Вычислительные методы алгебры и оценивания. И.В. Семушкин (2011) (1185350), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Целью настоящей задачи является проверка базовых знаний по алгоритмам ортогонального разложения матрицы, а также по способам решения системы линейных уравнений с разложенной матрицей коэффициентов и обращенияматрицы. Разнообразие задач достигается за счет вовлечения различныхвариантов ортогонального разложения (см. лабораторную работу № 6, подразд. 7.16) и использования разных исходных матриц.1639 Фонд задачЗадача 5Для матрицывыполнить следующее:1A=−2−22 −66 −3 7 3а. Построить QR-разложение матрицы A с помощью преобразованийотражения (Хаусхолдера).б. С помощью QR-разложения матрицы A решить систему линейныхуравненийAx = b,где вектор b = (−3, 1, 8)T .в.
С помощью QR-разложения найти матрицу A−1 и вычислить числоMA обусловленности матрицы A в норме k·k∞ = max {|xi|}, x ∈ R3 .i=1,2,39.2Решения и рекомендации к типовым задачамЗадача 1Решение.а. Используя метод исключения1L̄U = 3−1переменных Гаусса, нетрудно получить0 02 1 11 0 0 −1 −2 .1 10 0 2б. Решая две линейные системы с треугольными матрицами, получаемx = (1, −1, −1)T .в. Три раза решая линейные системы с правой частью в виде столбцов единичной матрицы, получаем0.00 0.25 0.25A−1 = −1.00 0.00 −1.00 , MA = 9 · 3 = 27.2.00 −0.50 0.501649.2 Решения и рекомендации к типовым задачамЗадача 2Решение.а.
Метод Зейделя в координатном и каноническом виде:xn+1= 0.2xn2 + 0.8,1xn+1= 0.25xn+1− 0.25xn3 + 0.5,21xn+1= −0.5xn+1− 0.5;32где(D + A1 )(xn+1 − xn ) + Axn = b,5D + A1 = −10041n = 0, 1, . . . ,00 .2б. Метод сходится. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой онеобходимом и достаточном условии сходимости одношагового стационарного итерационного метода.в. Используя метод Зейделя в координатном виде, вычисляем необходимыеитерации, а воспользовавшись формулой для апостериорной оценкиточности, находим норму ошибки на этих итерациях.x1 = (0.80, 0.70, −0.85)T ,k4x1 k∞ ≤ 0.36,x2 = (0.94, 0.95, −0.98)T ,k4x2k∞ ≤ 0.1.Задача 3Решение.а. Неявный метод скорейшего спуска в каноническом виде:(xn+1 − xn )B+ Axn = b,τn+1где τn+1 =(rn ,wn ),(Awn ,wn )n = 0, 1, .
. . ,а wn = B −1rn и rn = Axn − b,5 0 0B = D + A1 = −1 4 0 .0 1 21659 Фонд задачб. Используя формулу для вычисления оптимального итерационного параметра метода скорейшего спуска, получаемτ1 = 1.27.в. Записывая метод скорейшего спуска в координатном виде, вычисляемпервую итерацию для оптимального парамера, найденного в п. б., а воспользовавшись формулой для апостериорной оценки точности, находимнорму ошибки на этой итерации.x1 = (1.02, 0.89, −1.08)T ,k4x1 k∞ ≤ 1.17.Задача 4Решение.а.1 1/4 3 2/501 −81,U =00 1000 01б. x = (1, 1, 1, 1)T .4 0 0 0 0 16 0 0 D= 0 0 1 0 .0 0 0 25в. J(x) = 189.Задача 5Решение.а.−1 −2.8 −0.43 812 −0.4 −2.2 0 −5Q̄R =32 −120 0б.25 .5x = (1, 1, 1)T .в.A−116639 −48 301 =12 −9 15 ,75−2 −11 10MA = 12 · 117/75 = 18.72.9.3 Варианты контрольных заданий9.3Варианты контрольных заданийВ этом подразделе приведены примеры того, как составляются вариантыконтрольных заданий для всеобъемлющей проверки базовых теоретическихзнаний и практических навыков по четырем основным темам курса «Численные методы (алгебры)»: решение систем уравнений методом исключениянеизвестных, решение систем уравнений итерационными методами, факторизация положительно определенных матриц и ортогональные преобразования.
Каждый из четырех представленных вариантов содержит четыре задания по этим темам. Реальное разнообразие вариантов достигается применением различных алгоритмов и исходных данных.Вариант IЗадание 1. Для матрицывыполнить следующее:−1 4A = 1 −2−2 8123а. Построить L̄U -разложение матрицы A (L̄ с единицами на главной диагонали).б. С помощью L̄U -разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (−2, −1, −5)T .в. С помощью L̄U -разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 2. Для системы линейных алгебраических уравнений видаAx = b,где матрица10 5 −1A = −6 2042 −3 −10и вектор b = (−4, 22, 5)T , выполнить следующее:1679 Фонд задача.
Выписать метод Якоби в координатном и каноническом виде.б. Определить является ли он сходящимся с нулевым начальным приближением, т.е. x0 = (0, 0, 0)T ? Ответ обосновать.в. Вычислить две итерации по методу Якоби и найти апостериорную оценкуошибки на каждой из них в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 3. Для матрицывыполнить следующее:1 2P = −232 −238080 17 −10 8 −10 15а. Построить LLT -разложение матрицы P (L — нижняя треугольная матрица с положительными элементами главной диагонали).б. С помощью LLT -разложения матрицы P решить системуP x = b,c вектором b = (4, 18, 5, 16)T .в. С помощью разложения и решения системы по пп. а,б найти величинуквадратной формы J(x) = xT P x, где x — решение из п.б.Задание 4.
