Манзон Б.М. Maple V Power Edition (1185908), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Пусть задано уравнение > гес:= а(п+2)-(2*и+1] «а(п+1) /и+и*а(п) /и-1) = п*(и+1)г гвоХтге(хес,а(и))т а(2) + — ) (и — 1) + — л — — л' — — л + 111 1, 5 1 1 2 5 18 ) 9 18 9 18 Так решает рекуррентное уравнение команда гао!те. Теперь воспользуемся пакетом ЕКЕ!оо1к Вначале необходимо создать структуру ланных КЕМ) для представления решений рекуррентного уравнения при помощи команды КЕсгеа!е > ге1 ! ХЛЕГооХв[ЕЕсгеасе)(гес, а(п), ())Х ге/:= КЕЯо1((а(п + 2) п' — а(п ч- 2) п — 2а(п + 1) и'+ а(п + 1) + + л' а(п) = и" — и'), (а(л)), (а(1) = О„а(3) = а(3), а(2) = а(2)), /ЯРО) И только после этого вводится команда вывести решение, например, в виде полинома (возможно также в виде рациональной дроби или гипергеометрической функции).
> ЬВЕГооХв(роХувоХв) (ге1) ! — и — — л — "— и + а(2) + — и — — — а(2) 1 4 5 з .1 11 1 9 18 9 18 3 Так решается линейное рекуррентное уравнение при помощи пакета ЬКЕ!оо)а. Этот пакет дополняет команду гао)те, которая находится в основной библиотеке.
Пакет ( КЕ!оо!а солержит следующий список команд: 9.6. сотЬ~па1 — пакет комбинаторики Он содержит комбинаторные функции, дискретных случайных событий, такими как биения и так далее. Вот полный список функций пакета: оперирующие с множествами перестановки, сочетания, раз- СЬ1 Ье11 сЬоове НЬопасс1 1авераге пел1Е1псвзза1 лехграгс пшаЬсоазЬ пшпЬсовер лшпЬрагс рагеЫ хоп регазпее розгегвее вез.г11лд1 ргетрагс ее1х 11лд2 гале1регза гапе1рагг згесеоеле 9.7. сотЬз1гис1 — пакет комбинаторных структур Он содержит команды для создания случайно однородных объектов, принадлежащих заданному комбинаторному классу.
Далее полный список этих команд: Ил1вЬее1 Ыегвсгцсев а11в ггпу в сопле агате лехевехззсс орсхопв вресЫ1саееол веглселгев Например, для получения всех перестановок списка [х,у,г,е] достаточно записать: > зиЫЬ(сашЬвсгззсс) 1 а11вгглс1в (Регталсасхол( (х,у, в, м) ) ) 1 [[х, у, г, 1), [х, У, 1, 4, [х, ~, У, 1], [х, ~, 1, у), ]х, 1, у, 4, [х, Е, ~, у], [У, х, ~, 1), ]У, х, 1, ~], [У, ~, л, 1], [У, 2, Е, х], [У, Е, х, 1], [У, Е, 2, х], ]с, х, у, 1), [~, х, 1, у), [~, у, х, е!, [~, у, 1, х], [~, 1, х, у), [е, 1, у, х), [1, х, у, 2], [1, х 2 У] [1 У х 4 [1, У, ~, х], [1, ~, х, у], [1, ~, у, х]] лшаЬрегеа гапе1совеЬ влЬвеев 9. Специализированные пакеты Мар(е 207 Ь1лоаз1а1 сагсргое1 сЬагассег ссаеровЫ1ол солзрагг е(есойерагс елсоберагк Игвсрагс дгаусое1е 1лссозгес ]а((зггисЕз, соиле, е(гам, витез)ееее, ееегзегисеа лехезегис1] 208 Мвр!е Ч Роегег ЕгИШоп 9.8.
