Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Он основан на том, что часто бывает известно решение близкой задачи, содержащее такую же особенность. Решение ищется в виде Р(х, у) =о(х, у)1а(х, у), где 5= в '/-" ут. Смысл замены переменных заключается в том, что функция Б удовлетворяет уравнению — /ГЯ= (1 — 1/~Гх~+ у1)б, отличающемуся от (7) и!ьздшими дифференциальными членами. Другими словами, особенность в потенциале 1/~5~+ уз порождает в решении слабую особенность типа б(х, у). Поэтому ищем решение, уже содержащее такую особенность, полагая, что после замены переменных искомая функция ар должна быть гладкой. В результате простых преобразований, которые мы опустим, получаем для р уравнение где дифференциальный оператор / х д у д а / ! а+ а дх ТГ а+ а ду) ~.Да а «Потенциал» 1Мх"+ уа — У(х, у) — 1 особенности при х = у 0 уже не имеет.
коэффициенты типа х/!/хз+ уз, у/чх~+ уз также остаются ограниченными всюду. Заметим, что для функции ар(х, у) краевые условия не являются условиями периодичности, как это было для Р(х У) пгвзлнжвнныв мвтодм вычнслнтяльно» «нзнхн 1ч. и Чтобы иметь дело с хорошо освоенной в вычислениях периодической задачей, будем трактовать замену переменных следующим образом: Мы имеем уравнение НР = Ьр. Используя замену Р = Я р, / и' т получаем 2,~р= Ьр.
Обратная замена ~р»» е "+т р дает е-«х +У 1 е1~~т+У у )~~р ге Н в-ь» +У г е»~ +У Практически это следует понимать так. Расчет ведется в терминах р „— периодической, но «негладкой» функции, которая имеет ,дт+ з «особенность» типа е " +г . Действие на нее оператора Н состоит .~/ 3+ 2 из следующих операций. Функция р умножаегся на е " +т и превращается в гладкую функцию, На эту гладкую функцию действует разностный оператор, аппроксимирующий дифференциальный оператор Е. Затем результат умножается на е ~+т .
Относительно оператора Н нзвеспю, что он самосопряжениый. Для вычисления главной собственной функции и собственного числа оператора Н применяется степенной метод с регулярнзатором В и параметром т: мч В~ —:-~- =(и — Л'Е) р~, Х'+'= (Нр'+', р'+'У(р'+', р+~), <Р'+ ' = Р' + тВ '(Н вЂ” Ъ.'Е) р~. Здесь 1 — номер итерации. В качестве оператора В использовались В~ — Е, Вз — Š— о — Š— о —, В и«(Š— оЬ). эх~ ) ~ ау~ Разумеется, имеется в виду разностная аппроксимация дифференциального оператора.
Оператор Вз легко обращается (сначала прогонкой по х, затем по у). При этом используется периодическая прогонка А. А.Абрамова (см. 3 18). Параметр о. подбирался экспериментально. Обращение оператора Вз выполнялось с помощью быстрого преобразования Фурье (см. з 24). Таблица 12 показывает сравнительную эффективность разных методов (1 — число итераций для достижения заданной точности, ~ — машинное время, расходуемое на выполнение одной итерации; во всех расчетах погрешность с = 10 ~).
Расчеты, проведенные для разных сеток, показали, что собственные числа практически не зависят от Н даже при сравнительно грубых сетках (типа 10 х 10). Это, конечно, — эффект удачной «регуляризации», т.е. аналитического выделения особенности. Отметим, что особенность вводится в решение «мультипликативно», а не «адднтивио» (т.е. в решении используется замена типа з 161 ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЬЬХ ЗАДАЧ зоз р = е ~ +Р 1р, а не замена типа р = р + 1р, где р„— известное решение с особенностью).
Это связано с характером вхождения особенности в уравнение: особенность входит в потенциал, умножаю- Таблица 12 щийся на р. Если бы особенность входила в правую часть или в кра- евые условия («аддитивно»), то выделение ее в решении носило бы адаптивный характер (см. з (4). Исследование устойчивости стационарного состояния. Другим источником главных спектральных задач является важная в приложениях проблема устойчивости некоторых состояний среды. В общих чертах возникновение такой задачи можно представить в следующем виде.
Временная эволюция некоторой системы описывается дифференциальным уравнением ~'(Я)1 1 м К а(()) иа где т. — Нелинейный дифференциальный оператор. (Уравнение дополнено краевыми условиями, которые мы явно в наше достаточно поверхностное изложение не вводим.) Пусть состояние и стацнонаРное, т.е. т'.(из) = О, и фУнкциЯ и(1) ш иа (на самом леле от 1 не зависящая) является решением уравнения. Предположим, что по какнм-то причинам мы заинтересованы в длительном существовании этого состояния. Возникает вопрос: возможно ли оно? Ведь система подвергается различным возмущениям, т.е. более точно ее поведение описывается уравнением — =Ци)+Е/, «(()) = из+ еоз, где ЯУ и еио — малые возмУщеник.
СУдьба стационаРного состовнив существенно зависит от того, приведет ли наличие возмущений к столь же малому возмущению решения или следствием будет уход системы из состояния и . В последнем случае представляет интерес пгивлижвииыв мвтоды вычислитвльиой физики 1ч.
