Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 119

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 119)

(Г, 5) млтнмлтичнскин дополнения 684 Последовательным применением (Г, 5) можно получить а'с'г) Г( )Г + ) Р(а+п,с+и;г) д" Г(с) Г(а+ л) где Г(х) — гамма-функция. Если а равно нулю или целому отрицательному числу, а = = — и, то вырожденная гипергеоиетрическая функция сводится к полиному и-й степени Р( — и, с; г)=1 — г+ и л(1 — и) г' (с — ))) с с(с+ 1) 2) — '+... +( — 1)" (с+ л — 1)! г". Эти полиномы можно записать с помощью простой формулы Р ( — и, с; г) = — „(г'+" 'е ').

(Г, б) 'с»Г (с) ал Г(с+ и) а»л Вырожденная гипергеометрическая функция (Г. 6) связана непосредственно с обобщенныии полиномажи Лагерра с помощью равенства ( )= Г( + +1) Р( — п,с+1;г), (Г,7) Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулой »и г с (г) г се» . (гс+ие-») (Г, 8) Обобщенные полиномы Лагерра при с = 0 обозначаются как .(.„(г) и называются просто полиномажи Лагерра; согласно (Г,7) н (Г,8), имеем »и йи(г)=е' — „„(г"е-')=1'(и+1)Р( — и, 1; г).

(Г,9) Укажем асимптотическое поведение вырожденной гипергеометрической функции. При малых значениях г асимптотическое значение функции Р определяется непосредственно первымн членами ряда (Г, 1). При больших значениях (г) имеем Р(а, с; г)= г' 'е'(1+ 0((г( ')], если Рег-+аа, (Г, 10) Р(а, с; г)=, (с) ( — г) '1»1+ 0((г( ')), если йег-+ — со. (Г, 11) Приведем еще асимптотическне значения Г(а,с;г) для ограниченных значений г н неограниченно больших значений г! выРОжденные ГНПЕРГеометРические Функцн!о баб одного из параметров: Е(а, с; г)=1+ 0(!с ~ '), если г н а ограничены, с- оо, г(а, с; г) =е'11+ 0 ((с ~ !)1, если с — а и г ограничены, с- оо.

Большое значение вырожденной гипергеометрической функции в теоретической физике связано с тем, что через эту функцию выражаются решения многих линейных однородных дифференциальных уравнений. Рассмотрим, например, уравнение (а,х+ Ьо) — „„~~ + (а,х+ Ь!) Я+ (а,х+ Ь,) ф = О. (Г, 12) При ао = а! = ао — — О решение этого уравнения выражается через элементарные функции. Поэтому этот случай мы не рассматриваем. С помощью подстановки ф еохгР х йг 1 р (Г, 13) преобразуем уравнение (Г, 12) к виду о'Ф лФ (аог+ 5о) — „, + (а,г+ 5!) — + (аог+(3,) О!=О, (Г, 14) где оо ао х а! '1! ао й'12 пои+за 5 РА,+В1 5 А 1 В х' ' ' х А, =2аоу+ а! Ао= аоу'+ а!у+ а„ В! =2Ьот+ Ь!..Во= йоч'+ Ьот+ Ьо.

! а= —— 2 й+ и, с= 1+ 2!т, (Г,!6) чо — г о ее% уравнению Уиттекера уравнение (Г,2) преобразуется к г ! У+ —,'+А+ ", %=0. (Г,17) Если определить л, р и у так, чтобы ао!г + Ь, = О, а, + 2,А! = О, А, = О, (Г, 15) то уравнение (Г,14) совпадает с уравнением (Г, 2).

