Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 32
Текст из файла (страница 32)
На рис. 6.2 значение 4,04 отмечено 5,6 горизонтальной линией. Эта линия $ пересекает кривую 1п Ь (Х) в двух точках. Поэтому мы уверены прибли,р 0 1 дРбай/юльйь~ц зительно на 95~~' в том, что значение Х должно находиться в области, огра- 1 ниченной двумя вертикальными ли- 1 ниями, опущенными из этих точек И пересечения. Это и должно быть до- верительной областью для А, так как л в пределах этой области значения Ро 148 ~0. О52 О 444 70 1П Ь Р) превышают 4 04 Переходя к проверке гипотезы о Рвс, 6.2. ЛогаРЯФм ФУБепии пРав- линейности функции потребления, доаодобия (6.21) по данным табл.
6.2 вспомним, что уравнение (6.19) ста- новится линейным при Х = 1. Так как наш доверительный интервал не включает Х = 1, мы отвергаем нулевую гипотезу о том, что эта функция линейна. Однако этот интервал включает нуль, поэтому мы делаем вывод, что эта функция не отличается существенно от логарифмически линейной, задаваемой уравнением (6,17), В.4, ОЦЕНИВАНИЕ ПРИ ПОМОЩИ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА Предположим,что переменная У статистически связана с переменной Х и тремя параметрами и„~ и у зависимостью вида' (6.23) где е — случайный остаток. Одним из примеров служит функция, описывающая зависимость между процентом безработных Х и изменением ставок заработной планы К в Великобритании для определен- т Более общая трактовка этого вопроса даатся в 136). 210 ного исторического периода. Эта функция, как установил Филлипс [73), имеет следующий вид: У' = а + ~Х~ + а.
(6.24) Общий вид кривой, оцененной Филлипсом, показан на рис. 6,3. Кривая такого типа известна под названием кривой Филлипса. Заметим, что выражение (6.24) является существенно нелинейным, так как не существует такого преобразо- 3 Ъ вания, которое превратило бы его в ~5 ~ выражение, линейное относительно ~ р параметров а„р ну. Поэтому мы не фЙ Й можем прибегнуть к какому-либо простому преобразованию, которое ~ ф ~ позволит нам использовать обычную ПРаценг безааботкьи оценку наименьших квадратов.
Один из методов, оценки уравнения (6.24) состоит в том, чтобы линеа- ' ',яд ризовать это уравнение путем разложениявряд Тейлора и ограничить разложение первыми производными. Отсюда (6.23) можно аппроксимировать разложением У=ИХ, а, р.. Ъ)+ — ( —,)+ — (р — р.)+ д~ д~ дк др + — (т — ~)+ ' д~ (6.25) д~ Аппроксимация (6.25) будет точнои, если а, = а, ро = р и у, = у: в этом случае три члена, содержащие производные, обращаются в нуль и выражение (6.25) обращается в (6.23). В (6.25) каждая частная производная вычисляется в точке, где а = а„р = ро и у = "р„. При выборе значений а„р, и у, руководствуются некоторыми обоснованными предположениями относительно истинных значений параметров а, р и у.
Мы рассчитываем на то, что наши предполагаемые значения не далеки от истинных и что они могут быть улучшены с помощью итеративной процедуры, описываемой далее. Начнем с предположения, что и, = 1, ро = 10 и у, = — 1. Тогда согласно (6.24) ° ь 1 (Х; а, Р~, 70) = 1 + 1 ОХ 1 = 1 + —, Далее, д~7да = 1, дРдр = Хт, но если у = — 1, то д~/др = 1/Х; д~lду = 'РХт1п Х, ио если р = 10 и у = — 1, то д~1ду = 10 1п Х1Х.
С учетом этих производных можно записать (6.25) в виде У'=-1+ — + (а — 1)+ — (р — 10) + — (у+1)+е, 10 1 101п Х Х Х Х что сводится к +Р 1 + ( + 1) 101иХ + Х Х (6.26) 211 Параметры уравнения (6.26) теперь можно оцепить с помощью обычного метода наименьших квадратов, а именно пусть р, = р, Ц, — — (у + 1), К1 = 1/Х и Е, = (10 1п Х)/Х, иногда У=а+~А +р~ + (6.26а) Найдя оценки параметров в (6.26а), можно получить новыезначения я„р, и у,.
Далее всю процедуру можно повторить, пользуясь новыми оценками взамен исходных прсдположений. Можно надеяться, чтозтот процесс сходится, т. е. каждая итерация приводит ко все иеньшему изменению параметров. Гарантировать сходимость, однако, нельзя, а довольно сложная в вычислительном отношении процедура делает этот метод оценива,ния полезным лишь в ограниченной степени.
В,5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЪ|Е ЗАМЕЧАНИЯ Никаких общих правил относительно того, какое преобразование следует выбирать при решении задачи, связанной с регрессионным анализом, дать нельзя. На практике выбор делается исходя из соображений экономической теории или па основании предварительного просмотра данных, или с учетом и того и другого. К сожалению, чаще всего этот выбор делается на основании просмотра данных, так как экономическая теория обычно указывает лишь на существование функциональной связи между переменными, не указывая конкретного вида этой связи.
Полиномиальная регрессия широко применяется при анализе временных рядов для аппроксимации етрендаэ временного ряда. В этом случае переменная Х означает время или последовательность целых чисел О, 1, 2, ..., д — 1. Степень полинома, обеспечивающего удовлетворительное описание тренда, обычно определяется ана глазэ. За счет повышения степени можно добиться того, что алгебраическое уравнение будет сколь угодно близко аподогнаноъ к данному множеству точек.
