Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 38
Текст из файла (страница 38)
изучать спектр задачи (8) как слабое возму- щенке хороню изученного спектра задачи при а = О. Эти аналитические методы достаточно эффективны при больших ~ Ц, но теряют точность и иногда просто непригодны в области малых ~ Х 1 . Однако именно точки спектра с малыми ~ Х ~ нередко представляют наибольшую прикладную ценность, и численные методы в этой области удачно дополншот аналитические исследования. Таким образом, речь идет о приближенном вычислении относительно небольшого числа точек спектра.
И здесь в зависимости ат ситуации может быть использован метод «пристрелкн», когда интегрируется задача Коши с начальными данными х(0, Х) = О, х(0, Х) = 1 и этим алгоритмом численного интегрирования определяется функция комплексного переменного Ф(Х) щ х(1, Х). В другой ситуации может оказаться целесообразным применение метода прогонки, когда, например, решение ищется в форме х(г) = а(г) х(г), а для «прогоночного коэффициента» а(г) обычным способом получается уравнение (типа уравнения Риккзти), содержащее параметр Х.
Интегрируя зту задачу (конечно, численно), вычисляем а(г, Х) н определяем Ф(Х) щ а(1, А). Если на правом конце за- 1 ий спвкт»Альнля злдАч» штл'мА-лнтвнлля дано более общее краевое условие (например, х(1) + рх(1) = 0), оно вместе с прогоночным соотношением х(1) = а(1) х(1) образует систему линейных уравнений относительно х(1) и х(1), а Ф(А) определяется как детерминант этой системы. Так нли иначе мы получаем функцию комплексного переменного, значения которой вычисляются процедурой интегрирования задачи Коши (в комплексных числах).
Точки спектра исходной задачи суть нули этой функции. При определенных условиях, которые хорошо изучены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Ф(й) — аналитическая функция (это следствие простой формы зависимости уравнения от А), не имеющая полюсов прн ограниченных А. Поэтому для подсчета числа ее нулей в некоторой области С следует вычислить известный интеграл по контуру нли, проще говоря, вращение векторного поля (Ве Ф(А), 1ш Ф(Х)) при обходе контура дС. Конечно, это — громоздкая операция: надо «покрыть» контур сеткой точек (Х,.) и в каждой точке Х, вычислить Ф(Х,.), т.е.
проинтегрировать задачу Коши. Несколько облегчает работу то, что сетка (»,) не должна быть особенно густой, Точнее, дело обстоит так. Расчет начинается с достаточно широкой области С, имеющей (для простоты и определенности) форму прямоугольника. Вычислив вращение вдоль контура (оно будет равно 2лл, где л — число точек спектра в С), делят его пополам (пополам делится .та сторона прямоугольника, которая на данном этапе процесса локализации корней Ф(Л) длиннее). Вычислив вращение вдоль контура одного из полученных меньших прямоугольников, определяют число точек спектра в двух частях исходной области, н т.д.
Когда прямоугольник велик (и его контур достаточно длинен), шаг сетки на контуре может быть взят достаточно большим. Например, в некоторых расчетах, проводившихся по этой схеме, было принято считать «нормальной» ситуацию, в которой прн переходе от», к Х,+, значения ага Ф(А) изменялись в пределах интервала [я/6, и/З~. Если изменение было меньшим, шаг увеличивался, если ббльшим, — происходил возврат в точку Хп шаг Л изменения Х уменьшался (напрнмер, Л:= Л/2) н делался переход в точку Х,.
», = Х,. + Л на контуре. Таким образом, сетка Я,.) не задавалась заранее, а «генерировалась» простым алгоритмом с адаптацией (с регулированием шага в зависимости от градиента функции агк Ф(Х)). Конечно, такая тактика сопряжена с некоторым риском: прн вычислении Ф(Х,) н Ф(Х,»>) приращение аргументов определено с точностью до 2кп (А — любое целое), причем число А вычислитель назначает сам. Поясним сказанное подробнее. Вычислив комплексное число х + /у, обычно обращаются к подпрограмме, входящей в стандартную ьвз ПРИБЛИ.'КЕИНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ !ч.
и библиотеку и имеющей на языке РОВТВАХ нмя АТАХ2(х, у). Результатом является главное значение агс1й(у/х); к нему из каких-то дополнительных соображений нужно добавить 2АЛ. В рассматриваемом случае, используя предположение о том, что шаг А = Х~+, — Х~ «достаточно мал», число й выбирают таким, чтобы изменение агйФ(Х,,) по сравнению с агяФ(Х,.) было минимальным. Здесь, конечно, есть риск ошибиться на 2йи. Можно получить достаточно надежное подтверждение правильности этого решения (нли обнаружить его ошибочность), «пройдя» участок ( Х,, Аз+,) с существенно меньшим шагом, но это слишком «дорого» н не делается без достаточных к тому оснований.
