Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Основные идеи этого способа построения аппроксимирующей конечномерной задачи были изложены в з 3. Напомним, что характерной особенностью системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих, например, задачу Пуассона в достаточно произвольной области, являются высокий порядок системы (достнгающий в современных расчетах 1Π—: 10 ) и слабая заполненность матрицы. (Эти черты присущи и системам метода конечных разностей в прямоугольной области.) Следующее свойство специфично для метода конечных элементов. Расположение ненулевых элементов в матрице системы не имеет такой простой и удобной структуры, с которой мы до сих пор имели дело, применяя метод сеток в простых областях. Это делает невозможным применение наиболее эффективных итерационных методов (переменных направлений, например). Пожалуй, единственный из знакомых нам методов, который в такой ситуации может быть использован, — это метод простой итерации с чебышевским ускорением.
Но его эффективность недостаточна для решения сложных задач, поэтому в методе конечных элементов обычно используются «ленточные» варианты метода исключения Гаусса, что всетаки является довольно дорогой операцией, часто вынуждающей ограничиваться расчетами на относительно грубых сетках. При описании основных идей метода конечных элементов специально было обращено внимание на процедуру автоматической триангуляции «произвольной» области, при которой возникает иерархическая структура вложенных друг в друга сеток.
Она позволяет удобно реализовать алгоритм многосеточных итераций. Комбинация техники метода конечных элементов с многосеточным итерационным алгоритмом привела к созданию мощных основы вычнслитвльноя млтемлтики 1?з средств вычислений, Надо отметить, что логическая структура метода заметно сложнее, чем структура методов, описанных выше. Это приводит к определенным трудностям в программной реализации. Поэтому в простых задачах обычно предпочитают более простые с точки зрения программирования методы, хотя они работают медленнее. Формирование задач на вспомогательных сетках. Рассмотрим две сетки — основную и первую вспомогательную, которую назовем грубой.
В современной практике приходится строить грубую сетку, учитывая геометрию области, разрывы коэффициентов н т.п. Все это приводит к тому, что грубая сетка не имеет такой простой связи с основной, как было описано выше. Например, грубая сетка может формироваться так: задается список номеров основной сетки йп т'-й узел грубой сетки совпадает с х,-м узлом основной. Имеется в виду сетка по переменной х. Аналогично, списком т, определяется сетка по у. Таким образом узел (1, у) грубой сетки совпадает с узлом (й„ту) основной. Числа йп естественно, возрастают, и все разности й;+, — й,- достаточно малы, в остальном они произвольны. Возможны и более сложные способы построения грубой сетки.
В таких ситуациях возникает вопрос: как строить аппроксимацию на грубой сетке? Он еще более обостряется, если коэффициенты уравнения достаточно сильно отличаются даже в близких узлах основной сетки, т.е. если решается уравнение с разрывными коэффициентами. Пусть на основной сетке получено приближение и с гладкой повязкой г Ьи-г' (здесь А — оператор на основной сетке, аппроксимирующий произвольный эллиптический, а не обязательно оператор Лапласа).
Определим грубую сетку и оператор !, интерпаеирующий функцию, заданную на грубой сетке, на основную сетку. Попытаемся найти на грубой сетке такую функцию И', чтобы получить Ь(и — ЛР) †У. Очевидно, это невозможно, так как уравнений здесь столько, сколько внутренних узлов на основной сетке, а неизвестных И' столько, сколько внутренних узлов на грубой сетке (функция $% должна удовлетворять однородным краевым условиям исходной задачи, чтобм коррекция и — ЛР не портила краевые условия). Однако это уравнение можно решить в «слабом», галеркинском, смысле: О = (А(и — Л ) — У, т) = (?" г — К'Л? И, ~), Ч1 илн в явной форме — в виде уравнения для Иг: Р$Г=Я, где Р=1'Ы, Я=1 г. 179 е г41 гешение эллиптических злдАч методом сеток Таким образом все определяется только конструкцией оператора интерполяции с грубой сетки на основную 1. Что представляет собой оператор 1*, сопряженный к оператору интерполяции? Он отображает функции, определенные на основной сетке, в функции, определенные на грубой сетке.
