Part2 (1185554), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Стационарное изэнтропийное течение газаВ рассмотренных примерах процессы сжатия сплошной среды были несущественными, чтопозволяло использовать модель несжимаемой идеальной жидкости. Рассмотрим теперь примеры, когда объемные деформации среды существенны. Будем называть такую сплошную средугазом. Ограничимся рассмотрением процессов, в которых вязкостью можно пренебречь. Дляупрощения модели будем считать, что рассматриваемый нами газ является идеальным, т. е.уравнение состояния этого газа – уравнение Клапейрона – Менделеева, которое в переменныхсплошной среды имеет вид:p = rρT ,где ρ = m V - плотность газа, а r = R µ .Уравнение состояния дает зависимость давления от двух параметров – плотности и температуры и применимо для любых процессов. Если определить конкретный вид процесса, напримеризотермический или адиабатный, то одну из переменных удается исключить.
Таким образом,учет термодинамических свойств системы дает необходимую информацию для полного решения задач о движении газа.Рассмотрим в качестве примера стационарное течение газа по трубе переменного сечения,медленно изменяющегося по направлению потока.Будем считать, что сечение трубы задано как функция координаты S = S ( x ) , а поток газа является одномерным, т. е. его механические и термодинамические характеристики также являются функциями только одной координаты: p = p ( x ) , ρ = ρ( x ) , T = T ( x ) , u = u ( x ) .Заметим, что выбранная модель не свободна от внутренних противоречий, поскольку именносоставляющая скорости потока, перпендикулярная оси трубы обеспечивает выполнение условия непрерывности.
По этой причине мы запишем уравнение непрерывности в интегральнойформе, учитывающей этот дефект модели.ρuS = constУравнение Эйлера в проекции на направление вдоль оси трубы имеет видdu1 dpu=−dxρ dx .В общем случае давление газа определяется его плотностью и температурой из термическогоуравнения состояния:p = p (ρ, T )Будем считать газ идеальным, а его движение баротропным p = p (ρ ) . В этом случае праваячасть уравнения Эйлера может быть представлена в видеdp dp dρ=dx dρ dx .Производная плотности определяется из уравнения непрерывности:1 dρ 1 du 1 dS++=0ρ dx u dx S dx,так что уравнение Эйлера сводится к видуdu dp ⎛ 1 du 1 dS ⎞=+u⎜⎟dx dρ ⎝ u dx S dx ⎠ ,что позволяет определить скорость и давление в каждом сечении трубы, если известна скоростьu = u0 в сечении S = S 0 .27Рассмотрим более подробно адиабатический процесс, считая процессы обратимыми.В этом случае для вычисления правой части уравнения Эйлера удобно обратиться к первомуначалу термодинамики:δq = de + pdv = 0 .Термическое уравнение (Клапейрона–Менделеева) дает соотношение pdv + vdp = rdT , которое вместе с калорическим уравнением cV = const определяет удельную внутреннюю энергиюидеального газа e = cV T и с учетом соотношения Майера c p = cV + r позволяет представитьправую часть уравнения Эйлера в виде дифференциала:dudTu= −c pdxdx .Это дает интеграл уравнения Эйлера:u2+ c p T = const2.(4)Величина c pT является удельной энтальпией идеального газа, введенной ранее:c pT = cV T + rT = e + pv = w ,так что полученный нами интеграл является интегралом Бернулли в отсутствие объемных сил:u2+ w = const2.Из соотношения (4) следует, что температура в адиабатическом потоке газа уменьшается сростом его скорости.
В частности, если в некотором сечении трубы S0 , где скорость идеального2газа пренебрежимо мала, температура равна T0 , то T (u ) = T0 − u 2c p . Максимально возможнаяскорость течения газа по трубе в этом случае определяется сечением, где температура газа равна нулюu max = 2c p T0.Уравнение Эйлера и уравнение непрерывности позволяют определить зависимость скороститечения от площади поперечного сечения. Преобразуем правую часть уравнения Эйлера:1 ⎛ dp ⎞ dρdu⎛ 1 du 1 dS ⎞u= − ⎜⎜ ⎟⎟= c2 ⎜+⎟dxρ ⎝ dρ ⎠ s dx⎝ u dx S dx ⎠ ,⎛ dp ⎞c = ⎜⎜ ⎟⎟⎝ dρ ⎠ s .
