Манзон Б.М. Maple V Power Edition (1185908), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Он содержит набор подпрограмм, предназначенных для выполнения расчетов шаг за шагом, так что студент может понять последовательность действий, приводящих к результату. Интегралы, суммы и пределы приведены в невыполняемой форме. Включены также команды для преобразования выражений, замены переменных, интегрирования по частям, дополнения до полного квадрата и исключения сомножителей. Другие команды вычисляют расстояния, наклоны кривых, средние точки сегментов. Приведем полный список команд пакета 9.
Специализированные пакеты агар[а 225 9.30. йелвог — пакет тензорной алгебры Этот пакет новый, в предыдущих версиях его не было, поэтому остановимся на нем подробнее. Пакет содержит команлы для оперирования с тензорами и вычислений в рамках в общей теории относительности. Этот пакет использует свой тип прелставления данных, называемый (епвог 1уре, чтобы прелставлять объекты как с ковариантными, так и контра- вариантными индексами. Говоря более конкретно, 1епвог 1уре — это таблица, содержащая два поля: поле 'компонент' для запоминания компонент объекта и поле 'характеристик индексов' лля описания ковариантных/контравариантных признаков индексов объекта. Поле ' компонент' — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта и со всеми диапазонами индексов, начиная с 1 и кончая размерностью пространства (разрешены только диапазоны с одинаковой размерностью для всех индексов).
Поле 'характеристик индексов'— список положительных и отрицательных единиц. Положительная единица на 1-той позиции означает, что 1-тый индекс — контравариантный. Аналогично, отрицательная единица означает, что индекс — ковариантный. Например [1, — 1, — 1, 1) означает, что индексы 1 и 4 контравариантны, а индексы 2 и 3 ковариантны. 1епвог 1уре — процедура, она возврагцает 1гве, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора и 1а)ве — в противном случае. Каждому тензору соответствуют еше две таблицы данных: "таблица коэффициентов врашении™ и "таблица компонент кривизны".
Таблица коэффициентов вращений запоминает коэффициенты вращения Ньюмена-Пенроуза, вычисляемые командой 1епвог[првр!и). Коэффициенты индексируются в соответствии с их греческими именами: ерв11оп, пц, (ашба, рй пш, 1ац, г1ш, в(ягпа, )гарра, а!рЬа, Ьсга и яапппа (то есть, элемент таблицы ) пш) содержит коэффициент 'пш'). Таблица компонент кривизны содержит компоненты кривизны НьюменаПенроуза, вычисляемые команлой 1епвог[прсвгге).
Эта таблица содержит три поля: РЬ1, которое является массивом размерности (0..2,0..2) (с эрмитовыми матричными компонентами) и содержит компоненты Риччи; Рв), которое является массивом с размерностью (0..4), содержащим компоненты Вейля; и К, скалярное поле, содержащее скаляр Риччи. Пакет содержит также собственную эффективную команду упрощения гензоров 1епвог[в(гпр) и некоторые индексные функции, не содержащиеся в основной библиотеке Мир(е, информацию о которых можно получить при помощи команлы (епвог[1пдех1па).
Индексные и упроцгаюшие функции пакета инициализируются при помощи в!1Ь)любая команла пакета) либо командой вч(Ь(1епвог). Привелем полный список команд пакета: и С11г)ио1Те!1 команда вычисления символов Кристоффеля первого рода; и СЬг(вго(Те!2 команда вычисления символов Кристоффеля второго рода; 226 Мар1е У Ромгег ЕФИоп е Е!пате!и е Йзр1ау аПОК + Йзр!ауОК е гепчогзОК е ЗасоЬ!ап е Крйпй ег)пз е Ееч С!и!а е 1ле Йй' е К!сс! е К!сс!зса!аг е К!егпапп + К!е1паппГ е 'тт'еу) е асг Ф ап!!вугпгпсгг!ке е сйапяе Ьаз!з + согппшгагог е согпраге е соп1 е соппехГ е сопГгас! + соптепЬ1Р е сот о11г е сгеа!е + г!1тегг!с е г!2гпе!г!с е Йгес1юпа! д!Й тензор Эйнштейна; описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой !епзогзОК (Общая теория относительности); описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (Общая теория относительности); вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (Общая теория относительности); Якобиан преобразования координат; вычисляет компоненты для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства); вычисляет ковариантные и контравариантныс псевдотензоры Леви-Чивита; вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю; тензор Риччи; скаляр Риччи; тснзор Римана; тензор кривизна Римана в жесткой системе отсчета; тензор Вейля; применяет операции к злементам тензора, таблицам вращений или кривизны; антисимметризация тензора по любым индексам: преобразование системы координат; коммутатор двух контравариантных векторных полей; сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны; комплексное сопряжение; вычисляет связующие козффициенты для жесткой системы координат; свертка тензора по парам индексов; преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена-Пснроуза; ковариантное дифференцирование; создает тензорный объект; первая частная производная метрики; вторая частная производная метрики; производная по направлению; 9.