Следовательно, любое уравнение типа (Г,12) сводится к уравнению вырожденных гипергеометрических функций (Г, 2), если можно подобрать значения !м Х, У, удовлетворяющие уравнениям (Г,15), а затем воспользоваться преобразованием (Г,13). Путем подстановки МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ Функция Уиттекера %А„(г), удовлетворяющая уравнению (Г, 17), определяется интегралом л с ! %2л= ~ ~: ,с 2 (1+ — ) е 'г11 (Г, 18) '(--'+ ) для всех значений й и и и для всех значений г, кроме вещественных отрицательных значений. Если %АЯ(е) — решение уравнения (Г,17), то % А „( — з) будет тоже решением того же уравнения, так как при одновременной замене знаков сс и е уравнение не меняется. Решения %А„(г) и % А л(г) образуют основную систему решений уравнения (Г,17), Связь между вырожденной гипергеометрлческой функцией Р(а, с; е) и функцней Уиттекера %2, „(г) определяется соотношениями (Г, 16).

Многие функции, применяемые в прикладной математике и физике, могут быть выражены через функции %ля(е). Так, например, обобщенные полиномы Лагерра (Г,8) являются частным случаем функций Уиттекера, если в последних положить л = и + — (с + 1), р = —, т.

е. с+! л 7.'л(з) =( — Ц г 2 е2% +~ (г) 2 ' 2 1 При с= ~ — полиномы Лагерра переходят в полиномы Эрмита О ( ) ( 1)л 2 являющиеся решениями дифференциального уравнения (." с22 л —, — 2г — „+ 2и) Нл (г) = О. Именно ! 1)л 2~л7 2 ( 2) 1 О (Е)=(-цл22""'И.

('). 'Асимптотическое значение функции Уиттекера при (агд(г) ~ ( и и больших значениях г дается формулой %„2 (е) = е ' г' (1+ О (е ')). г) Выгождннныа гннаггеомнтгичаскин Фхнкции язт а> Ур(г) е~е" — У р (г) Нр (г)= ю яп рл Функции Бесселя являются частным случаем вырожденной гипергеометрической функции.

Функции Бесселя часто используются в этой книге, поэтому мы приведем здесь для справок некоторые их свойства. Функции Бесселя являются решением уравнения Бесселя уу ) лу ) )л) (Г, 19) Одно пз частных решений этого уравнения определяется рядом 1)ь г Р+м Х ыг(а+ в+ О Ь) (Г, 20) а=о и называется функцией Бесселя первого рода порядка р.

Если р — не целое число, то два решении Ур(г) и У р(г) являются линейно независимыми. В этом случае общее решение (Г,19) изображается в виде АУр(г) + ВУ е(г), где А и  — произвольные постоянные. Функции Бесселя выражаются через вырожденные гипергеометрическне функции с помощью равенства У~(г)= Г( ц 1) (~) е "Р ~2 + Р, 1+2Р; 2(г). (Г,21) Если р равно целому числу и, то оба решения, отличающиеся знаком и, связаны соотношением У „ (г) = ( — 1)" У„ (г).

При больших значениях г асимптотическое значение функции Бесселя первого рода определяется формулой У„(г) = ~/ — ~ сов (г — — "~ — — ) + О (г-')~ . Если р — не целое число, то часто используют в качестве одного из решений уравнения (Г, 19) функцию Неймана порядка р (или функцию Бесселя второго рода) Не (г) = Ур(г) соз рп — У р(г) (Г, 22) Функция Неймана Жг(г) и функция Бесселя У (г) также образуют два независимых решения уравнения (Г,19). В качестве линейно независимых решений уравнспия (Г,19) иногда используют первую и вторую функции Ханкеля (илн функции Бесселя третьего рода) Ур(г) е ~"~ — У „(г) Не (г)=У МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 688 Выбор тех или иных функций в качестве независимых решений уравнения (Г,19) определяется поведением этих функций при больших значениях независимой переменной.