Эта величина имеет размерность скорости, и как будетгде введено обозначениепоказано в следующем разделе, является скоростью звука в газе в данном сечении. Отсюда получаем уравнение, связывающее скорость потока и сечение трубы:du u dSu2 − c2=dx S dx .du<0, т. е. при скоОно называется уравнением Гюгониό. Из него следует, что при u < c dSрости движения потока в данном сечении, меньшем скорости звука, уменьшение сечения трубыdu>0приводит к росту скорости потока. При u > c dSт.
е. при скорости движения потока, превышающей скорость звука, увеличение сечения приводит к увеличению его скорости. Еслискорость течения в некотором сечении S = S* равна местной скорости звука в потоке u* = c* , тотакое сечение называется критическим.Полученные результаты имеют большое прикладное значение для создания систем уско28()ряющих поток газа. При необходимости разогнать газ до большой скорости, превышающейскорость звука, сечение трубы должно вначале уменьшаться до критического, в котором скорость потока достигает местной скорости звука, а затем увеличиваться. Труба такого сеченияназывается соплом Лаваля и впервые была применена в паровой турбине.γДля адиабаты Пуассона p (ρ ) = p0 (ρ ρ 0 ) скорость звука легко вычисляется:p= γrTρ.Это соотношение позволяет выразить внутреннюю энергию и энтальпию идеального газа черезскорость звука:1 c2c2e = cV T =w = c pT =γ γ −1,γ −1 .c2 = γ2Если скорость звука в покоящемся газе равна c0 ( c0 = γrT0 ), то уравнение Бернуллиu2c p T0 =+ c pT2позволяет определить скорость течения газа в критическом сечении2γ +1и определить зависимость температуры от скорости потока:⎛γ − 1 u2 ⎞⎟T (u ) = T0 ⎜⎜1 −2 c02 ⎟⎠ .⎝c* = c0Уравнение состояния и адиабата Пуассона позволяют вычислить зависимость от скоростиплотности и давления идеального газа.1γ −1⎛⎛γ −1 u ⎞γ −1 u⎟ρ = ρ 0 ⎜⎜1 −p = p0 ⎜⎜1 −2 ⎟2 c0 ⎠2 c02⎝⎝Приведем также значения критических параметров потока:22γ2T* = T0γ +1 ,⎛ 2 ⎞ γ −1p* = p0 ⎜⎜⎟⎟⎝ γ + 1⎠ ,⎞⎟⎟⎠γγ −1.1⎛ 2 ⎞ γ −1ρ* = ρ 0 ⎜⎜⎟⎟⎝ γ + 1⎠ .4.
Разрывное течение газа в трубе постоянного сеченияВ ряде случаев движение газа происходит так, что его характеристики (плотность, скорость,давление) являются разрывными функциями. Как показывает анализ, допустимо существованиедвух типов разрывов. Один из них не сопровождается переносом массы через поверхность разрыва. Такой разрыв называется тангенциальным.
Другой тип разрыва сопровождается переносом вещества через границу разрыва. Такие разрывы называются ударными волнами, и мы рассмотрим сейчас простейшую модель этого явления.Предположим, что движение происходит по трубе постоянного сечения вдоль оси ОХ так,что при x = 0 имеется скачок характеристик.Для описания разрывного течения уравнения движения в дифференциальной форме непригодны, поэтому мы будем использовать интегральные соотношения.Закон сохранения массы в интегральной форме∂ρ( x k )dv = − ∫ ρui dσ i∂t V∫Sприменительно к рассматриваемому случаю стационарного движения по трубе постоянного сечения дает простое выражение:29ρ1u1 = ρ 2 u2 .Здесь индексами 1 и 2 отмечены параметры газа до и после скачка в сечении x = 0 .Импульс газа в выделенном контрольном объеме изменяется за счет переноса импульса через контрольную поверхность и под действием поверхностных сил:∂ρ( x k )ui dv = − ∫ ρui u k dσ k + ∫ τ ik dσ k∂t V∫SSДля рассматриваемого случая эта теорема принимает вид:ρ 2 u22 − ρ1u12 = p1 − p2Несколько сложнее применение законов термодинамики для разрывного течения.
Дело в том,что термодинамические характеристики газа введены только для равновесной системы, когдалюбой элементарный объем находится в состоянии термодинамического равновесия. При движении газа слева и справа от разрыва это безусловно верно. Однако, на самом скачке любойсколь угодно малый элементарный объем перестает удовлетворять нулевому началу термодинамики. Поэтому адиабатическое течение газа при прохождении через скачок параметров перестает быть изэнтропийным.
Очевидно, что неравновесные процессы, которые происходят в выделенном элементарном объеме при прохождении скачка параметров, сопровождаются ростомэнтропии. Следовательно, использование адиабаты Пуассона для установления соотношениямежду давлением и плотностью газа невозможно. Поэтому мы вернемся к основному постулату– первому началу термодинамики.
