Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику (1185915), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Тогда погрешность согласования есть у„,, шХ„«,— Е, те. Е=Х„„— у„+г Выпишем уравнение для 7„«, в схеме (28): г = Х„+ . Ф(т, Х„, г), нли (30) «м 7«+! «+ (т' «Х +~ ч«+~)' Величины а„и у„очень близки друг к другу. Если схема явная, они просто совпадают с точностью до множителя т (в этом читатель может легко убедиться сам). В обычной, нежесткой, ситуации, когда ~ т Ф«~ чс1, а„т и у«по существу почти совпадают; в жестком случае это достаточно различающиеся обьекты.
Погрешность аппроксимации а„сравнительно легко вычисляется и оценивается, погрешность согласования у„труднее оценивается, но ее проще использовать в доказательстве сходимости. 5. Глобальная погрешность е„= Մ— х„. Смысл этой величины достаточно ясен, и ее оценка — цель теории. Теперь дадим определения.
Определение 2, Схема называется В-согласованной порядка 77, если для погрешности согласования установлена оценка з' (31) числзнныв мвтоды м»тамАтичаской ьизикн 1ч. и ззз причем оценка равномерна на всем изучаемом классе систем, т.е. С, зависит от постоянных, ограничивающих производные точного решения (26), и ! в оценке (25), т.е. С, = О(1). Определение 3. Разностная схема (вида (28) нлиещекакоголибо) называется В-устойчивой, если для любых двух решений (х„), (у„) установлено соотношение !!у„+, — х„»!!! < (1+ Сза) !!у„— х„!!.
(32) Постоянная С зависит от 1 в (25) и является величиной О(1) независимо от «жесткости» системы Еж 11У,11. Определение 4. Разностная схема является В-сходящейся порядка а, если для приближенного решении установлена оценка 11а«!! ш !!х„— Х„!! 4 Сзт«, Ъ! л 1, 2...„'Г/а. Постоянная Сз не должна зависеть от большой константы Ь, хотя и может содержать множитель типа ест при С О(!) в:Е. Определение 5. Схема называется В-аппроксимирующей порядка р, если для погрешности аппроксимации а„установлена равномерная на классе жестких систем оценка Вышеприведенные определения аналогичны стандартным. Специфической их чертой является только равномерность на классе жестких систем.
Теорема Лакса «В-согласованность + В-устойчивосп ~ В-сходнмосп» является, как и знакомая нам уже теорема Рябенъкого — Филиппова, почти прямым следствием предположений. Теорема 1. Пусть схема В-согласована порядка р и В-устойчива, Тогда схема является В-сходящейся с тем же порядком р. Доказательство. Используя выражение для глобальной погрешности ал»! =Х„»1 — х„+! и связь Х„«, с величиной Е, полученной решением уравнения (30)! Х„»! = Š— т»»!, имеем а„»! =* 2 — х„+, — т»»!.
Следовательно, 11а»+!11 % 112 х»+!11 + 117»»!11. Но 2 и х„+, суть решения разностного уравнены, толъко в момент времени г„одно стартует из точки Х„, другое — из точки х„. В силу В-устойчивости для этих величин справедливо соотношение !! Š— х„»а!! ж (1 + Сзт) !!Մ— х„11 ж (1 + Сза) 1!а„1!. жвсгкив системы Оду $171 Учитывая (31), находим основную оценку для эволюции глобальной погрешности: ~~ „~,~1 ы(1+С )!! „~~+С,р +', Отсюда (как н в 5 7) получаем результат; 11 Ч всат тР ~ф л Ч 7/т г (ЗЗ) х„+, —— х„+ т у(х««1), у„, = у„+ т у(у„„) + а«+г Однако можно трактовать а как возмущение «начальных данных для л-го шага», переписав второе уравнение в виде У««1= (У„+ а„) + С У(У««1).
В-аппроксимация. В стандартной теории численного интегрирования установление аппроксимации, использующее предположение о гладкости искомого решения, является тривиальным упражнением, решаемым простыми разложениями в ряд Тейлора. Но установление В-аппроксимации не тривиально, и некоторые схемы, аппроксимирующие уравнение в обычном смысле, свойством В-аппро- Итак, построена абстрактная, достаточно тривиальная теория.
Ее смысл — в выделении тех основных свойств (В-согласованности н В- устойчивости), которые надо устанавливать прн исследовании конкретных схем. Обратим внимание на то, что здесь используются несколько иные объекты, чем в теории, изложенной в з 7. Первое отличие уже было отмечено: вместо погрешности аппроксимации используется погрешность согласования. Это более «объективная», хотя и труднее оцениваемая величина. В самом деле, легко понять, что погрешность согласования зависит от метода, но не от формы записи разностных уравнений, которая может быть разной для одного и того же метода.
Так, неявная схема х„+, = х„+ т ~(х„«,) может быть записана в явном виде: х„+, = х„+ т Р(т, х«), с «неявным» определением Р. Другое отличие связано с понятием устойчивости. Если в з 7 используется устойчивость по правой части, то здесь, — так сказать, «устойчивость по начальным данным». При сравнении х„+, с у««, можно считать, что их различие есть следствие различия «начальных данных» х„н у„. Вещи зтн очень близкие, в 5 12 уже отмечалось, что обычно из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правым частям. В некоторых случаях зти два понятия легко связать.
Например, для неявной схемы учет погрешности аппроксимации приводит к сравнению решений двух разностных урав- нений ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ксимации просто не обладают. Поясним это парадоксальное на первый взгляд обстоятельство. Вычисление погрешности аппроксимации состоит в подстановке в разностные уравнения ограничения на сетку точного решения (предполагаемого гладким). Возьмем явную скему Эйлера и вычислим невязку а= (Х„+( — Х„)/т — /(Х„). Так как Х Ф,=Х(1 +т) — Х +тХ(Т)+ — Х(1 +От), Х(~ ) — /(Х), то здесь все в порядке: в оценке участвуют только Х в какой-то момент времени, а эта величина по предположению есть О(1).