сИФогтз — пакет дифференциальных форм Полный список функций пакета; Й йеййогзв йогзв Йохзпрагс сопев вгххсраг тгс(едгее вса1аграгх вхвцзйоив рагхеу вса1аг тгейде В следующем примере определена форма и выполнено ее внешнее дифференцирование: тгх с)х (г11 й йогдгв ) 6ейЕогха(тг1=1,вг2=1,тг3=1, й=вса1аг, д=вса1аг, С=соххв1) т > 4( Е*тг1л2+д"ал(тг2,тг1)+Я*ел('и2,ттЗ) )т ((д(Д) й" (и (')) + й (г)(~), и 2, и У) + Ф(г)(и 2)) А" и 1) — д(и 2 Й" (г)(и!))) + + ег" (г)(г), и2, иЗ) + /'((г((и 2)), иЗ) — Г(и 2 й" (д(иЗ))) 9.9.
йпапсе — пакет финансовой математики Он содержит функции лля финансовых расчетов. Следующие Функции вычисляют текущую стоимость различных Финансовых объектов. + аппшгу е савй()овв е ягоичпяаппшгу е ягоигшярегрегшгу + 1ете1соцроп е регрегшгу включают таблицы амортизационного списания Формула Блэка и Фоуэлза рост процентной ставки при многократном вложении за период булуюшая величина суммы настоящая величина суммы лоход от ценной бумаги при ее погашении + Гцгигеуа!ие + ргезепгуа1ие + у)е1бгогпагипгу другие Функции + агпон(хаг)оп + Ыас1гзс)го!ев + ейес!)тегаге для ренты с постоянными выплатами лля выплат, меняющихся от периода к периоду для ренты с возрастающими выплатами бессрочные ренты с возрастающими выплатами для стоимости облигации вычисляет текущее значение пожизненной ренты 9.
Специализированные пакеты Мар)е 20д 9.10. депУипс — пакет для проведения расчетов с производящими функциями Рациональные производящие функции, генерируемые командами пакета широко применяются в теории вероятностей. В пакет входят следуюшие функции: д~ сЬа вес д~ е собе д~ евра 1 гд~ ~~~во г гд~ ЬуЬ зх1 где встав гдЕрйгас гдов ге1асе щй ведцепсе где взл(р где сеззв сеззввсаХе 9.11. деолгейу — геометрический пакет Функции этого пакета позволяют выполнять построения и вычисления в двухмерной Евклидовой геометрии, а именно создавать различные геометрические фигуры при помощи команл: йведзвелС е111рве ЬурегЬо1а с1гс1е 11ле сг1аад1е сол1с рагаЬо1а ро1пс ведвтепс вдцаге Пакет позволяет производить различные построения и вычисления, связанные с прямыми, треугольниками, конусами, окружностями, многоугольниками, плоскими кривыми (эллипс, парабола, гипербола), производить различные преобразования (отражения, вращения, растяжения, гомотопии, перемешения, обрашения и так далее); команда дгазт позволяет наглядно изобразить все объекты, поддерживаемые пакетом (смотрите подробнее в разделе 6).
9.12. дгоЬпег — пакет процедур для нахождения базиса Гробнера Этот пакет — результат внедрения самых современных алгоритмов в программу Мар(е. Базисом Гробнера Бухбергер назвал по имени руководителя своей докторской диссертации множество многочленов, которое может быть получено из исходного множества многогчленов по алгоритму, разработанному в диссертации Бухбергера. Базис Гробнера — это множество многочленов, в некотором отношении эквивалентное исходному множеству многочленов. Например, корни многочленов базиса Гробнера равны корням исходного множества 210 Мар!е У Ровгег ЕдШоп многочленов. В то же время коэффициенты многочленов базиса Гробнера составляют верхнюю треугольную матрицу, что позволяет кратчайшим образом найти все корни.