Вероятность ошибочности такого способа вычисления вращения векторного поля существенным образом зависит от расстояния контура до какой-то точки спектра. Если случайно оказалось, что точка спектра расположена очень близко от прямолинейного участка контура (ХВ, Х,Ф,), описанная выше процедура определения аргумента может привести к принципиальной ошибке: в окрестности корня Ф(Х) (тем более, если близко к друг другу расположены несколько корней Ф или около контура находится кратный корень) изменение направления поля может быть большим на малом расстоянии. В начале расчета, когда область О выбирается на основании грубых априорных соображений, вероятность столкнуться с такой ситуацией очень мала.
По мере дробления области, когда происходит локализация корня в области все меньшей и меньшей, корень, конечно, приближается к контуру, но одновременно происходит и уменьшение шага, с которым обходится контур. В принципе, при благоприятном ходе вычислительного процесса обход каждого контура требует примерно одного и того же числа вычислений Ф(Х): ведь одновременно с уменьшением шага уменьшается и длина контура очередной области локализации.
Если, например, в области 0 есть всего один корень и шаг АРФ, — Х, регулируется так, что в среднем при переходе от Х,. к Х, „ значение агя Ф(Х) изменяется на и/4, вычисление вращения «стоит» всего десяти вычислений Ф(Х). Кроме того, имеется дополнительная возможность сокращения объема вычислений за счет использования уже имеющейся информации: производя деление очередного прямоугольника пополам, можно вычислить вращение поля вдоль каждого из двух новых контуров, вычисляя вращение лишь вдоль введенной на этом шаге линии раздела. Однако такой способ требует в общем случае достаточно хитроумного программирования и хранении полученной ранее информации. Если читатель сочтет изложенное выше не слишком надежным, не гарантирующим правильного решения задачи вычисления всех !В9 В 151 спвктглльиля зхдхчл шт~тмх-лигвилля точек спектра в некоторой заданной области, он будет совершенно прав. Такую процедуру можно сделать сколь угодно надежной, уменьшая шаг обхода контура (т.е.
увеличивая обьем вычислений) и, наконец, просто «точной», если заменить описанную выше процедуру вычисления вращения на хорошо известный в теории функций комплексного переменного контурный интеграл. Однако эта точность обманчива: ведь интеграл нужно вычислять по какойто квадратурной формуле, и на стадии ее реализации в расчет войдет какая-то сетка со всеми вытекающими отсюда последствиями. Мы встречаемся здесь с достаточно типичной в вычислительной математике ситуацией: практически, доведенный до числа расчет редко дает полностью гарантированный ответ.
Содержательная интерпретация такого численного результата содержит элемент риска, уменьшение которого связано с увеличением объема вычислительной работы. Алгебраические методы. Аппроксимируя задачу конечномерной, мы получаем формально стандартную алгебраическую спектральную проблему. Для ее решения разработаны надежные алюритмы, оии включены в системы математического обеспечения ЭВМ, и можно просто воспользоваться одним из них. Этот путь возможен, но нужно внимательно отнестись к выбору средства аппроксимации.
Общие алгебраические методы весьма чувствительны к такому фактору, как размерность пространства. Следует использовать методы дискретизации, которые при относительно невысокой размерности пространства позволяют получать достаточно высокую точность. Метод конечных разностей к таковым не относится, его достоинства в другом. Проиллюстрируем сказанное, описав в общих чертах алгоритм, разработанный К,И, Бабенко. Эффективность этого метода основана на двух основных идеях: а) обращение главной части дифференциальною оператора; б) выбор эффективною аппарата конечномерной аппроксимации.
Обращение главной части оператора состоит в решении краевой задачи —" = а — «+ Ьх — Хх, х(0) = х(1) = О, дв яг причем правая часть считается «известной». Решение имеет явное выражение: применение к обеим частям оператора (Нз/агз) ' состоит в интегрировании после умножения на функцию Грина К(Г, $). В результате получаем эквивалентное уравнение; ! х(г) = ~ К(г, В) [аД) хЯ) + ЬД) хД) — й хД)] с(Ц. (9) о ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 1ч.
и Явный вид ядра К(«, $) считается, разумеется, известным. В рассматриваемом случае К(«, ~) = й(1 — «) при Ца«, «(1 — ~) прн ~> «). Дальнейшее продвижение связано с заменой искомой функции х(«) подходящей аппроксимацией. В частности, предлагается искать х(«) в форме сеточной функции, определенной в чебышевских узлах и восполняемой до непрерывной с помощью интерполяционного полинома. Итак, приближенное решение ищется в виде (!0) х(«) =~ч; х 1" («), а О где 1" («) есть интерполяционный базис — полиномы степени Д«(см. 3 3). Значения ха пока неизвестны, для ннх будет получена система линейных уравнений с параметром Х. Прямая подстановка конструкции (10) в (9) приведет, очевидно, к неразрешимой задаче, так как в нашем распоряжении имеется всего Д«+ 1 параметр, а (9) — это «континуум» уравнений. Поэтому вводится сетка так называемых точек коллокацнн (ф" о, и выполнение (9) для х(«) в форме (10) требуется лишь в точках «'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