Помнимое, однако, что всякий раз, когда степень полинома повышается, теряется одна степень свободы. Большинство уравнений, встречающихся в современных экономегрических моделях, линейны или логарифмически линейны. Эти два типа уравнений преобладают, несомненно, ввиду их простоты. Следует, однако, помнить, что если мы предполагаем, что оетаточный член распределен нормально в линейной модели, то мы предполагаем, что и логарифм остаточного члена распределен нормально в логарифмически линейной модели. В рамках метода степенного преобразования это приводит к более общему предположению о том, что остаточный член распределен нормально при произвольном А. Такое предположение трудно принять, если только не считать, что значение Х, которое соответствует максимуму 1п Е (Х), повлечет нормальность ошибок. К числу других трудностей, связанных с методом степенного преобразования, относятся выбор точности, с которой следует вычислять Х, и соотношение между Е (У) и Е (У~~~), которое„насколько нам известно, до сих пор не установлено.
212 $ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ Раздел 6.1 1, Покажите справедливость следующих утверждений 190, с. 276 — 2771: а) если условные средние У'; равны, то корреляционное отношение равно нулю; б) если условные средние У~ существенно различны, но наблюдения над каждым условным средним имеют очень малую дисперсию, то корреляционное отношение будет близко к единице, 1. Далее приводятся три уравнения. Для каждого уравнения рассмотрите простое преобразование, которое сделает возможным оценивание методом наименьших квадратов.
Нарисуйте также примерный вид кривой, соответствующей каждому уравнению. Может оказаться, что в каждом случае потребуется более одного эскиза в зависимости от знаков параметров нли соотношений между параметр амк: Раздел 6.З 1. Приводятся заимствованные из [29, с. 7251 данные. которые собрал Р. Уайер. Данные относятся к так называемой кривой обучения.
Эта кривая, в настоящее время широко используемая для анализа производственных затрат„ отражает тот факт, что научившись выполнять определенную работу,, рабочие способны выпускать больше продукции в единицу времени. Этот эффект обучения в процессе работы присутствует в современной зкономической теории, особенно в современной теории зкономического роста, где ои связан главным образом с именем К.
Эрроу. Пусть Х обозначает совокупное число единиц изготовленной продукции, а $' — совокупные затраты рабочего времени на единицу продукции (в часах). Соответствующую функцию обычно подбирают, пользуясь логаркфмами У и Х. Рассмотрите логарифмическн линейную функцию, пользуясь данными Уайера: 20 35 60 100 150 300 500 800 1500 У 150 125 105 100 92 77 62 58 47 1, В 153) обсуждается производственная функция, которая может быть записана в виде У'='1р 1~ +~, ~7 Здесь У обозначает выпуск продукции, а К и Š— затраты капитала и рабочей силы соответственно.
а) Покажите, что эту функцию можно преобразовать к виду 1~1 ~1 ф~+~ и что в этой форме ее можно оценить методом Бокса — Кокса. Не путайте показатель степени в этом уравнении Х с оператором (Ц. б) При помощи разложения в ряд Тейлора в окрестности Х О в [58] удалось аппроксимировать эту призводственнув функцию (пренебрегая членамн третьего н более высокого порядка) рядом 1 1п У'=131 1пК+~,1пЕ+ — Ч~Ц11пК вЂ” 1пЦ'. Обсудите возможности оценки этого уравнения обычным методом наименьших квадратов. в) К каким последствиям в и. 6) приведет опенка Х„равная нулвР ПРИЛОЖЕНИЕ П.6.1.
Использование программы регрессионного анализа из главы 4 с введением преобразований Основную программу нз раздела П.4.1 нетрудно модифицировать таким образом, чтобы она могла работать с преобразованиями, которые обсуждались в этой главе. Модификации заключаются в добавлении некоторого числа операторов непосредственно после оператора 15 в этой программе. Это место в программе обозначено картой с комментарием еТКАЫБРОКМАТ1ОЮ МАУ ВЕ АВВЕВ НЕКЕэ. (Здесь могут быть добавлены преобразования.) А.
Полиномиальная регрессия. Как уже отмечалось, для выполнения полиномиальной регрессии можно обычным образом ввести значения Х, Ха, Ха и т. д. в программу регрессионного анализа. Чтобы избежать вычисления и перфорирования значений степеней Х, можно воспользоваться следующим способом. На первой карте данных задайтс М = 2 (будут считываться две переменные). Затем, как обычпо, набейте зависимую переменную и Х,).
После этого в то место программы, которое помечено указанной картой с комментарием, вставьте следующие операторы (в данном случае для полинома еиорой степени): М= — 3 00171=3,М 11 =-1 — 1 ВО 17Л =-- 1, Х 17 Х (1, Л) = Х (2„Л) П В случае полинома второй степени требуются всего три переменные, поэтому М задается равным 3. Для полинома более высокой степени единственное изменение в этих пяти картах касается первой карты. Для полинома третьей степени на первой карте должно быть М = 4, для полинома четвертой степени на первой карте должно быть М = 5 и т.
д. В. Логарифмически линейная регрессия. Для этого преобразования необходимо лишь взять логарифмы всех переменных, Чтобы избежать необходимости искать и затем: перфорировать логарифмы 214 Ъ„ п8ремеинЬ~х, васйользуйтесь следующей процедурой. Набейте и введите исходные данные, как обычно. Затем в том месте, где находится карта с комментарием, вставьте следующие операторы: 00171 = 1, М 00 17 Л =- 1, И 17Х (1, Л) =-Л1.0й(Х (1, 3)) Результат этой программы будет соответствовать уравнению (6.15а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
