестности гиперплоскости у= уо, в О(Ь ')-окрестность Г.
Таким образом, учитывая условность термина «правая граница пограничного слоя», мы все же можем утверждать, что за время О(х. ') траектория (12) нз точки у-у -ст)х,у) (хр, у ) попадает в О(1. ')-окрестность корня системы уравнений — — — — - со У(х, у ) = О. Таких корней мо- гв х„Уа Г" жег быть много. Траектория же а а ~Г «выберет» из них один, который у . х г ~ )х(у,') о о мы условно назовем первым. Вышеприведенные несложные оценки показывают, что в общем (не- вырожденном) случае среди кор- Рис. 25 ней системы (15) имеется корень, находящийся в О(т)-окрестности первого («истннного») корня н, тем самым, в О(т)-окрестности точки (х(1'), у(1')), где 1 = О(2. ') — правая граница пограничного слоя. И если используемый метод решения системы (15) (а зто обычно метод Ньютона) даст именно нужный корень, с принятой здесь точки зрения результат нас вполне удовлетворит.
Но система (15) может иметь н другие корни, в том числе на неустойчивой части Г. Здесь мы сталкиваемся с потенциальной опасностью, возникающей прн прохождении пограничного слоя «за один большой шаг». Наряду с «правильным» решением (х„у,) (см. рис. 25), не исключена возможность получить принципиально неверные значения (х,', у,'), (х,", у,а) и т.д., после чего даже точное интегрирование системы даст совершенно неверный результат, Особенно опасными являются корни на неустойчивых ветвях многообразия Г.
мз ЧИГЛЕИИЫЕ МЕТОДЫ М»ЗЬМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1ч. и В связи с вышесказанным становится понятным стремление специалистов, занимающихся численным решением жестких систем, интегрировать пограничные слои с малым шагом т')(,/,~~ «»'-1, В этом случае поведение численной траектории достаточно аккуратно воспроизводит поведение точной и, затратив определенное машинное время, мы попадем в окрестность именно того решения (х„у,), которое нужно. Однако с такой тактикой связана своя проблема: распознавание «начала» режима типа «слой» и его «концам Шаг т' настолько мал, что преждевременный переход на этот шаг, так же как и запоздалый переход на большой шаг после того, как слой пройден, приводит к расходу машинного времени, часто недопустимому.
Конечно, в самом начале расчета следует использовать малый шаг т'. ирак".ически любая траектория жесткой системы начинается пограничным слоем. Но в дальнейшем заранее неизвестно, когда произойдет очередной скачок. Часто шаг т так велик, что схема проскакивает очередной слой за один шаг со всеми вытекающими отсюда последствиями. Простой выход — обнаружив скачок от (х„, у„) к (х„«ы у„+,) (а он, очевидно, легко обнаруживается по большому изменению-переменных за шаг), вернуться назад и интегрировать от точки (х„, у„) с малым шагом т" — едва ли может считаться удовлетворительным пг причинам, указанным выше.
Он может привести к огромному перерасходу машинного времени на чрезмерно точное вычисление траектории задолго до того, как в этом возникает действительная несбходимость. Более разумная с практической точки зрения тактика состоит в том, что, если при шаге т получено большое изменение фазовых переменных, следует вернуться назад, уменьшив шаг всего, скажем, в три раза; в дальнейшем можно поступать таким же образом. Аналогичную проблему представляет переход от малого шага в области слоя к очень большому после выхода траектории из этой области. Заметим, что проводящиеся иногда «состязания» методов численного интегрирования жестких систем (какой из них быстрее решит ту или иную задачу-тест) являются не столько соревнованием вычислительных формул, сколько соревнованием алгоритмов регулирования шага.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