и и темп ухода, т.е, оценка времени, на котором разница между ив и и(г) будет достаточно мала. Исследование таких вопросов начинается обычно в линейном приближении. Уравнение линеаризуется, и для возмущения ви(г) получаем линейную краевую задачу: зг — ~ ("о) "+г "(В) ио. Здесь».„(ив) — производная оператора».(и) в точке ив. Она вычисляется формальным дифференцированием по и входящих в».(и) членов. Отметим, что коэффициенты»,„(ив) не зависят от времени. Следовательно, при ~ ш 0 решение можно найти методом Фурье: где ~р» — собственные функции оператора Ь„(ив), Х» — соответствующие собственные значения, с» — коэффициенты Фурье функции и .
Суждение об устойчивости состояния ив зависит.от крайней правой точки спектра. (Наличие г пе вносит существенных корректив, так как в этом случае решение ищется методом вариации произвольных постоянных и имеет тот же качественный характер, что и решение при у' = 0.) Подчеркнем, что спектр задачи существенно зависит от исследуемой стационарной точки и . Исследования подобного рода в настоящее время активно проводятся в таких областях, как гидро- и газодинамика, физика плазмы.
В последнем случае особенно важными являются исследования некоторых состояний плазмы в установках типа токамак, стелларатор и других, в которых физики надеются получить управляемую термоядерную реакцию. Обычно исследования подобного рода составляют лишь начальный этап. Обнаружив неустойчивость исследуемого состояния, переходят к следующему этапу. Неустойчивость приводит к быстрому росту малого возмущения, и через короткое время уже нельзя пользоваться линеаризованной теорией: нужно переходить к решению полных эволюционных уравнений, Линейная теория дает в этом случае достаточно разумные начальные данные.
На линейной стадии развития процесса неустойчивости из очень малого случайного возмущения вьо естественно выделяется наиболее быстро растущая компонента (именно ее определяет решение главной спектральной задачи). В первую очередь нужно рассмотреть последствия конечного возмущения именно той формы, которая соответствует главной собственной функции. Конечно, возможности численных методов решения эволюционного нелинейного уравнения ограничены. Для их успешного применения необходима достаточная гладкость начальных данных и . В противном случае требуется слишком мелкий шаг сетки, и прове- 8 16! ГЛАВНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАЗАЧ 205 дение расчетов может оказаться даже невозможным.
К счастью, в большинстве случаев ситуация благоприятная: главная собственная функция оказывается достаточно гладкой, имеющей небольшое число нулей. (В многомерном случае вместо числа нулей следует говорить о числе подобластей, в которых функция сохраняет знак.) Расчет нестацнонарных процессов в ядерном реакторе. В настоящее время наиболее освоенной (с вычислительной точки зрения) задачей математической теории ядерных реакторов является расчет стационарного состояния, т.е. решение главной спектральной задачи.
Однако все более актуальным становится расчет динамических процессов, происходящих в реакторе при изменении внешних условий его работы, например при изменении положений регулирующих стержней, По существу речь идет о расчете процессов перехода реактора в новое стационарное состояние, хотя, конечно, имеется в виду и математическое моделирование аварийных ситуаций. Задачи подобного рода обычно решаются для упрощенных моделей реактора. В настоящее время разрабатываются методы решения нестационарных задач для столь же развитых и подробных моделей реактора, какие используются для расчета стационарных состояний.
Обсудим некоторые вычислительные проблемы, возникающие в таких задачах, н возможные пути их преодоления. Уравнения нестационарного процесса запишем в форме 8' — = С(а)Ф, — = А(а)Ф, Ф(0) = Фо г ~ О, (8) дг ' дг Первое уравнение есть компактная запись системы (2), матрица 8' — диагональная.
Наряду с полямн нейтронов Ф (Ф„Ф ) (если используется модель с большим числом групп, рйзмерность вектора Ф, соответственно, увеличивается) учитываются еще и поля, описывающие другие физические характеристики состояния реактора. Для определенности будем считать, что а — скалярная функция, описывающая температуру (именно такая модель изучалась в расчетах, результаты которых иллюстрируют излагаемые здесь подходы), 1,(а) — дифференциальный оператор, коэффициенты которого В,, А,.
в системе (8) зависят от а. Таким образом, коэффициенты системы (8) зависят от пространственных координат и г явно и неявно — через зависимость от а. В коэффициенты может входить явная зависимость от г, если рассматриваются, например, процессы регулирования положения стержней. Сложности решения системы (8) связаны с тем, что 8' — это малый «векторный» параметр, т.е. система является сингулярно-возмущенной, описывающей взаимодействие процессов с существенно разными характерными временами. Если, например, для переменных Ф время 0.1 -'-1 с является болъшим, то для температуры а вре- и»ихлижвииые мвтоды зычислитвльиой»изики !ч.
и мя 0.1 —: 1 с является малым. (Во избежание недоразумений отметим, что все конкретные цифры относятся к тем расчетам, результаты которых будут приведены ниже.) Рассчитываемый процесс был связан с проработкой проекта научно-исследовательского реактора, в котором при «холодном» состоянии (а»жО'С„Ф»жО) внезапно (поднятием регулирующих стержней) создается надкритическая ситуация (Х, ж 10 —: 200).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
