Болч К._ Хуань К.Дж. - Многомерные статистические методы для экономики (1185342), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Для нашего примера Р = ' ~ =0,10, 320„50/9 что не превышает Ре,вз з,в == 4,3. Поэтому на данном уровне значимости нельзя отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве всех средних по строкам. Для столбцов Р— с ~ Р " о' ~ )'~ ) (569) З~ЯФ вЂ” Ж) (остаточная вариация)ДЛ' — ЯК) что соответствует отношению Р с К вЂ” 1 и Ф вЂ” 1И степенями свободы. .Цля нашего примера 58,тЦ2 320,50/9 и мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве средних по столбцам.
Таблица дисперсионного анализа с д наблюдениями в каждой ячейке показана в табл. 5.8, И в этом случае средний квадрат остаточной вариации представляет собой оценку" дисперсии в;~~, т. е. оа. Линейные контрасты в рамках данной модели образовать трудно ввиду усложняющего влияния взаимодействия. Заинтересованного читателя мы отсылаем к 181, с. 109, 1И. 5.4. КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ Ковариационный анализ представляет собой метод, соединяющий черты дисперсионпого и регрессионного анализа. Этот метод позволяет анализировать классифицированные данные, а также допускает включение информации, полученной в результате обычного регрессионного анализа1в 'в Если аредлоложива, что в модели„определяемой (5,60), все эфФекты взаимодействияя равны нулю, то„объединив 3~ с 81, можно образовать общую сумму квадратов ошибок с Ф вЂ” К вЂ” К + 1 степенями свободы.
Тогда оценкой оа будет 8~ +51 а~= У вЂ” й — К+1 Далее эта оценка служнтзнаменателем отношения Р при проверке гипотез об эф фсктах строк и столбцов. 19 Хорошо известный обзор многочисленных применений ковариационного анализа можно найти в 1231. Наиболее подходящим пособием по ковариационному анализу является кинга 1841. Методика работы с упорядоченными даинымн рассматриваетси в 1761. Приведем пример типичной задачи, которую можно решать при помощи этого метода, обратившись к данным табл. 4.4. В этой таблице приведены цены У продаваемых жилых домов.
Мы хотим узнать, зависит ли средняя цена от категории дома. Другими словами, продается ли дом, считающийся превосходным, по более высокой цене при прочих равных условиях, чем дом, считающийся плохим. Очевидно, что имеется существенное различие между средними ценами по столбцам, и дисперсионный анализ наблюдений У подтвердит этот вывод.
Вспомним, однако, что дома, считающиеся неплохими, имеют в среднем сравнительно небольшую полезную площадь, а дома, считающиеся хорошими, — сравнительно большую полезную площадь. Таким образом, величина Х, которую часто называют соиутспиуюшр»~переменной, на самом деле может иметь большее значение для объяснения различий в средней цене, чем категория дома. С учетом этого можно предложить следующую модель: Уц=-р.»+р(Х» — Х..)+е», »=1, 2, ..., К. (5.70) Здесь каждое наблюдение У'~» представлено в виде суммы его среднего по столбцу р.», эффекта, вызванного тем, что соответствующая сопутствующая переменная Хц отличается от общего среднего сопутствующей переменной Х ., и ошибки. Коэффициент регрессии р характеризуег важность влияния сопутствующей переменной на У;».
Имея в виду нашу основную цель — сравнить средние цены для различных категорий, было бы разумно ввести поправку на переменную Х (полезная площадь). Тем самым мы хотим провести дисперсионный анализ, пользуясь средними ценами по столбцам после того, как они будут аскорректированы» с учетом влияния средней площади.
Скорректированные средние цены по столбцам 3'".» определяются следующим образом'. У'.» = У'.- — ф (Х.» — Х..), ( = 1, 2, ..., К. (5.71) Остановимся на смысле соотношения (5.71). Предположим, что коэффициент р положителен, т. е. Х и У положительно связаны. Тогда если данное среднее Х.» превышает общее среднее Х, то скорректированное среднее по столбцу Г.» будет меньше, чем исходное среднее Г.».
'Таким образом, соотношение (5.71) скорректирует среднее по столбцу вниз, чтобы учесть тот факт, что это среднее связано с большим средним по столбцу для сопутствующей переменной. В случае отрицательного р или среднего по столбцу Х,», которое меньше Х, результат будет противоположный. Теперь должно быть ясно, почему ковариационный анализ соединяет свойства регрессионного и дисперсионного анализа. Регрессионный анализ дает нам оценку углового коэффициента р. Затем после учета влияния сопутствующей переменной мы выполнимдисперсионный анализ скорректированных переменных У'.
Окончательное отношение Р будет иметь вид: (скорректированная варнацня столбцов)ДК вЂ” 1) (скорректированная остаточная вариация)/(У вЂ” У~ — 1) 178 В уравнении (5.70) неявно предполагается, что коэффициент р— постоянный для всех классов, Иначе говоря, влияние полезной площади на цену дома одно и то же, независимо от категории". Это предположение об отсутствии взаимодействия между сопутствующей переменной и схемой классификации существенно для последующего анализа.