То же самое относится и к неявной схеме Эйлера. Однако известная схема «трапеция» допускает две в обычном случае равноценные модификации, В одном варианте х„, — х„ /(х >+/(х„р Т 2 В этом случае можно использовать интегральное тождество Так как /(Х(()) = Х(() — гладкая функция, то ( «( ( и здесь все в порядке: а = О(тз). Однако в другом варианте: х„„— х„(х„+ х„«(~ аналогичные оценки не проходят. В самом деле, х,+х =Х ( + — +О(тз) =Хиы +О(тз), где Х„+из — — Х(1„+ т/2).
Обозначение О(тз) мы употребляем н дальнейшем только для величин, допускающих оценку типа Стз, где С = 0(1) н не зависит от жесткости системы. В данном случае эта величина зависит только от гладкости кривой Х(Т). Оценим теперь гз1 1 171 жесткие системы Оду где хо„>+хо„+т1 (в силу гладкости Х(г)). Дальнейшие оценки дают /(Х +из + г) /(Х +ня) + / (Х тпз + Вг) г Последнее слагаемое не есть 0(т~), хотя г = О(тз); величина /'„вычисляется не на траектории, да н вообще она уже зависит от жесткости системы. Оценки типа /„О(т~) в В-теории не принимаются. Считается, что такие величины могут быть сколь угодно большими. Конструирование разностных схем, обладающих свойством В-аппроксимации, не так просто, как могло бы показаться, х(1„+ т) = х(г„) + ~ /[х(г)) У/б („ (34) Обозначим /[1[ ш /[х(г)) н вычислим интеграл по какой-нибудь хорошей квадратурной формуле, считая пока /[11 известной функцией.
Сделаем замену переменных г = 1„+ ~т ($ Е [О, 1[) и введем на [О, 1[ сетку узлов 0< к' < $з« ... ~* < 1. Обозначим ~' = ~„+ $'т, /' ш /[г'), 1,Ц) — интерполяционныи базис на сетке (е'), состоящий из полиномов степени г — 1, определяемых свойствами 1,(~т) = Ь,'. Построим интерполяционный полипом Лагранжа: (35) и вычислим приближенно ~ /[1! с(1 т ~ 5'Д) В~. Если /[Г) — гладкая функция, погрешность квадратуры есть О(с*"'). (Сделав замену 1=1„+ ет, мы строим полипом для функ- Схемы иитерполяциоиного типа.
Рассмотрим пример схемы, для которой удается сравнительно просто доказать требуемые В-теорией свойства. Опишем стандартный шаг численного интегрирования — переход от х„в момент г„к х„, в момент 1„+ т. Основу схемы составляет аппроксимация очевидного тождества (для точного решения) числзнныз методы мьтзмьтичвской еизнки (Ч. и гзг (36) х„+, = х„ + т ',Г ЬУУУ у 1 где ЬУ зависят только от сетки [$!)У! !. Пока этой формулой мы воспользоваться не можем, так как значения уу не известны. Но уу = у[х(гу) [, а промежуточные значения х(гУ) (обозначим нх УУ) могут быть приближенно вычислены точно так же: у +ц' УУ=х„+ ~ У[![ й. (37) Используя для вычислений интегралов тот же интерполяционный полинам, получаем серию соотношений: У' = х„+ т ~х; а! У(УУ), 1= 1, 2, ..., в. у-! (38) В результате мы имеем следующий алгоритм численного интегрирования: а) зная х„, решаем систему в буш х нелинейных уравнений (38) относительно неизвестных У', здесь же вычисляются и Д У') (у=1,2, ..., в); б) вычисляем х„+, по формуле (36).
Подчеркнем, что коэффициенты схемы (ау ), [Ьу) не зависят от вида системы и ее размерности. Они зависят только от выбора узлов $у. Почти очевидна следующая теорема. Теорема 2. Схема интерполяционного типа (36), (38) обладает свойством В-аппроксимации порядка к Доказательства Вычислим невязку в (Зб) при подстановке в зто соотношение сеточной функции Х„: а = Х„, — Մ— т ~; Ьу 7'[Х(зу) ]. у ! ции 7[Ц яв у [!„+ $т[. В оценку точности интерполяции полиномом степени з — 1 входит з-я производная 7'[Ц по $, которая, очевидно, есть з-я производная по у, умноженная на т'. Еще одна степень т добавляется при интегрировании.) Теперь формула (35) переписывается в виде стандартной механической квадратуры: 2зз жесткие системы оду Но а т ~ УУ[Х(Р)[ есть интеграл от интерполяционного полинома степени з — 1, построенного для гладкой функции /[Х(~)[ = Х(г). Таким образом, эта сумма отличается ат Х„+, — Х„на величину 0(т'+') (погрешность интерполяции 0(т') интегрируется по интервалу длиной т).
Итак, невязка а = О(т'+'). Точно таким же образом оцениваем невязки в соотношениях (38). Обозначая Х~ = Х(гу), имеем а' = Х' — Մ— т „", 'а,.;. 1(Х~), т.е. а' = О(т'+'). 1 Следующий характерный шаг в В-теории исследования схем— оценка погрешности согласования, причем не всякая схема, обладающая В-аппроксимацией порядка з является В-согласованной порядка ж В принципе порядок согласованности может понизиться и даже стать равным нулю. Исследование В-согласоваиипсти. Схема (36), (38) является характерным примером неявных схем Рунге — Кутты, обладающих свойствами В-согласованности и В-устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