Структура его достаточно проста. Предположим, что Й вЂ” индекс (точнее, мультииндекс) некоторого узла грубой сетки. Вычислим (1'г)г, где г — некоторая функция на основной сетке. Пусть 1(1:М ) — список номеров узлов основной сетки, при интерполяции в которые используется значение интерполируемой функции в к-м узле грубой сетки. Если Ф вЂ” число таких узлов, а п(1:Мг) — значения соответствующих коэффициентов интерполяции (т.е.
при интерполяции в 1(л)-й узел в сумму входит слагаемое о(л)г, ), то (1'г), = а(л) г. „. «=ь...,» Итак, 1 — это оператор «сбора» значений в узлах основной сетки в узел грубой. Он является оператором локального типа в том смысле, что значение (1г) зависит только от значений г в узлах основной сетки„примыкающих к х-му узлу грубой. Разумеется, это есть следствие локальности оператора интерполяции, в качестве которого обычно используют линейную по каждой переменной интерполяцию. Найдя И' н осуществив коррекцию, получим функцию й = = и — 1Иг.
Об ее невязке г= Лй — 1 известно, что (г, 1У) 0 (11 р). Взяв в качестве г' функцию, равную единице в к-м узле грубой сетки и нулю в остальных, получим следующее свойство невязки г: взвешенная сумма значений г„в узлах основной сетки, примыкающих к х-му узлу грубой, равна нулю (см. рис.!7). Конечно, уравнение для И' решается тоже приближенно, поэтому ВИ'= Я+ г, н вышеупомянутая взвешенная сумма не равна нулю, но она есть О(е). После коррекции невязка нового приближения и — 1И' стала очень маленькой «в слабом смысле» функцией. Поясним, почему такие невязки эффективно «подавляются» простымн итерационными методами. Рассмотрим одномерную модель задачи — систему уравнений и„,— 2и„+и„+,=/„, л=1,2,...,Ж вЂ” 1, и =и„,=О.
Простейший, так называемый релаксационный метод решения этой системы состоит из итераций типа и„= 0.5 (и„, + и„+, — У„), л = 1, 2, ..., М вЂ” 1. основы вычислительной мАтемАтики 180 1ч. 8 Здесь и„, берется уже с «верхней итерации». Проделав пересчет в и-м узле, мы, очевидно, обратим в нуль невязку именно в этом узле. Однако, как нетрудно проверить, невязкн в соседних узлах изменятся следующим образом: г„,:юг„,+05г„, г„+, — — г«м+0.5г„. Если знаки г„„г„, г„+, совпадают, операция не меняет нормы невязки, определенной формулой 11гз' = ~ ~ г„). Она уменьшается в случаях, когда л = 1 или и = М вЂ” 1 и когда знак г„противоположен знаку г„, или г„»,.
Именно такую ситуацию создает коррекция в узлах основной сетки, совпадающих с узламн грубой. Коррекция и эффективна, если ее невязка г достаточно гладкая функция в том смысле, что при вычислении Я = 1*г, как взвешенной суммы, не происходит сильного сокращения слагаемых с противоположными знаками. Что касается коэффициентов разностного оператора на грубой сетке Р= Х'Ы, то они являются некоторой взвешенной суммой коэффициентов аппроксимации на основной сетке, вычисление которых Однозначно определяется заданием оператора интерполяции. ЧАСТЬ ВТОРАЯ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ 5 1з.
Спектральная задача Штурма — Лиувилля Рассмотрим некоторые приближенные методы вычисления собственных значений и функций линейных дифференциальных операторов. Важнейшим прикладным источником подобных задач является квантовая механика. В качестве характерного примера рассмотрим задачу вычисления волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметричном поле с потенциалом сг(г). Определение волновой функции ~р1г, 6, Р) приводит к уравнению Шредингера Л~р + ~ (Š— 1г(г) ) ~р = О. (1) получаем окончательную форму задачи: Ття — — (Цг) — Х)Я = О.
,1гт (2) Уравнение (2) определено при О ц г < м. При г = О ставится условие Е(О) = О. Вторым условием является условие нормировки вяз(г) сТГ = 1, (3) о Здесь о — оператор Лапласа в сферических переменных г, 6, Р; р, л — известные постоянные. Функция 1р определена во всем трехмерном пространстве; «граничным условием» для нее является ограниченность гильбертовой нормы, В уравнении (1) подлежат определению те дискретные вещественные числа Е, при которых задача имеет нетривиальное решение (точки дискретного спектра оператора Шредингера).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
