Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Выигрывают те алгоритмы, которые позже других переходят на малый шаг т' и раньше возвращаются к большому после прохождения пограничного слоя. К сожалению, задачи-тесты, на которых проводятся подобные состязания, обычно не содержат указанных нами опасностей — других, лишних ветвей многообразия Г. В этом случае излишняя «лихость» оказывается безнаказанной. Видимо, можно сконструировать хорошую задачу-тест, взяв какую-либо хорошо изученную сингулярно-возмущенную систему и «замаскировав» ее какой-то гладкой заменой переменных. 2!9 Ф !71 жвстхив системы олг Расчет в окрестности Г.
Пусть точка (х„, у„) находится в ма; лой окрестности Г, т.е. в области ~ тй/(х, у) ~ чк '!х~!. (Это естественное условие аккуратного интегрирования: х мало меняется за один шаг.) Тогда система уравнений неявной схемы (15) имеет решением пересечение многообразий Г" (слабое 0(1/т/.)-возмущение Г) иу' (х, у) Е 7' = у — у„— т ~р(х, у) = О (слабое О(т)- возмущение прямой у = у„). Среди таких точек есть точка, находящаяся на расстоянии 0(т) от точки (х„, у„). Поскольку именно последняя берется в качестве начального приближения в том или ином итерационном методе решения (15), естественно ожидать, что именно близкое к (х„, у„) решение будет получено.
Остальные корни (15) лежат существенно дальше, и вероятность получить их хотя и существует, но, видимо, в большинстве случаев очень мала. Что касается точности (в обычном смысле слова) воспроизведения численным решением эволюции системы (12) в окрестности Г, то и здесь ситуация достаточно благополучна. В самом деле, асимптотнческая теория решений сингулярно-возмущенной системы (12) приводит к следующему.
В первом приближении (с точностью до О(/. ')) траектория системы (12) совпадает с траекторией вырожденной системы у= р(х, у), /(х, у) =О, т.е. (х, у) Е Г. (17) Используя неявную схему, мы в сущности интегрируем почти такую же систему. Единственное отличие состоит в том, что вместо /(х, у) =О используется условие /(х, у) — (х — х„)/тб = О, т.е., поскольку х„«! — х„= О(т), численная траектория отходит от Г на 0(1/ть), что укладывается в точность первого приближения системы (17).
Расчет в точке «срыва в режим внутреннего слоя». Это один из наиболее сложных моментов в «жизни» траектории жесткой системы, н здесь мы ограничимся простейшим случаем, когда х и у — скаляры. В этом случае рнс. 23 дает представление о поведении траектории. Итак, предположим, что точка (х„, у„) совпдцает с «последней» точкой В на устойчивой ветви многообразия Г или очень близка к ней, например находится в О(1/т/,)-окрестности точки В.
Из дальнейшего станет ясно, в какой смысле можно ослабить это предположение, т.е. расширить окрестность В, в которой может находиться точка (х„, у„), с тем чтобы сохранился основной вывод — система (15) не имеет решений в малой окрестности В и точка (х„+„у,+,) должна совершить большой скачок на другую ветвь Г. числвииые мвтоды мхтвмхтичвской физики 1Ч. 11 Решение системы типа (15) есть пересечение линии Г', лежащей в О(1/т/.)-окрестности Г, и линии у — у„— т р(х, у) =О (О(т)- возмущение прямой у = у„).
До попадания в точку В система двигалась по крайней левой ветви Г' вверх, т.е. на этой ветви р > О. В общем случае нет никаких оснований ожидать обращения р в нуль в окрестности В„т.е. ~р(х„, у„) = а > О. Существенно то, что ат» 1/тй. Если р удовлетворяет условию Лнпшипа по х с постоянной С, то легко показать, что линия у — у„— т р(х, у) = О находится внутри узкого конуса с вершиной в точке (х„, у„+ та) и с раствором Ст (этот конус показан на рис.
25). В конечной окрестности точки В линия Г' лежит в области у < у„ + О(1/т/.); следовательно, линия Г* (вернее, та ее ветвь, которам проходит через точку (х„, у,)) не пересекается с конусом на расстоянии а/С. Итак, точка (х„+„у„,) может быть найдена лишь на конечном (существенно большем т) расстоянии от (х„, у„), Конечно, можно надеяться, что это будет точка В', ближайшая к В, в малую окрестность которой попала бы и траектория системы, но нельзя игнорировать опасности попадания в точки В', В", ..., что привело бы к конечной погрешности и, быть может, к принципиально недоступной (для траектории, начинающейся из точки (х„, ур)) области изменения фазовых переменных.
Расчет на неустойчивой ветви Г. Нельзя исключить возможности того, что в силу каких-то причин точка (х„, у„) окажется в окрестности неустойчивой ветви Г. Здесь система (12) уже не является жесткой (в принятом смысле), так как среди собственных значений матрицы /„(х„, у„) имеются значения с положительной действительной частью. Такая точка является для системы (12) неустойчивой (/.»1). Траектория очень быстро (за время О(Х.