В пакет входят команды: Нл1хе во1згаЬ1е дЬав1в вро1у Кхлд ~х лохзва1Е дво1зге 1еадпюл > згххЬ(дгоЬпег, дЬавхв)) е := [хл2 — 2*х*в + 5, х*ул2 + улвл3, 3*ул2 8*хл3): дЬавхв(у,[у,х,х),р1ех)х !8Ьаз14 13у' — 8 х', 80 у хз — 3 х" + 32 х' — 40 -.',х' — 2 х х ч- 5, — 96 ~' + 9 ~' + + 120 ~' + 640 ~з х, 240 х' + 1600 е' — 96 х' + 9 х') 9.13. дгоир — пакет групп перестановок и конечно-представимых групп Он солержит следуюшие Функции: регхзгедв т СЯ ИохввЗ.С1овиге ИалдЕ1евепе Яу1озг агесолЗцдахе селхег селхга11гег солзгегх соге совгер дегхзтед дге1дгоор 1ваЬе11ал совехв хлхег ывреххв дгоирогдег 1ввиЬдгоир ввз1репвв лохзва11хег огЬЫ виЬдге1 Пример вычисления порядка группы перестановок: > ъгИЬ(дгоир): дгоирогдег(регзадгоир(8, [а=[[1,2)), Ь=[[1,2,3,4,5,6,7,8)))))х 40320 Далее пример использования функций пакета йгоЬвег.
Чтобы найти базис Гробнера набора полиномов Г от переменных Х = 1х!. х2, ..., хп], упорядоченных по полным степеням, нужно вначале задать Г и Х, а затем выполнить команды, записанные ниже. 9. Специализированные пакеты Мвр)е 211 9.14. ~пйгапз — пакет интегральных преобразований Он содержит следующие функции для выполнения всех наиболее известных интегральных преобразований: йоигйегсов йоигхегвйп Ьал)ее1 аЫеаЬ1е йоигйег Ь11Ьегс 1лчгоигйег 1лчЬ11Ьеге 1лч1ар1асе 1ар1асе ае111п В качестве примера рассмотрим преобразование Лапласа тригонометрической функции > ттЫЬ(хпЬЬгапв)1 1ар1асе(вл.п(2*с+3),с,в)т х яп(3) + 2 сов(3) Обратное преобразование > апч1ар1асе(",в,Ь)т яп(3) сов(2!) + сов(3) яп(2 г) После упрощения получаем исходную функцию > сапЫпе(",Ыд) т яп(2 г+3) 9.15.
Иезутт — пакет симметрий Ли Он применяется для получения определяющих уравнений, при помощи которых решаются системы уравнений в частных производных методом подобия. Пакет включает следующие функции: т гап)с алли1 йерчагв оесехтв1пе девсоеН 1лйерчагв ва)ееЙохтвв десгога Ьавс1овиге Ьоо)е егапв1асе везир тгес1девее тгвиЬв вт1храг чрез.х рго1опд исо11есс аиеовйвр с(ча1ие гейисе их$едгее с1ове ехсчагв 212 Мар!е У Ровгег Ес(Шоп Кратко перечислим назначение функций пакета + ве1вр для определения списка координатных переменных (О-Гоппз); + о для вычисления внешних производных по отношению к заданным координатам; + й лля вычисления У-произвеления (веййе ргооцс1); + Ь|е для вычисления производной Ли выражения, включающего формы по отношению к заданному вектору; е тгсоПес1 чтобы выразить форму как сумму форм, каждая из которых умножается на весовой козффициент; + тгввЬв чтобы заменить выражение Ь-формой, являющейся частью п-формы.