Асимптотическое поведение функций Ханкеля при больших г характеризуется выражениями Ор'(г)=1/ — „е ~ ' 'У[! + О(( г ~ )!, УУрг(г)=1/ — „е ~ ' '![1+0(~г~ ')[. Функции Бесселя, индекс которых равен половине целого числа, выражаются через элементарные функции. Так, при любом целом 1 — (Г, 23) -'-.. =~'„'"[ —,"„)'( — "). 1 Обычно вместо функций (Г,23) часто используются отлича~ощиеся от них множителем сферические функции Бесселя ее(г) ( — 1)'+ [/ ~ У-~-8(г) =( — 1)'+ г'( — ) ~ — ). (Г,25) Асимптотические значения этих функций приведены в $35.

Если Ур(г) есть решение уравнения Бесселя (Г,19),то функция от чисто мнимого аргумента У„(1г) является решением уравнения ~Р1 1 Н / р'~ — + — — — ~[1+ — ) ! =6. лг2 г вг 1 ге ) Обычно решение уравнения (Г,26) выбирается в виде -~ —,Рк ~т ~ 2) =л~ тсептьсв' А=О (Г, 26) (Г, 27) !р(г)=! р(г).

Видоизмененная функция Бессели первого рода связана с вы- Функция ! (г) называется видоизмененной функциеи Бесселя первого рода. Гсли р — не целое число, то 1 (г) и ! Е(г) образуют два независимых решения, через которые выражается любое общее решение уравнения (Г,26). Если р — целое число, то д! 689 ТЕОРИЯ ГРРПП рожденной гипергеометрической функцией простым соотноше- нием Г ! 2~ Е(2 + Р 1+ 2Р" 2г). (Г, 28) В приложениях наряду с функцией 7Р(г) в качестве второго независимого решения (Г,27) (при р не цечоч) используют функцию 2 'п и ! (г) — Iи (г) (Г, 29) которую называют функцией Басгета, или видоизмененной функцией Бесселя второго рода, Функция Бассета прн г- ио имеет асимптотический вид Ки (г) = 1/ ~~ и ' (! + О (г ')), г ) О.

Если р стремится к некоторому целому числу и, то числитель и знаменатель (Г,28) стремятся к нулю. В этом случае К„определяется как предел отношения этих бесконечно малых величин. Также определяется и функция Неймана для целых значений р. Д. Теория групп 1. Определение группы. В математике группой называется совокупность элементов а, Ь, с, ..., д. ..,которая удовлетворяет следующим свойствам: 1) определена такая операция произведения элементов, что произведение двчх элементов равно какому-либо другому элементу той же группы; например аЬ=с; 2) среди элементов группы должен содержаться единичный элемент е такой, что еа = ае = а для произвольного элемента группы; 3) соблюдается ассоциативный закон умножения: (аЬ)с = а(Ьс); 4) каждый элемент а группы имеет обратный элемент а-' такой, что аа-' = а-~а = е.

Число элементов У группы называется ее порядком. Это число может быть и бесконечным. Вообще произведение элементов группы не обладает коммутативпым законом: аЬ Ф Ьа. Есля же коммутативный закон справедлив для всех элементов группы, то группа называется абелевой группой. Примером групп может быть: а) совокупность операций, преобразующих симметричную фигуру саму' в себя; б) совокупность всех поворотов пространства вокруг всевозможных осей, проходящих через фиксированную точку; совокупность всех возможных перестановок п элементов и т. л.

11. 77редгтавление группы. Если каждому элсментуу группы можно сопоставить оператор П(у) в некотором линейном МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 690 пространстве Т. так, что при этом произведению любых двухэлементов группы соответствует произведение операторов, т. е. П(д,) П(дз) =П(д,а,), (Д, 1) то операторы П(а) называются представлениями группьь Размерность пространства Т. называют размерностью представления. Операторы П(п) часто выражаются квадратными матридами. В этих случаях размерность представления совпадает с размерностью матриц. Все представления группы можно разбить на классы взаимно эквивалентных представлений. Два представленля П1 и Пз называются эквивалентными, если для каждого элемента группы выполняется соотношение п, (д) = тп,(д)т-', (Д, 2) где Т вЂ” 'одна и та же для всех элементов матрица (линейный оператор).

Характеристики

Список файлов книги