')) уходит от этой части Г, попадая либо на устойчивую ветвь Г, либо в бесконечность. В какой-то мере здесь мы имеем ситуацию, аналогичную уже рассмотренной на с. 219: ведь проведенный там анализ никак не был связан со свойствами спектра матрицы /„. В малой О(т)-окрестности точки (х„, у„) имеется решение системы уравнений неявной схемы (!5), и в принципе мы можем получить именно ее, что уже приводит к неверному результату: численная траектория конечное время О(1) будет находиться в окрестности неустойчивой ветви Г. Реализуетп1 эта возможность или нет, зависит от итерационного процесса, используемого для решения системы нелинейных уравнений (15).
Насколько нам известно, ситуация здесь такая. Если используется хороший, быстро сходящийся гг~ Ф 171 жзсгкив систзмы одг процесс, например метод Ньютона, то совершенно неважно, какое из решений системы (15) отыскивается — на устойчивой или на неустойчивой ветви Г. В этом случае мы сталкиваемся с крайне неприятной ситуацией: ветвь Г неустойчивая для дифференциального уравнения, становится устойчивой для разностного уравнения (15) (разумеется, при интегрировании с большим шагом).
Можно предложить итерационный процесс решения (15), различающий устойчивую н неустойчивую ветви Г, т.е. такой, который сходится в первом случае и расходится во втором. Но едва ли он представит какой-нибудь практический интерес, так как сходнмость процесса будет столь медленной, что затраты машинного времени на решение (15) приблизят такой метод к интегрированию с малым шагом т'))У„)! 1. Возможность построения итерационного процесса, быстро сходящегося на устойчивой ветви н автоматически расходящегося на неустойчивой, сомнительна.
А-устойчивые разностиые схемы. Переходим к общему случаю, предупредив, что здесь нет полной ясности. Качественный характер решения в этом случае в какой-то мере аналогичен тому, что было в сннгулярно-возмущенной системе. В решении выделяются резкие кратковременные скачки, перемежающиеся длительными участками спокойного течения процесса. Прн этом скачки происходят на коротких отрезках времени, много меньших шага интегрирования на «спокойных» участках. Дело осложняется тем, что характерные объекты, явно выделенные в сингулярно-возмущенных системах (разделение компонент системы на быстрые н медленные, зоны пограничных слоев, уравнение поверхности квазистзционарного решения, условие его устойчивости), в обшем случае уже не допускают такого выделения; они замаскированы, их аналитическое описание илн очень сложно, или даже неизвестно.
Прн конструировании разностных схем для интегрирования жестких систем с большим шагом т в настоящее время принято удовлетворять следующим требованиям: а) схема должна аппроксимировать дифференциальное уравнение в обычном смысле слова (см. з 4 — б); б) схема должна обладать специфической устойчивостью типа А-, А(а)-, Е-устойчивости (смысл этого требования разъясняется ниже); в) схема должна пройти практическую проверку решением ряда общепризнанных задач-тестов.
Обратимся к А-устойчивостн. Имеется в виду исследование поведения численного решения простейшего уравнения х = Хх, полученного с помощью рассматриваемой схемы с большим шагом т. Начнем с примера одной из схем типа Адамса: «+2 3 ««~ 3, «3 (( «+2) 4 2 (18) числвнныв методы млтвмлтической ьизикн (ч. и Это — неявная схема. Вычисление х„+г требует решения нелинейной системы уравнений.
Так как т~!/„1~ »»-1, ее нельзя рассматривать как малое возмущение тривиальной системы, получающейся из (18) прн т=О. Для /(х) =Лх решение (18) находится в виде х„ = С~д", + Сзды где д„ дз — корни характеристического уравне- ния д 1 — — тЛ --д+ — =О. 2/ 2 1 4 1 з ~ з з Онн легко вычисляются 2+тТ+ 28' д! 3-2$ дг= З вЂ” — гг Ч = "' (1~) Далее нужно исследовать поведение решения (18) для тех значений Ц которые представляют интерес при интегрировании жестких систем. В плоскости комплексного переменнога 1, выделяются две характерные области, которые должны покрыть спектр жесткой системы. Первую область называют «областью точности». В нее входят малые значения $, при которых решение разностного уравнения аппраксимирует точное решение е"' в обычном смысле слова.
Легко показать, что д, Д) = е! (1 + О() Ц з)) при ) г ! чч 1. Следовательно, С,д", = С,е"'~ (1 + О( ! Ц ) ) прн л я Т/ж Второе слагаемое С дз быстро стремится к нулю, так как д ж 1/3. Постоянные С, и С определяются заданием дополнительных начальных данных х,. Эту величину следует задать так, чтобы было С1= Х„+ О(тг), только тогда схема имеет второй порядок точности.
Обычно зону точности исследуют (привлекая численные методы) подробнее: вьщеляют зоны, в которых!и д,(ч) совладает с г, с погрешностью 1 %, 2 % и т.д. Чем шире подобные зоны, тем точнее схема. Вторая область — область устойчивости, где ! д, ~ < 1, ! д ! < 1. Желательно, чтобы зта область покрывала значительную часть полуплоскостн Ке 8 < 0. Легко проверить, что !д,! ~ !дг! 1/Л1Г! прн ! ч !»»»1. Можно найти такое значение Н, что ! д! ! ч' 1, !д ! «! при !Ц > /1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