Для матрицывыполнить следующее:1−2A=−22 66 −7 7 1а. Построить QR-разложение матрицы A с помощью ортогональных преобразований (отражения Хаусхолдера).б. С помощью QR-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (5, −15, −8)T .1689.3 Варианты контрольных заданийв. С помощью QR-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Вариант IIЗадание 1. Для матрицывыполнить следующее:8 −3 1A = −5 −1 −2 3 0 1а. Построить Ū L-разложение матрицы A (Ū с единицами на главной диагонали).б. С помощью Ū L-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (8, 0, 1)T .в.
С помощью Ū L-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 2. Для системы линейных алгебраических уравнений видаAx = b,где матрица2 1 0A = 1 10 −3 0 −3 5и вектор b = (−1, 3, 7)T , выполнить следующее:а.
Выписать метод Зейделя в координатном и каноническом виде.б. Определить является ли он сходящимся с нулевым начальным приближением, т.е. x0 = (0, 0, 0)T ? Ответ обосновать.в. Вычислить две итерации по методу Зейделя и найти апостериорнуюоценку ошибки на каждой из них в норме k · k∞ = max {|xi|}, x ∈ R3 .i=1,2,31699 Фонд задачЗадание 3. Для матрицывыполнить следующее:3 −12 394 14 13 −2 1 −2 1213P = −123а. Построить U U T -разложение матрицы P (U — верхняя треугольная матрица с положительными элементами главной диагонали).б.
С помощью U U T -разложения матрицы P решить системуP x = b,c вектором b = (12, 17, 3, 3)T .в. С помощью разложения и решения системы по пп. а,б найти величинуквадратной формы J(x) = xT P x, где x — решение из п.б.Задание 4. Для матрицывыполнить следующее:1A = −2−22 −36 17 −7а. Построить QR-разложение матрицы A с помощью ортогональных преобразований (вращения Гивенса).б. С помощью QR-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (6, 3, 12)T .в. С помощью QR-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,31709.3 Варианты контрольных заданийВариант IIIЗадание 1. Для матрицывыполнить следующее:113A=329135а. Построить LŪ -разложение матрицы A (Ū с единицами на главной диагонали).б.
С помощью LŪ-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (3, 7, 13)T .в. С помощью LŪ -разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 2. Для системы линейных алгебраических уравнений видаAx = b,где матрица10 −2 1A = 2 −20 4 −31 10и вектор b = (16, 50, 15)T , выполнить следующее:а. Выписать метод Якоби в координатном и каноническом виде.б. Определить является ли он сходящимся с нулевым начальным приближением, т.е.
x0 = (0, 0, 0)T ? Ответ обосновать.в. Вычислить две итерации по методу Якоби и найти апостериорную оценкуошибки на каждой из них в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 3. Для матрицывыполнить следующее:1 2P = −232 −2 36 0 80 15 −8 8 −8 241719 Фонд задача. Построить LDLT -разложение матрицы P (L — нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, D — диагональная матрица сположительными элементами на диагонали).б. С помощью LDLT -разложения матрицы P решить системуP x = b,c вектором b = (4, 16, 5, 27)T .в. С помощью разложения и решения системы найти величину квадратнойформы J(x) = xT P x, где x — решение из п.б.Задание 4.
Для матрицывыполнить следующее:1A=−2−23 64 −7 5 1а. Построить QR-разложение матрицы A с помощью преобразований(Грама–Шмидта ортогонализация).б. С помощью QR-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (8, −1, 8)T .в. С помощью QR-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Вариант IVЗадание 1. Для матрицывыполнить следующее:A=1 44 142 4131а. Построить U L̄-разложение матрицы A (L̄ с единицами на главной диагонали).1729.3 Варианты контрольных заданийб.
С помощью U L̄-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (−6, −22, −8)T .в. С помощью U L̄-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 2.
Для системы линейных алгебраических уравнений видаAx = b,где матрица4 −2 0A = −2 5 1 0 1 2и вектор b = (0, 7, 0)T , выполнить следующее:а. Выписать метод Зейделя в координатном и каноническом виде.б. Определить является ли он сходящимся с нулевым начальным приближением, т.е. x0 = (0, 0, 0)T ? Ответ обосновать.в. Вычислить две итерации по методу Зейделя и найти апостериорнуюоценку ошибки на каждой из них в норме k · k∞ = max {|xi|}, x ∈ R3 .i=1,2,3Задание 3. Для матрицывыполнить следующее:30 −5 −12 3 −5 154 1P = −12 47 −2 3 1 −2 1а.
Построить U DU T -разложение матрицы P (U — верхняя треугольнаяматрица с единицами на главной диагонали, D — диагональная матрица с положительными элементами на диагонали).б. С помощью U DU T -разложения матрицы P решить системуP x = b,c вектором b = (16, 15, −3, 3)T .1739 Фонд задачв. С помощью разложения и решения системы найти величину квадратнойформы J(x) = xT P x, где x — решение из п.б.Задание 4. Для матрицывыполнить следующее:1A = −2−23 −34 15 −7а. Построить QR-разложение матрицы A с помощью преобразований(модифицированная Грама–Шмидта ортогонализация).б.
С помощью QR-разложения матрицы A решить систему линейных уравненийAx = b,где вектор b = (−1, −3, 4)T .в. С помощью QR-разложения найти матрицу A−1 и вычислить число обусловленности матрицы A (MA ) в норме k · k∞ = max {|xi |}, x ∈ R3 .i=1,2,39.4Задачи для контрольных заданий и экзаменаЗадача 1Для матрицывыполнить следующее:2 0 2A = 4 −1 3 −2 −3 −2а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