Если установлено наличие взаимодействия, то, как правило, исследуют его причины, однако ковариационный анализ на этом заканчивается. Таким образом, прежде чем приступать к ковариационному анализу, мы должны проверить справедливость предположения об общем коэффициенте. Эта проверка заключается в подборе линии регрессии вида 1'ц = 1м + Мо + ео. 1 = 1.
2. *' К для каждого из классов. Затем проверяется гипотеза, что все ~,1, 1 = = 1, 2, ..., К равны. Если эта гипотеза принимается, то К отдельных угловых коэффициентов объединяются и образуют оценку р. В разделе 4.6 мы вычисляли три линии регрессии для рассматриваемого примера [см. (4.68)1, Н этом же разделе проверялась гипотеза о том, что все три угловых коэффициента равны, и мы не отвергли эту гипотезу.
Поэтому у нас есть основания объединить эти угловые коэффициенты в один общий коэффициент, который и будет оценкой р в (5.70).Этот общий угловой коэффициент можно найти, либо воспользовавшись (4.82), либо просто определив среднее арифметическое трех угловых коэффициентов, поэтому эту оценку часто называют средним угловым коэффициентом. Прещде чем мы найдем среднее арифметическое индивидуальных угловых коэффициентов, введем ряд новых обозначений, которые понадобятся в дальнейшем.
Обозначим суммы произведений и квадратов для любых двух переменных Х и У следующим образом~" е,,= т ~ р'„— ~,,)(х„— х.,); 1 1=1 уст Лу = У Ж Р'и — ~")' 1 1 1=! $~г Пня Ехх =- „"~ ~~ Р'0 — ~ 1)'н 11=1 К Л1 Тгя = У ~Р (Уц К. ) (Х1~ Х )' 11=$ Пя Т =- У, ~ 0'о — ~'-)-' ~=11 1 ,нл л$ Т, =;К 2"„(Хц — Х..)'* 1=1 ! м$ аа Мм предполагаем, что сопутстаумптая переменная нестопастичесяея. а' Этн обозначения совпадают с обозначениями в 1В41. Буква Е здесь н ранее в качестве символа оператора математического ожидания не должна вызывать путаницы.
179 Заметим, что Е с индексами обозначают суммы квадратов и произведений для средних по столбцам, а Т с индексами — суммы квадратов и произведений для общих средних. Среднюю (или объединенную) оценку р можно теперь найти из отношения" (5.73) Е„„ Легко проверить, вычислив Еа„и Е„„что для нашего примера р = = 13,247 (этот результат получен и программой для вычислительной маи!ины, приведенной в приложении). Скорректированные средние по столбцам согласно (5.71) равны: У'.! = 15 820„36; У'.з -— -- 15 405,92 и У'.з = 19 880,55.'Обратите внимание, что скорректированные средние не так сильно различаются между собой, как нескорректированные.
Дейс~~ительно, скоррек*ированиые сред~не це!!ы для дом~~, считающихся неплохими и хорошими, почти равны. Модель. Как уже отмечалось, модель задается уравнением (5.70), коэффициент р оценивается согласно (5.73), скорректированные средние оцениваются согласно (5.71). Остаток наименьших квадратов в (5.70) равен: ец =(Уц — Р.;) — 6(Хц — Х..). Однако оценкой наименьших квадратов для любого 1~.~ является скорректированное выборочное среднее по столбцу: р.~ = У'.; = У.~ — р (Х.! — Х..). Отсюда после подстановки остаток наименьших квадратов будет равен е;~ =--(К;,— У.,) — ~) (Хц — Х.;).
(5.74) ~' Если записать (5.7Э) в развернутом виде, то мы получим: В 1 л — к Р'а1 ~'.1)Рй Х-х)+ + Ъ', Р'ку~ !'",к) Ф!р," Х.к) р 1=! Ф'= ! "1 лк [Х!1 — Х.Да+...+ "~ (Х~~ — Х К)' 3=! !=! Так как каждый из членов этого уравнения представляет собой сумму квадратов или произведений для каждого столбца, то его можно записать в более компактной форме: Ху!~х!1+...
+ Ху!кх; ~ р— хф+... +Щ Если каждый член в числителе этого уравнеиия (т. е. Ху! хц) умножить и разделить иа соответству!о!цу!о сумму квадратов (т. е. Ехф, то 111~~!!+ -.+~к.к~.й ХхД +... + Хх~~ Видно. что $ — среднее арифметическое значений ф~! с Ехг~~ в качестве весов. 18О Ъ, В матричной формс решение можно записать следующим образом: Е„. Е„., ' Е~„ $ р, Е,„Е„Ер, или более компактно: Скорректированные средние по столбцам равны: У.'~ = ~.,— 1, (Х.~ — Х..) — К Ф.,— 2..), а скорректированная остаточная вариация, соответствующая (5.75) Я =3~ — ~Ер„, Если справедлива гипотеза ~О:Р~=Р~=" =РК=Р* ° то модель (5.82) превращается в ~'ц=Р" +11о(Хи — Х--) +Р а(~ц — ~")+ец, а оценки наименьших квадратов для ~~а н ~ о находятся из решсния ур»й: '~хх116+ '~ жю 1йб ~ ух ~ ~Фс Ь~ + '~ лх 126 = ~ ухЗти нормальные уравнения можно записать в виде а их решение в виде р, =т.—.1 т„„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