Специализированные пакеты Марге 227 е г)ца! осуществляет дуальную операцию над индексами тензора; е епгеппегпс е ехгегюг ейй е ехгепог ртов внешнее произведение двух ковариантных антисим- метричных тензоров; е г"гагпе вычисляет систему координат, которая переводит метрические компоненты к диагональной сигнатур- ной матрице (с положительными или отрицательны- ми единицами); уравнение Эйлера-Лагранжа для геодезических кривых; возвращает признак (ковариантный/контравариант- ный) объекта; возвращает компоненты объекта; возвра~цает ранг объекта; инварианты тснзора кривизны Римана (Общая теория относительности); обращение тензора второго ранга; линейная комбинация тензорных объектов; е йеодез1с ег)пз е лег с)заг + яе! сотргз + аег гап)г + !птага е )птеп е )ш согп е !очег опускает индексы; компонента кривизны Ньюмена-Пенроуза в форма- лизме Дебевера (Общая теория относительности); компонента вращения Ньюмена-Пенроуза в форма- лизме Дебевера (Общая теория относительности); е прсцгте е прзр)п е рагйа! о)й + реггпцге )пг)!сея + реггот е ргоб частная производная тензора; перестановка индексов; классификация Петрова тензора Вейля; внутреннее и внешнее тензорное произведение; е га)зе поднятие индекса; симметризация тензора по любым индексам; преобразование системы координат; + зупцпегпгс е !гав'опп Примеры > хеасаксгтгЫ!т(селасие) Введем координаты х, сЬеса,рЬ1~ > соохч1в:=ьс, средство для ввода пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрическо- го тензора внешнее дифференцирование полностью антисим- метричного ковариантного тензора'„ 228 Мвр!е Ч Роигег Ед(т(оп Определим компоненты ковариантного метрического тензора Шварцшильда: > д:=аггау(вутввесгхс,врагве, 1..4, 1..4)т д[1,1) ю=(1-2*агlг): д[2,2) г=-1/д[1,1) ) д[3,3)г=-г*2.
д[4,4):=-г*2*вхп(сЬеса)*2) е;= аггау(зупппегпс, зрагзе, 1 .. 4, 1 ., 4, [!) 1 Иь ~:= 1 — 2— а„„:= — г яп(Вас!а) Теперь создадим метрический тензор гпегпс используя команду сгеаге. > пе~гхс: сгеа~е([-1,-1), езга1(д) ) ю тегг!с:= гаЫс([ тг)ех айаг = [ — 1, — 1) ! — 2— О О О О О сатрв = 1 — 2— г 2 Π— г' з!п(а)~ Проверим, что новый объект "1пегпс" действительно тензор (' гепзог гуре '): > суре(шеггхс,сепвог Гуре)) ггие Вычислим тензоры кривизны по заданному ковариантному метрическому тензору и заданным координатам > сепвогвШ(соогйв,ваегхс,соп агеегхс,йек, агес, С1, С2, Жй, Ес, Е, С, С)- 9.
Специализированные пакеты Марге 229 Здесь соп шегпс — контравариантный метрический тснзор; де1 ше1 — детерминант компонент метрического тснзора, С1, С2 — символы Кристоффеля 1-го и 2-го рода, Ктп — тензор Римана, Кс — тензор Риччи, К вЂ” скаляр Риччи, Π— тензор Эйнштейна, С вЂ” тензор Вейля.
Теперь при помощи команды г))зр!ауОК можно вывести на дисплей компоненты любого из перечисленных объектов, указав его имя, которое может быть одним из следующих: соопс)1пасея сои тестус сопспа тес«ус с)еетесгус СЛ«уясогГе22 СЛг1ягоЕЕе12 Иетапп йуссХ Яуссуяса2аг Еупягез'и 1т'еу1. Например > бхвр1ау0й(С)тк1впоййе11, С1) 1 ТИе СИ«и!о11е! 5утЬо1з о3 1Ие Г~гзт Кто поп-Сего сотропепап «и 1'11,21 = —— «2 1'12, 11 =— «2 1'22,21 =— (гг 1'23,31 = — « (24,4! = — г яп(6)' 1'33,21 = г 1'34,41 = — г' яп(6) сов(6) 144,21 = «яп(6)- /44,31 = г' ып(6) сов(6) Я3434 = — 2 г яп(6)' т С3434= — 2 гв(п(6)' т для вывода на дисплей тензоров до второго ранга (скаляров, векторов и матриц) удобнее использовать команду ета) 230 Мар1в Ч Ромгвг Ег(11(оп > вча1 (соп взвел'л.с) г гаЫе([ лемех сйаг= 11, 1] г — 2т г — 2т сотри = г' з(п(д)' > еча1(бес гввс)ю — г' з(п(д)' 9.31.
1о1огбег — пакет полного упорядочения имен Пакет солсржит команды, вызываемые после загрузки пакета командой тг((в(1о1огвег). Вот эти команды: Гаяяшпе(г) осуществляет полное упорядочение имен по заданной последовательности отношений; йв(г) функция для осуществления запроса относительно порядка имен; (огяег(г) удаляет отношение порядка; Гогяе1(ечегу(Ывя) удаляет все отношения порядка; огйег)вй(г) функция распечатывает текущие отношения порядка; )вй(г) функция восстанавливает первоначальное упорядочение, где г — последовательность соотношений. Примеры > тяЫЬ(~осокйвк") г > сааацзвв (а<Ь, Ь<с, о=6, 6<2) 1 Хахпхпд, пеи деНпхехоп сох хпхе азгятес(, а < Ь, Ь < с, с = с(, Н < Х 9.
Спенивлизироввнные пакеты Мер!е 281 > Ьааашве(зх>Ы т аззиеес(, Ь < и > Ьха(тт<й) ) ггие > Еох деЬ (зх); Тогяопел, и > а 'пд(); а < Ь, Ь < с, с' = с(, с! < ! > Ьааатцве(ц>6)) азхитес(, с! < и > И.а(2*с-с<2) т ггие 9.32. Библиотека совместного пользования (Вйаге-библиотека) Это библиотека подпрограмм, пакетов и рабочих локументов Мар!е, которые были написаны пользователями этой программы и добровольно предложены сообществу Мар!е. 5Ьаге-библиотека распространяется свободно вместе с профессиональной версией Мар!е и располагается в каталоге ~сзйаге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