Различные лругие функции, такие, как сЬоовео, йе1соейО, пихрагО, тп)ейгее(), иеййеве1() и га(вео, используются лля операций с формами. Пример: > тгЫЬ(1аевуввв): Хагпупд, пен дегтптс(оп гоп с1ове > ВЕсЛЗР()1 !! Задаем лифференциальное уравнение > ец: = Взйй (ц (х, и), з», с) + пзйй (и (х, Е ), зе) +и(х,п) "2 01 ( д' ( д г ед:=( ц(х, 1) + — ц(х, Г) + ц(х, Г) = О (дг дх дх Конструируем набор дифференциальных форм из заданного уравнения > йокзвв г хва)еейокзвв(ец,тт(х,е),зг) 1 (огтз:= (й(и) — в 1 й(х) — и2 о(г), — ((й(г)) й (о(в2))) + + (в /+ и ) ((о(х)) Ь" (о(г)))) Сортируем переменные в лексикографическом порядке > ест:= Ыжрак (ест) 1 ед:=( ц(х, 1) + — ц(х,!) + ц(х, !) = О 9.
Специализированные пакеты Мар/е 213 Конструируем определякицие уравнения лля изовекторов изовариантной группы Получаем набор квазилинейных уравнений первого порядка, эквивалентных начальному (ео): > рйевз аиип1(",(х,х))т )тЫез:= — и(х, т) ' — ю2(х, 1) = О, ) о(х, т) — в 1(х, 1) = О, ( д д '( дт , дх с д ут2(х, т) + в1(х, 1) + и(х, т) = О, в1(х, т) — — ч2(х, т) = О дх дт дх 9.16. )та!д — пакет линейной алгебры Он включает обширное количество функций линейной алгебры, часть из которых рассмотрена в подразделе 6.8.
Вот эти функции; д а ВсЬ ЫХ тохх)апВ1ос)с здтсзесс р апд1е Ьехоив ас13озпХ Ьавфв со1азл$ сЬо1ев)су сстврал1оп йей1пШе со1 сЬагро1у со1 врал сиг1 сорузлхо йе1хсвтв сопс1 де1со1в сговвргой стас ез.депхта1 азу епй даивве1ззв Ьатйтзиагсз йзлтегде едпа1 йохзтагдвиЬ ехдезптесв ййдаивве1йа сзосргос1 езтропазхфа1 йгоЬепфпв офад епсехвзасг1х даиввдогс1 Ьехвзххе 2 зЬопассл. депесдзв > с1е~егзахле( е<Х, ~7, и(х,х), ът ) > хта1ие(")т Находим набор коорлинат > ътес1девеЬ(0) т х,т,и,в!„и2 > с1ове(йогзвв)т атИсо1 Ьас)сей сЬагзвав со1врасе 214 Мвр!е Ч Ровгег ЕйШоп Ьггалврове хЬегпйге хпйехйшс хлчегве зогйал азу айй ппх?йхр1у роселсха1 гапйеаггхх гейегелсев гоп вса1агпхз1 вхляча1 впииЬ виЬпзасгхх виЬчеспог випдзав1в взгарсо1 соер1хсх чессйхзп ву1чевиег игаса чессог сгалврове ътголв)ехал чалйегзпхийе чесроселс 9.17.
!оддс — пакет математической логики Он включает следующие функции, позволяющие оперировать с булевыми выражениями: ЬеяиаХ Ьвзпр спасет сслчегг/ИЮ2 солчегп/йгспйззегг сслчехи/созлегс йхвсгхЬ йиа1 еачхгспз гаийЬоо1 вагхвйу Гаипо109у В атом пакете используются следующие булевы операторы: Йапд, Йог, Йпог, Й)й, Йпог, Йпапд, Йхог и Йппр!!ея. Например, чтобы упростить булево выражение (а Йапд Ь) Йог (а Йапд (Йпот Ь)), нужно записать: > тгхсЬ(1одхс)з Ьвхзпр((а йалй Ь) йог (а йазхй (йлог Ь)))т Ьеввз.пл хвпего 1еавгве?гв пйлро1у огсЬод гаийчеспог гопврасе в гас)е взгаргоът Ьз.?Ьеги хлсЬавхв ЗасоЬхал 1хлво1че пвз1со1 хвпхсЬ )еегле1 звасгхх лохзв хввзпи1аг 1ар1асхпл юзх лог лохзва 1 1 2 е 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