Однако, применение первого начала требует некоторых дополнений. Постулаты термодинамики сформулированы для системы отсчета, в которой термодинамическая система покоится как целое. Поэтому внутренняя энергия, изменение которойрассматривается, включает лишь среднюю энергию хаотического движенияpδq = de − 2 dρρ.В нашем случае газ движется с некоторой скоростью, поэтому мы рассмотрим изменение невнутренней энергии, а полной.
На основании теоремы Кенига она равна сумме энергии движения «центра масс» и энергии движения относительно центра масс, т. е. внутренней энергии (после усреднения).При адиабатическом процессе изменение полной энергии в выделенном объеме происходитза счет переноса энергии потоком через границу объема и за счет работы сил давления, действующих на границе. В рассматриваемом случае это дает уравнение:⎛⎛u2 ⎞u2 ⎞ρ 2 u2 ⎜⎜ e2 + 2 ⎟⎟ − ρ1u1 ⎜⎜ e1 + 1 ⎟⎟ = p1u1 − p2 u22 ⎠2 ⎠⎝⎝.Это уравнение с учетом с уравнения непрерывности приводит к уравнению Бернулли, в которое входит энтальпия системы w = e + p ρ :u22u12w2 += w1 +22 .Вместе с уравнениями состояния идеального газа (Клапейрона-Менделеева) p = (γ − 1)ρe иe = cV T система является полной системой уравнений, описывающей разрывное течение газа.Исключая из этой системы скорости потока, можно получить соотношение, связывающееплотность и давление газа по обе стороны от разрыва:(ρ − ρ1 )( p1 + p2 ) = 0e1 − e2 + 22ρ1ρ 2В последнем соотношении не использованы предположения о термодинамических характеристиках газа (его идеальности) и оно позволяет определить давление газа после прохожденияразрыва как функцию его плотности.
Такая зависимость называется ударной адиабатой илиадиабатой Гюгонио. В отличие от рассматривавшейся ранее адиабаты Пуассона p2 = p1 (ρ 2 ρ1 ) ,γ30давление в ударной адиабате зависит не только от плотности газа после разрыва, но и от начальных характеристик p1 и ρ1 . Для модели идеального газа эта зависимость имеет вид:p2 = p1(γ + 1)z − (γ − 1)(γ + 1) − (γ − 1)z ,где z = ρ 2 ρ1 – отношение плотностей газа. На рисунке изображены адиабата Пуассона и Гюгонио.105246Рис.Адиабата Пуассона (пунктир) и Гюгонио (сплошная)При заданном начальном состоянии газа перед скачком задание лишь одного параметра после скачка, например ρ 2 , определяет давление газа, а следовательно, и всех остальных его параметров.
Очевидно, что плотность газа не может быть сколь угодно большой. Максимальноеγ +1ρ max = ρ1γ − 1 . Для идеального одноатомного газа γ = c p cV = 5 3 , так чтозначение плотностиz max = 4 , а для воздуха z max = 6 .T2 p2 1=Tp1 z .1Отношение температур до и после разрываКак отмечалось выше, прохождение газом поверхности разрыва является неравновеснымпроцессом. Установление термодинамического равновесия должно приводить к росту энтропиигаза. Вычислим изменение удельной энтропии, воспользовавшись соотношением (4) для идеального газаs = cV ln( p ρ γ ).Подставляя сюда значения давления, получим для изменения энтропии:⎛ (γ + 1)z − (γ − 1) 1 ⎞∆s = s2 − s1 = cV ln⎜⎜⋅ γ ⎟⎟⎝ (γ + 1) − (γ − 1)z z ⎠ .Рост энтропии в системе возможен лишь при условии z = ρ 2 ρ1 > 1 , когда u 2 < u1 , т.
е. при торможении газа в ударной волне. Это условие определяет направление процессов при разрывномтечении газа. Скорости потока до и после разрыва можно выразить через соответствующие скорости звука. При заданном отношении давлений они определяется выражениями:u1 = c12z(γ + 1) − (γ − 1)z ,u 2 = c22(γ + 1)z − (γ − 1) ,где c1 = γp1 ρ1 и c2 = γp2 ρ 2 – скорости звука в потоке слева и справа от разрыва.Как следует из приведенных соотношений u1 > c1 , а u 2 < c2 , причем u2 = u1 x < u1 . Такимобразом, поток газа, втекающий в ударную волну, имеет сверхзвуковую скорость, а поток затормозившегося газа – дозвуковую.31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
